CHAPITRE VIII

Dcfinilton des nwoliitics. Madiim*?» simples et composées. — Levier. Ses conditions dVquilihre. — Théorie des balances. — itniunee romaine. — Théorie du peson.

- Êq iiililire tIc!* |K)ulic*). — Poulies moliiles. — Kquitiljro ilu nioune. — ■ Équilibre <lu treuil. — Équilibre d'un système de treuils, — Équilibre il’tiii système de leviers. — Équilibre d'un système de roues dentées. — Équilibre dans le eric. — Équilibre des cordes. — Problèmes. — Plqiiililirc sur un plan incline.

— Équilibre dans la vis. — Vis sans fin. — É(|iiilibrc dans le coin.

71. Dêfmitiùn des machines. Machines simples ei composées. — Ou :ip|icllu machine tout appareil ile.sliné à IransiiieUre l’aclion irtmc force en la inodiriaiil dans sa direction ou dans son intensité. Un scra- Idiilile cITet s’obtient en general en a])pli(piaiit la force à tin corps gêné dans ses inouvciitctits par un obstacle. En statique, on considère les niachines comme servant à faire équilibre à une force au moyen d’une aittre force qui ne lui est pas égale et directement opposée. La première force se nomtnc puissance, la seconde rc.sislance.

Les machines simples sont celles dans lesquelles il n’y a qu’un seul point fixe ou un seul obstacle. S'il y en a plusieurs, les maebines sont dites composées. Lcsmnebiues simples sontlc/en’er, leplan incliné el tu corde. Les maebines composées résultent de la rciiuiou de plusieurs maebines simples, réagissant les unes sur les autres et sont en nombre illimité.

Proposons-nous de trouver les conditions d’équilibre entre la puissance et la résistance dans les différentes machines, en faisant abstraction des circonstances physiques qui peuvent influer sur l’équilibre, comme le frottement, la résistance de Pair, etc.

STATlgltE. KH

72. Levier. Conditions d'è(/uilibre. — Occujmiis-iious d'iilinnl du levier. Un levier csl , dans le sens le plus général, un eor]is solide de forme qucleomjuc, ayanl un de scs points fixe que l’on nomme point d'appui. Ordinairement ce corps a une forme prismatique et il csl <lroit ou courbe. Nous le supposerons d’abord réduit ii son axe cl nous appellerons levier mathématique une ligne inflexible cl sans pes.intcur, mobile autour <le l’un de scs points. Si deux forces P et Q agissent sur ce levier, il suflit pour l’équilibre qu’elles aient une résultante et que eelle-ei passe par le point fixe, puisque celte résultante sera détruite par la résistance de ce point. De plus, cette condition est nécessaire, car si on introduit une troisième force représentant la résistance du point d’appui, on pourra supposer le levier entièrement libre et les trois forces ne pourront se faire équilibre à moins (|iic deux d’entre elles, P et Q, n’aient une résultante égale et opposée h 1a résistance du point. Celte condition nécessaire et suflisante exige 1“ que les deux forces et le point soient renfermés dans un même plan cl 2” que les moments des forces par rapport au point fixe, soient égaux cl de signes contraires, puisque ce point appartient à la résultante (N” H).

Si le levier avait la faculté de glisser sur le point fixe, il faudrait en outre que la direction de la résultante fut normale au levier, afin que celui-ci ne glissât pas sur ce point.

Quand les forces qui agissent sur le levier sont parallèles , par exemple, quand ce sont des poids, les conditions d’équilibre prennent une forme très simple. O étant le |>oint d'appui (fig. üü, lit, Ü2), P la |)uissaiice, Q la résistance, et aO, hO les perpendiculaires abaissées sur les forces, il faut dans les trois cas que les trois points A, B, O soient renfermés dans un même plan contenant les forces P et Q et que l’on ait

P.Ou = q.oi,

ou bien

P:Q = Ofc:üu = OB;OA.

Les disUinr.es OA et OB du point fi.ve aux points d’apj)lication des forces se nomment bras île levier', on voit donc que les deux forces doivent être dans le rapport inverse des bras du levier.

Dans le cas général, lorsque des forces eu tiombrc quelconque et dirigées dans des sens quelconques sont appliquées au levier, la condition d’équilibre consiste encore en ce que toutes ces forces doivent

CUAPITItË VIII.

avoir une résultante unique ]>assant par le point fixe; en prenant doue ee point pour origine des coordonnées et rajqiortant ces forces à trois axes rectangulaires, eoniinc elles sont réductibles à trois forces X, Y, Z reii fermées dans les trois axes et à trois couples L , M, N renfermés dans les trois plans coordonnés, les conditions necessaires et sullisantes |iour assurer l’équilibre sont

quelles que soient les forces X, Ÿ, Z et celles-ci détcrniiiicnt une

pression représentée par |/.\* Y* -f-Z*. On voit par là que la pression est la même que si toutes les forces étaient transportées parallèlement à elles-mêmes au point d'appui.

Si on tient compte du poids du levier, il faut considérer ce poids comme une force verticale ajipliquéc au centre de gravité du levier.

73. Théorie des balances. — La théorie de l'équilibre des leviers est surtout utile pour établir les conditions il'équilibre de la plupart des balances. On donne ce nom aux machines destinées à mesurer les forces et particulièrement celles qui proviennent de l’action de la gravité, c’est-à-dire les poids des corps. La plupart de ces machines sont composées de leviers divci’scmcnt combinés. Nous examinerons successivement les principales.

La balance ordinaire se compose d’un levier droit Alt (lig. .'il) qu’on nomme /7é«i< , dont les deux bras sont identiques et dans lequel le point d’appui est placé entre les deux forces. .Aux extrémités du levier sont suspendus des plateaiux de même poids, sur lesquels on place d’un côté le corps qu’on veut peser et de l’autre le poids connu qui doit servir de mesure. Comme les deux bras de levier sont égaux, il faut pour l’équilibre que les deux poids augmentés des plateaux soient égaux et si les plateaux ont la même pesanteur, les poids cu,x-mêincs devront être égaux.

Lorsqu’une balance est en équilibre sous l’action de deux poids, on est assuré que ceux-ci sont égaux, si l'on est certain 1" que les bras de levier sont égaux et 2" que le centre de gravité de la balance, y compris les plateaux, lorsqu’elle est vide, est placé dans un |)lan vertical passant par l’axe de suspension ; en clfet si la seconde condition est .satisfaite, le poids de la balance ne contribuera pas à réquilibre,puisqu’il sera supporté par l’axe; l’équilibre aura donc lieu entre 1* et Q et on aura, p et </ étant les longueurs des bras du Iléau,

Vp = Q,,.

STATIQIE.

Si donc 1rs liras ;i cl q sont égaux, les poids P cl Q devront l’élrc égalcincnl.

On s’assure de la seconde coiidilion en vériliant (pic la lialaiiec esl en éipiililire à vide. Pour la première eondition, on (lonrra s’en assurer en vériliant (pic l’éipiilibrc snlisiste encore en changeant de plateau les deux poids: en effet le premier équilibre exige que l’on ait

et le second entraîne l’égalité

Q;> = Vq

d’où l’on tire en multipliant membre à membre,

P* = et p==q

74. Balance romaine. — Dans la balance ordinaire, les bras de levier sont constants et le poids servant à mesurer, est variable. Dans la balance romaine la longueur de l’un des bras de levier est variable et le poids qui sert à mesurer, est constant. Cette balance se compose d’un levier AC (fig. 34) ayant son point fixe en O. Kn A est suspendu un plateau dans lequel on place le corps P qu’on veut peser. Au bras OC on suspend un poids invariable Q et on avance ou recule le poids de suspension B jusqu’à ce qu’il y ait équilibre ; alors on apprécie le jioids de l’objet P par la position du point B sur le bras OC où sont gravTS des nombres indi({uant les valeurs de P pour chaque position de B. .Si le levier était mathématique ou sans pesanteur, la détermination de ces nombres serait facile puisqu'on aurait pour l’équilibre