CII.U'ITHE I

3" Une force peut élre cousiiléréc eoranie appliquée en un point quelconque de sa direction, pourvu que tous (ïcs points soient liés entre eux d'une manière invariiddc, puisque le déplacement communiqué à l’un d’eux dans le sens de la force se transmettra sans altération à tous les autres.

Il suit de la que deux forces égales et opposées l* et P' (fig. 1), se font équilibre si elles sont appliquées h des points A et B liés invariablement entre eux, car lu force P' pourra être transportée de B en où clic détruit visiblement la force P.

4" Si un système de forces appliquées à un corps est tel que par l'introduction d’une nouvelle force P on peut produire l'équilibre, ces jircmières fortes ]iourront être remplacées par une force unique P' égale et directement opposée a P; car si l'on introduit les deux forces P et P' qui se détruisent, on n'aura rien changé et comme, par hypothèse, P fait équilibre au système, on pourra, d'après ce qu’on vient de voir, sup|)rimcr P ainsi que les forces données et il ne restera que la seule force P'. Cette foiTc unique, capable du même clîet qu’un système de forces se nomme résultanle du système. Ces forces primitives prennent elles-mêmes le nom de eomposantes.

!i“ Si plusieurs forces sont appliipiées à un même point matériel et dirigées dans un même sens, la résultante est égale à la somme de ces forces. Cela résulte de l’hypothèse que nous avons faite (N" i) sur le mode d’action des forces.

(>'’ Si deux forces P et P' appliquées à un même point agissent <lans des sens directement opposés, la résultante est égale à la différence P — P' de ces forces et agit dans le sens de la plus grande P; en effet cette dernière peut être remplacée par deux forces dont rime soit égale à la plus petite P' et l’autre égale à la différence P — P’; si donc on supprime les deux forces P' qui se font éiiuilibre il ne restera que la force P — P’ qui sera par conséquent la résultante.

Il suit de lè que la résultanle d’un système de forces agissant sur un point matériel suivant une ineme droite dans les deux directions opposées, est égale à la somme des forces qui agissent dans un sens moins la somme des foires qui agissent dans le sens opposé.

7“ Si deux forces non en équilibre agissent simultanément sur un point matériel, ces deux forces ont une résultante; car il est éiidenl que le point tendra à se déplacer dans une certaine direction, cl que par conséquent une force convenable empêchera ce déjdacemenl cl maintiendra l’équilibre. Cette force prise en sens inverse est donc la résultante. (Voir 4".)

STATIQUE. h

Cellu-ci est renfermée dans le plan qui contient les deux forces; rar il n’y a pas de motif (lour qn’elle soit placée plutôt d'iin cùlé (|uc de l’anlre de ce plan, attendu que tout est symétrique des deux côtés. Hile est aussi dirigée dans l’angle formé par les directions des deux forces P et Q; en effet, si R (fig. 2) pouvait être cette résultante, une force R’ égale cl directement opposée à R ferait équilibre à P et Q et en rendant fixe un point O du système lié an point A et pris entre R et P, l’équililirc devrait encore exister (voir I"), ce qui évidemment n'a pas lieu, puisque R', P et Q tendent Ji faire tourner A autour de O dans le même sens. Si les deux composantes étaient égales, la résultante devrait diviser en deux parties égales l’angle formé par ces forces, puisqu’il n’y aurait pas de motif pour qn’elle se rapprochât de Tune des forces plus que de l’autre.

.I. Composition des forces. Parallélogramme des forces. — On appelle composition des forces, l’opération par laquelle on détermine la résultante d’un système de forces, et décomposition, l’opération inverse ayant jiour objet de remplacer une force unique par plusieurs forces capables du même effet. La composition îles foi-ces est fondée sur le théorème suivant : Si la résultante de deux forces P elQ formant entre elles un angle a ainsi que celle de deux forces P et fj’ formant entre elles le même angle, sont dirigées toutes deux suivant lu diagonale du parallélogramme construit sur ces forces, la résultante des deux forces P et Q -I- Q' sera aus.si dirigée suivant lu diagonale du parallélogramme construit sur ces deux dernières forces ; en effet si on représente par AU, AC cl CD (lig. .5), les trois forces P, Q et Q’ et qu’on construise les parallélogrammes CABL et DCEF, la résultante de Aü et AC sera dirigée par hypothèse suivant .AE, son point d’a]qdicution pourra être transporté du point A au point E et si l’on construit le parallélogramme F.CKII égal à AREC, la résultante dirigée suivant EK pourra être remplacée par les deux forces EG cl Eli que l'on pourra concevoir appliquées l’uiic au point F et représentée par FL, l’autre au point C et représentée par CE. Les deux forces CE cl FL tiendront doue lieu (les deux forces AB et AC; mais la résultante de CE et Cl) est dirigée par hypothèse suivant CF et peut être appliquée ou point F; les trois forces AB, AC et CD ou P, () et Q' sont donc remplacées par celle dernière et par la force FL ap|iliquées toutes deux au point F et ayant par conséquent une résultante qui passe par ce point ; la résultante de P, y et y' est donc dirigée suivant AF qui est la diagonale du parallélogramme construit sur P et Q -f- y'.

On conclut de là que la résultante de deux forces qui sont entre elles

ti i:iUI‘ITIlE I.

ilans le riippiirldcdeiix nombres cnlicrs, est dii'igéc siii\ant la diagonale du parallélograinine conslrnil sur CCS deux forces; en effet la proposition est évidente pour deux forces égales 1’ et 1’, clic est donc vraie pour le syslème des forces P et en vertu du llicorèinc qu'on vient de démontrer. La proposition étant vraie pour P et t!P d'une part et j)our P et P d'une autre part, est vérifiée pour P et .“îP et ainsi de suite jusqu'à P et «P. De même la proposition étant vérifiée pour «P et P cl pour mP et P, le sera pour nP et 2P et par conséquent pour nP et âP cl en général pour «P et mP, iii et u étant deux nombres entiers quelconques.

II en est de meme quand les forces sont dans un rapport incommensurable; car si la résultante de AC et AH (lig. A) pouvait être dirigée suivant AK, en divisant AB en parties égales plus petites que DE et en portant un certain nombre de ces parties sur BD, uu point de division tomberait entre K et Del l'on formerait un parallclograinnie .AccB dans lequel les côtés Ac et .AB seraient eommcnsurables ; la résultante de AB et ,\c est donc dirigée suivant Ae; la résultante de cette dernière et de Ce , résult.inte qui n'est autre que celle de AB et .\C , serait donc dirigée suivant AE, ce qui n'est |)as possible puisqu'elle doit être comprise dans l'angle C.\c formé par les deux forces. On démontrerait de la même manière que la résidtante ne jiciit pas venir rencontrer le côté CD entre les points C et D; elle est donc dirigée suivant la diagonale AD.

Il reste encore à trouver la grandeur de la résultante dont on vient de fixer la direction; à cet effet observons que si U est la résultante de P cl O (lig. H), une force R’ égale et directement opposée à R leur fera é(]uilibre; d’où il suit que Q fera équilibre à P et R' et ipic par conséquent le prolongement .\C' de AC sera la direction de la ré.sultaute de P cl R'. U' doit donc être tel <|tie AC' soit la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur .\B et sur R'; il ^uit de là que si l'on mène Bti' parallèle à R cl C’D' parallèle à .\B , AD' repré.sentera la valeur de R' ou de R ; or à cause des parallélogrammes ,\B(;'D’ et .\DBC', AD' est égal à B(i' et BC' à AD ; donc .AD’ est égal à -\D, c’est-à-dire que /(I résuHatile de deux forces appliquées à un point, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces.

fi. Démonstration analgtique du parallélogramme des forces. — Cette proposition importante (pii est due à Simon Steven et (|ui constitue le théorème du parallélogramme des forces, peut être démontrée par des considérations purement anal) liijucs de la manière suivante : soient et Y (lig. fi), deux forces appliquées uu point O et dirigées sui-

STATIQl E.

vnnt doux droites furMiiiiil un an;;le droit , ou eu d’outres termes, deux forces orthogonales et soit R leur résullaule raisaiil l’angle * avee X. Il est CAiilcnt(|uc les Aaleiu-s de U cl de a dépendent de X et de V et que par conséquent en désignant par f, F, -'y et ÿ des fonctions de forme inconnue, on doit avoir

et en éliminant Y entre ces é(|uations, il viendra

R=!;(X,a) ou X = y(R,a).

D’autre part, si les forces X et Y sont douldécs ou triplées, la résultante R sera clle-nièinc visildeinent doulilée nu triplée en conservant la même direction et, en général, si les forces X cl Y croissent ou décroissent dans le même rapport «, la résultante R croîtra ou décroîtra dans la même proposition en conservant la iiiéme direction. Il suit de là que si dans l’équntion précédente on change X en «X , R doit se changer en nR et que par conséquent on doit avoir (*)

y (;iR, a) = (R, a),

ce qui n’est possible qu’à la condition que <p(R, a) soit de la forme R?«; on doit donc avoir,

X = Rya.

En changeant a en - — « et X en Y, on aura de même Y = Ry(^^-«).

Cela posé, par le point d’application O (fig. 7), faisons passer trois axes rectangulaires et proposons-nous de déterminer la résultante R de trois forces X, Y, Z dirigées suivant ces trois axes. Pour cela on déterminera d’abord la résultante r des deux forces .X, Y, puis on cherchera la résul-

(') Cotte égalité qui doit exister pour toute valeur de n , donne

or, si ou coneoil ytiill,») développé suivant les puissances nsccndanles de «Il sous la forme « -*- <i(w U) -t- c (iill)3-t- etc., ou devra avoir ideiitiquenieiit

Ÿ(R.a) =- -4- //Il cfill’ -t- rf»>R3 -H etc.

c’est-à-dire que le second niriiihre devra être indépendant de a comme le premier, ce qui n'a lieu iiuc si a, c, d... sont nuis, et par conséquent, si la fonction y est de la forme 6R, c’est-à-dire, R^.

Cll.kl’ITIIE I.

lanlo U de r et de Z. Or si on désigne par a et : les angles (pic font r avee X et K avec Z, on doit avoir visiblement

X = rya , >• = Rf

et par conséquent

x=iV?^^ —

D’nn antre côté, si on rommencc par clicrcher la résultante r” de Y et Z et qn’cnsuite on détermine la résullantc H de r' et de X , on Iroiivera , en désignant par x l’angle formé par R avec X ,

X = RifX.

Rn égalant res deux valeurs de X on est conduit à la relation

Telle est l’équation de condition qui caractérise la fonction ÿ et qui va nous servir à déterminer sa forme. Remarquons que l’angle irièdre O.XRr i-ectangle en r donne entre les memes angles x, * et i cette autre relation

cos I = ens a sin î -, (2)

or, si la relation (I) était distincte de cette dernière, on pourrait de ces deux équations tirer les valeurs de x et de î en fonction de a, résultat absurde, puisque en laissant X et Y invariables et faisant changer Z, a ne ebangera pas, tandis que x et: changeront visiblement de valeur. Les deux relations

et cos X = cos a sin :

devant subsister en même temps cl les angles x et z ne pouvant pus être cxjirimés en fonction de a, yx ne peut être que cas x (*), ou plus gcnéndcmcnl yx doit être de la forme (cosx)“ ce qui fait prendre h la première équation la forme

(cos x)* = (eos a)" (sin z)"

(•)ll est il l■elna^lpler que réqu.ilian (2) serait unique si fT puiivait cire eoiistant

et égal à l’unité, ce qui n'est pas admissible puisque et f (i-“) auraient

celte mcriic valeur constante, et que par conséquent X cl Y devraient être égaux , puisque Ton a

^TATIQUl:.

qui rentre en effet dans la seconde en élevant les deux iiicinhrcs de cellc-ei à la puissance «. L'exposant o se détermine en observant que si on décompose une force R (lig. 8) en deux forces orthogonales X et Y et qu’on décompose ensuite les forces X et Y en deux autres dirigées suivant leur résultante AR et suivant une perpendiculaire BC, les composantes suivant BC doivent être égales et opposées, et les deux composantes suivant AR réunies, doivent être égales !t R. Les forces X et Y sont en effet égales à R (cos x)“ et R (sin i)“, leurs composantes suivant BC sont toutes deux R(cos x)“ (sin x)“ et les deux composantes suivant AR sont

R (cos x)“ (cos x)“ et R (sin x)* (sin x)“ ;

on doit donc avoir, en supprimant le facteur commun R et pour toute valeur de x,

(cos x)’“ -4- (sin x)*" = I .