CHAPITRE VII

(|iic l’on iiilvgriTit par la métliode des diiïércnticlles homogènes, ou liicii cil l’ccriviinl sous celte forme

ux'

ilx ■

et reiiiurqunnt que le second membre est la différentielle de — que lions égalerons à t; l'équation devient alors

(Ix

ilz = 01’ —

d‘on l’on tire

= ox ‘ — f ou bien y = ax — ex’.

La courbe d’équilibre est donc une parabole dont l'axe est vertical.

Les constantes u et c se déterniinent par la condition que si x', y' sont les coordonnées eonnucs du second point de suspension, on doit aioir

y' = ax' — ex’*

et que si / est la longueur ronniie de In ebuine, on a

log

|/ 1 -A- (o — 2cx')* -A- (o — 2cx')

-A- (o — 2cx') |/l -t- (a — 2cx')* — a n’

La tension en un point quelconque s’obtient en remarquant que le poids de la chaîne dcjiuis l’origine jiisqii’Ji x est J'hdx ou hx cl qu’on a comme au N" (>7,

t:hx =

“ dx

'laX

dx J

STATlytK.

(l'où

6!). Equilibre d'un fit ayant tous ses points soumis d l'action de. forces quelconques. — PrupusoDs-nous encore de détenniner la forme d’éqiiilihre d’un fil parfaitement flexible et inextensible, dont tous les ëlémcnls sont soumis à des forces accélératrices quelconques. Pour qu’il y ait équilibre, il est nécessaire et suilisant que 1a tension t (fig. 48) en un point quelconque M (x, y, z) lasse équilibre li toutes les forces qui agissent sur la portion UM du fil, puisqu’il est visible qu’il faut et qu’il suflit que les forces appliquées à la partie O'M fassent équilibre à celles qui agissent sur OM et que la tension de l’élément de courbe placé en M tient lieu des forces O'M. Toutes les forces appliquées à OM , savoir les deux tensions extrêmes T, t cl les forces intermédiaires doivent donc satisfaire aux six équations d’équilibre. Représentons par X, Y', Z les forces qui agissent sur l’unité de longueur du Cl et par a, b, c les angles formés par T avec les axes; les trois premières équations d’équilibre sont, en remarquant que t est dirigé suivant la tangente au point x, y, z,

T cos o -t- /'Xds -t- t ^ = 0 , T cos 6 -1- /Xds -e- t~ — 0, ds ds

Teosc-t- y’Zds -V- (^ = 0 (I)

les intégrales étant prises depuis O jusqu à M ou (x, y, :). A ces trois équations il faudrait joindre les trois équations d'équilibre de rotation qui ici sont visiblement, en plaçant l’origine des coordonnées îi l’extrémité O ,

/(Vî-Z</)

— y = 0. etc., etc.

ds^

mais si on les différcntic , il vient

remplaçant d Çt P'»’ Iot valeur tirée des trois

équations (t) après qu’on les a dilTércntiées, on reconnaît que ces équations sont identiquement satisfaites et sont par conséquent coin-

et en

r.lItl'ITIIK VII.

prises ilaiis les tniis premières, qui sulliseni pour assurer l’éqiiililire.

Kl) (lilTérenliaiil les équations (I), jiiiis inullipliant respectivement

<lx <hj ilz , . ■ , .

par — > et -j- et les ajoutant ensuite meinl)i*c a membre, on

trouve

(Il = — (\dx ■+■ Y(/y H- Zf/:),

parce que l’on a

On tire de l.'i en intégrant,

t = — J’Çidx -t- \'dtj -t- 7.dz).

qui donne la valeur de la tension toutes les fois que Xdx h- Ydy -h Zdz est la diirércntielle exacte d’une fom^tion des trois variables x, i/, z. Les équations de la courbe s'obtienneiit alors en éliminant t entre les équations (1) et (2).

Si on siqiposc les forces X , Y , Z réduites à des poids uniformément répartis le long du fil, en prenant l’axe des Z vertical, on fera X et Y nuis, un remplacera Z par ]> et on sera conduit à l’équation de 1a eliainettc trouvée plus haut. Il sullira pour cela de remarquer que les deux premières équations (1) deviennent

T eos o = — T eus o — — l~

ds dx

ifoù l’on tire

dij cos h

dx eos a

cos /)

cos a

qui apprend que la projection de la courbe dans le plan horizontal .\Y est une ligne droite, c’est-à-dire que la courbe est renfermée dans un plan vertical que l’on prendra pour plan des XZ en faisant y et cos f> nuis.

70. Equilibre d'un /il tendu xur une surface. — Si les forces sont partout dirigées suivant le rayon de courbure de la courbe prolongé vers sa partie convexe, on a, o étant le rayon de courbure et P la force.

ST.UKll!!-:.

j)arcc que les cosinus des angles formés avec les axes par un rayon de courbure prolonge vers la partie concave sont représentés par

etc. (traité d’analyse N“ 106); on a donc dans ce cas.

dx dx

Tü'^dî

ds ds

et par conséquent, en observant que la parenthèse est nulle d’après ce qu’on vient de voir,

(// = 0 et t = const.

c’est-à-dire que la tension d’un semblable fd est la même dans toute son étendue. En dilTérenlianl doue l’une des trois équations d’équilibre du N° 60, et rcmiilaçant X par sa valeur précédente, .on trouve

, dx „ , dx I

id— Porf — 1= O d ou P = - •

ds ‘ lis P

La force normale doit donc être inversement propoi tionnclle au rayon de courbure, pour que l’équilibre soit possible. Pour ce qui est de la forme de la courbe, les trois équations (1) sont indenliqiienicnt satisfaites par ces valeurs de P et t et par conséquent l’équilibre a lieu quelle que soit cette forme.

Réciproquement, si 1a tension t est constante, les trois équations (1) diirérentiées deviennent

1 ,dx

‘js^^Ts

1 ,(/(/ ‘ ds ds

d’où l’on conclut sans peine que la résultante de .X, Y, Z, c’cst-à-ilire la force P, fait avec les axes les mêmes angles que le rayon de courbure (voir le traité d’analyse N" 106) et qu’elle est inversement projxirtionnclle au rayon de courbure. On voit donc que ]iour que la tension soit partout la même, la force doit être en ebaque point dirigée dans le sens du rayon de courbure cl doit être inversement proportionnelle à ce rayon.

Ces iiropositious eondiiisenl aux propriétés d’un (il tendu sur une surface et à la forme qu’il doit prendre pour y être en équilibre; en cffcl la surface exerçant en ebaque point du fd une pression normale à la surface, si l’on représente rinlcnsité de celte pression par P, ses

lô

itK

CIIAI'ITIU: vil.

(■oiiiiiosanles suivnnl 1rs axes, v’csl-à-dire X, Y, Z sont rojiréscnlcrs par

à cause des valeurs connues des cosinus des angles foi'niés par une normale avec les axes. (VoirX" 127 du Irailé d’anaissc.) Kn suhsiituant ees valeurs dans réqunlion (2) tlii miiuéro précédent, il vient

(pds-t- fidy — ih)

et par conscqucnl

dt — 0 ou I == coiist.

|iarce <|uc en dilTérentiant l'équation de la surface, on trouve dz = ]idx -4- (jdij.

On voit donc que la tension d'un semblable lil est jiartonl la même. Or, il résulte du paragraphe précédent que si la tension est constante, la force doit être partout dirigée sui\aut le rayon de courbure de la eoiirbc et doit être inversement proportionnelle à ce rajon de courbure; la courbe inconnue que forme sur la surface le fil tendu est donc telle qu’en chaque point son rayon de courbure est normal à la surface et la pression contre cette surface est eu chaque point inversement proportionnelle au rayon de courbure c^i fil, c’est-h-dire, au rayon de courbure de la section normale de la surface, faite suivant la tangente an fil. Celte propriété caractérise entièrement la courbe formée par le (il et peut servir .à en trouver l'éqiiatiou; en effet si on différentie les trois équations d'équilibre, qu'on remplace .X, Y, Z pâlies valeurs précédentes et qu'on élimine et (en divisant l’une par l'autre deux de ces équations, on trouve pour l’une des équations différentielles de la courbe,

En représentant par u = 0 l'équation de la surface et en reiuanpiant que l'on a

(in

(Ix

STATIQUE

cette éijuutiuii devient

dont l’intéj'ralc jointe à ré(|uatiun de la .siirlaee .sur laquelle le lil est tendu représente la emirlie rliereliée. (Voir pour les aj)pliealiuns les N'™ 5‘itJ et 3:23 du cours d'analyse.)

Un arrive à ec.s conclusions directement et sans calcul en oliservanl que, pnisipie les deux tensions t cl t' (fij.;. 4!)) des deux éléments qui aboutissent en M font éiprilibre à lu pression P norimde à la siirrnec, le ])lan de ces deux éléments, c’est-à-dire, le (dan osculalenr doit contenir P et par conséquent éti'c lui-méme normal à cette surface. D’un antre côté P étant l'inlensitc de la (iression en M, Pd.s est la pression totale exercée sur l’élément (f.s; on doit donc avoir en désignant par »î l'angle de courbure en M ou l'angle formé |)ar t cl t',

t : P(/s = sin PMt' : sin <Mt' = 1 : sin (a- — >:) = 1 : sin ïj = 1 : n ,

d'où l’on lire en tenant compte de la valeur d’un angle de courbure (traité d’analyse , N” 104 et lOC),