TT
Pour X égal à - , sin x et cosx sont égaux à — =et ré([uation devient = 1 d’où '’l'* sss'i
ce qui fait voir que a est égal à ruuiléet qncpar eonséquent yx = cosx. Les deux composantes X et Y de R (lig. 0) sont donc
X = Ucos*, Y = Rsina et comme on tire de là
X* -4- Y* = U*, tanga= — ,
on voit que la résultante de deux forces orthogonales est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du rectangle construit sur ces forces.
Le théorème peut être ensuite étendu à deux forces P et Q formant un ilnglc quelconque BAC (lig. !t) en observant que si on décompose la force P représentée par AB en deux autres .VE et AF dirigées Func suivant la force Q cl l’.iutre suivant une perpendiculaire AF, la résultante de P et Q sera la même que celle de AF et de AC -4- AE ou AC-4-CC = AG, résultante qui est représentée par la diagonale AD du rectangle FAGl); or AD est aussi la diagonale du parallélogramme construit sur P et Q, car en menant la droite CD on forme un triangle rectangle DCG qui est égal au
fîllAPITlIK I.
triangle IIAF, ])uisqiic DG cl GC = AE sont cgtuix à AF et HF = AE, d’où il résulte que l)C est égal cl parallèle A AU cl par conséquent que HACD est un parallélogramme conslniit sur AB cl AC.
7. Autre démonstration imitée de relie de Simon Steven. — Celle proposition fumlaincnlale du parallélogramme des forces peut aussi se déthiirc fort simplement des circonstances de l’équililirc d'une eliaine sur un plan incliné; en effet ABC (fig. 10) étant un triangle rectangle dans lequel BC est vertical, il est visible qu’une eliaine uniformément pesante cl continue CADUC restera en équilibre, ce qu’on peut considérer soit comme un principe d’expérience, soit comme une conséquence de celle remarque qu’un mouvement, s’il avait lieu, serait sans effet et sans eaiise, |misqu’il ne ferait que placer la chaîne dans des circonstances toujours identiques. Cela posé, le |)oinl C de la eliaine est tiré d’un côté par la partie CA tendant à glisser le long du ]>lan incliné et par la tension en A de la partie pendante AD, et de l’autre côté par le poids de CB et la tension de BDA en B. Or, .VB étant horizontal, ADB se compose de deux parties symétriques AD et BD cl les deux tensions extrêmes en A et en B sont égales. La traction sur C due au poids de CA est donc égale au poids de CB. L’équilibre subsistera encore si on concentre en un point M et un point M' les masses de ces deux parties de la eliaine et qu’on les lie entre elles par un fil malliémalique MCM'. La tension du fil .MC est évidemment la cumpusunte du poids P de M suivant AC, composante qui est Py* (N" C), « désignant l’angle C; la tension du côté CB est représentée par le poids Q de BC ; on a donc
et comme P et Q sont proportionnels à AC et BC et que le rajiporl BC
— est égal au cosinus de a, on trouve, coninie dans lu liemous- Iration analytique ,
ÿO — cos a.
8. Conséquences immédiates du purullélngrommc des forces. Leur décomposition. — Il résulte du lliéorème précédent que deux composantes quelconques et leur résultante sont représentées par les trois côtés d’un triangle ABD (fig, 5) et que l’on a pur coiiséipicnl la proportion
P : Q : U = sin BDA : sin BAD : sin ABD ,
•STATIQUE
uu biun
I’ : Q : K = sin UAC : sin BAI) : sin BAC
en remarquant que les angles ABI) et BAC sont supjilémentaire.s et ont le iinime sinus. Cette ])i'oportiun a|)|ireii(i que chacune île ces trois forces est proportionnelle an sinus de l'angle formé par les deux autres.
On voit aussi que si trois forces P, Q et R se font équilibre autour d’un point A (fig. 11), il fout que R soit égal et directement opposé à la résultante R' des forces P et Q, e'esl-àHÜre, à la diagonale AD du parallélogramme construit sur AB et AC, et comme on a
P : Q : R’ = sin DAC : sin BAD : sin BAC,
il vient aussi, en remarquant que les angles supplémentaires ont le même sinus,
P : Q ; R == sin QAR : sin PAR : sin PAQ ,
e'e.st-inlire, <|uc lorsgue trois forces se font équilibre autour d'un point, elles sont toutes trois renfermées dans un même plan et chacune d’elles est proportionnelle au sinus de l’angle formé par les deux autres.
Le triangle ABD donne l’expression analytique de la résult.-mte de deux forces, car on a
AD* = AB* -f- BD*— 2AB.BÜ cos ABD,
ou bien en remarquant que les angles supplémentaires ABD et BAC ou •* ont les cosinus égaux et de signe contraire,
R* = P* -f- Q* 2PQ eos «.
Si l'angle o était droit, cette valeur se réduirait à P* Q*.
La décomposition d’une force R' en deux autres dirigées suivant deux droites données AB et AC s’effectue en construisant le parallélogramme BACD. La valeur des composantes résulte aussi de la proportion démontrée au N" précédent, savoir
P:R' = sin DAC; sin BAC Q:R' = sin BAD : sin BAC
d’où l'on lire
... si" IL\C , sin BAD
^ sinlLU:’ ^uBAC'
i;iiAi>nnE
Si l’angle BAC wl droit et qu'on représente par a l’angle BAD, les valeurs précédentes se réduisent à
R'eoso, R’sina.
9. Parullélipipède des forces. — Si trois forces P, P', P", (fig. 12) représentées par les droites AB, AC et AD non renfermées dans un même plan, agissent sur un point A, on trouvera leur résultante en composant d’abord les deux forces P et P' c'est-à-dire en les remplaçant par leur résultante Q représentée par la diagonale AE; puis en ehereliant la résultante des deux forces Q et P" ou AE et AD, résultante qui est la diagonale AF du parallélogramme ADFE; mais AF est visiblement la diagonale du parallélipipèdc uonstruit sur AB , AC et AD; d’où résulte ce théorème plus général : la résultante de trois forces qui agissent sur un point est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du paratlélipipède construit sur ces forces.
Ce théorème permet de décomposer une force donnée R en trois autres dirigées suivant trois droites données passant ]>ar un point situé sur la direction de la fonte; il suBit pour cela de construire le parallélipipèdc ayant AF pour diagonale et les trois droites indéfinies, pour arêtes contiguës. La valeur des trois composantes prend une forme très simple lorsque les droites données sont perpendiculaires entre elles ou lorsque le parallélipipèdc est rectangle; en représentant para, P, 7 les angles formés par ces droites avec la force, le triangle ADF sera évidemment rectangle en D et l’on aura
AD = AF’ cos DAF ou P" = R cos y;
on a de même
P = Rcosa, P' = Rcosj5.
Une propriété connue des parallélipipèdcs rectangles donne aussi la relation
Ri = pi -V- P'i -H P' î
à laquelle on est conduit par les valeurs précédentes en remarquant que l’on a
p! p'î H- P "i = R* (cos*a -s- cos*S -t- cos-y)
et que les trois angles «, ^ et y que forme une même droite avec un système de trois droites rectangulaires, ont toujours entre eux la relation
cos*a -+- cos*p -V- cos^y = I .
!>TATHJt'E.
10. Itésiiltante d’un nombre quelcontjue de forces appliquées en un point. — Ce qui préeède suffil pour délermiiicr géuiiiélriquemeiil lu résultante d’un nuinbrc ({ucleonquc de forces P, P’, P", P'" etc. , appliquées à un point dans des directions quelconques; pour cela on composera d’abord deux forces P et P' en une seule Q ; on composera ensuite la résultante Q avec une troisième force P" ce qui donnera une nouvelle résultante Q' que l’on composera avec une quatrième force P"' et ainsi de suite. On arrivera ainsi à la résultante de tout le système. En eireetuant ces opérations successives, on est conduit à une construction fort sim|dc de la résultante R; car si l’on remarque que
RO, ÜF, FU (lig. 15) sont égaux et parallèles à AC, AE, AG ou
P', P", P’"...., on voit que pour obtenir la résultante AH, il faudra construire le polygone gauche ARÜFII dans leiiuel un des côtés AU est une des forces cl les antres côtés sont égaux et parallèles aux autres forces du système; le côté Ail qui ferme le polygone représente la résultante. L’ordre suivant lequel se succèdent ces côtés est indifférent puisque l’ordre suivant lequel on clfcclne les compositions successives des forces, est lui-niémc arbitraire; si le polygone était fermé ou si le dernier point H tombait en A, la résultante serait nulle et il y aurait équilibre.
11. Expression analytique de cette résultante, — L’expression de
cette résultante pourrait être trouvée en fonction des composantes et des angles qu’elles forment entre elles; mais on y arrive d’une manière plus simple en rapportant toutes les forces à trois axes recUngulaires; en effet si a, p, y, a, (3', •/, p", y".... rejiréscntent les
angles formés par les forces P, P’, P",.... (lig. 14) avec trois axes rectangidaircs fixes, on pourra ( N“ !t ) décomposer chaque force
P, P', P'' en trois autres (P cos a, P cos 3, P cos y), (P' cos a',
P' cos [3', P' cos y'), (P'' cos a" dirigées suivant les trois axes, et
en faisant
X = P cos a -4- P' cos Y = P cos P P' cos P' -4- — ,
Z = P cos y -4- P' cos y' -I
tout le système sera remplacé par les trois forces .X, A', Z; si donc R est la résultante et a, 6, c les angles qu’elle forme avec les axes, on aura
R*=X*-4- Y*-4- Z*=(Pcosa-4-etc.)*-4-(Pcüsp -4- cte.)*-i-(Pcosy-4-elc.)*,
Rcosn= P cos a -4- P' cos St' -4- etc., Rcos/;=Pcos[3 -4- P'cos^'-»- etc.,
R cos c = P cos y -4- P' cos y' -4- etc.
CHAPITHK I.
(l’où l’on lire
P cos « P’ cos -t- etc. , P cos S -»■ P' cos S' -i- etc.
us(i= , cos6= n ’
P cos V H- P' cos •/ -f- etc.
Ces cqualions dctcriiiincnt rintcnsilc de In rcsiiltanic et les angles qu’elle fait avec les trois n\es. Il est visible que les dilTcrents termes qui forment les valeurs de X, Y, Z sont positifs on négatifs selon que
les angles «, jî, y.
sont aigus ou iditns, on ce ipii revient an
même, selon que ers eomposantes sont dirigées dans le sens des axes positifs on négatifs.
Si toutes les forces étaient renfermées dans un même plan , en le prenant pour plan des XY, les eomposantes parallèles à l’axe des Z (lis|)aruitraicnt évidemment et les é<|nntions précédentes deviendraient
R=j/.X*-t-Y-=^(Pcosa -(-P'cosa'-+-ctc.)’-4-(Pcos|5-i-P'cuS|6'-i-etc.)’,
P cos a -f- P' cos a' -t- etc. , P cüs â P' cos S’ -t- etc.
cosa— — , cos 6 = ! — ■ IJ — —
ou plutôt, en observant que les angles (a. S), (a’, 6').... (a, h) sont complémentaires et que par conséipicnt les cosinus de p, p'... b sont égaux aux sinus de a, a ,
l\ = \/ (P eos a P cos a -+
cos a ==
h P' cos a’ etc.)*
P' cosa' etc.
(P sin a P' sin a' -+- etc.)’, Psin a P' sin a' etc.
sut a :
On peut aussi faire dépendre de la théorie du centre des mojennes distances la détermination de la résultante d’un système de forces P, P', P".... a|tpliquécs en un même point; en elfct les extrémités de ces forces qui font avec trois axes rectangulaires desangles a, p, y, a'...., ont pour coordonnées i’cosa, PeosjS, P cos y, P' cos a'....; en désignant donc par x, i/, z les coordonnées du centre des moyennes distances de leurs extrémités et par n le nombre de force.s, on aura d’après la délinition des moyennes distances,
, P cos p £ P cos y
£ P cos a
Joignons par une droite le rentre des movennes distances à l’ori-
STATIQUK.
xiiic; iu*Ue droilR fera avec les axes des angles ayant pmie ensiniis
ï I* cos »
- , etc.
|/ (ï P C((s a)* (ï P eos (ï P cos •/)* et elle aura pour longueur
-i- tf -t- Z* = t^(- (- ‘* T’)* (“ P y)^ .
En comparant ees résnltaLs à ce qui a été dit plus liant sur la résnllanlc d’un système de lorces appliquées h un même point, on est conduit à ce théorème : La résiillatile de ii forces applieiuées en unmèine point est représentée par n fois la droite qui joint le point commun d'application au centre des moyennes distances des extrémités de chacune de ces forces.
On verra plus loin (N” 33) commeut ce théorème se généralise lorsque les forces ne sont pas appliquées en un même point.
12. Théorème sur les forces estimées suivant une direction donnée. — Si l’on décompose une force en deux autres, l’une dirigée suivant une parallèle à une droite donnée et l’autre renfermée dans un plan perpendiculaire, la première composante, qui n’est autre que la projeclion orthogonale de la force sur cette droite, est dite force estimée suivant la direction donnée', et l’autre composante, ipii est la projection de la force sur un plan periicndiculairc à la droite, est dite force estimée normalement d la droite. En représenlant ilonc par a l’angle formé par P avec une droite, Pcosn sera l’expression de P estimée suivant la droite et Psin a l’expression de la seconde composante. Il résulte de là que dans l’équation du numéro précédent, savoir :
R cos a = P cos a -t- P' cos st' etc.,
le premier membre représente la résultante U estimée suivant l’axe des X et P cos «, P'cos a'.... rejtrésentent les forecs P, P' etc. estimées suivant le même axe. Comme cet axe est pris dans une direction arbitraire, on conclut de cette équation que pour un système de forces appliquées à un point, la somme des composantes estimées suivant une droite quelconque est éyule à la résultante estimée suivant la même droite. Il est visible aussi que la projeclion de la iTsnlIante H sur le plan YZ est aussi la résultante de tontes les forces représentant les projections des forces P, P'.... de l’espace sur ce ])lan; car si on applique
IG
CIIAIMTIIE I.
I» résulUinlc U en sens inverse, il y aura éqiiilil»rc auloiir du point ; si ensuite on déemiipose loules les forées y compris la résultante prise eu sens inverse , eu deux autres les unes renfermées dans l’axe des X cl les autres reufcrniées dans le plan YZ, les premières se feront équilibre, puisque la composante de la résultante suivant l’axe sera la même que précédemment, mais en sens inverse, et eu supprimant ces composantes eu équilibre il ne restera que les composantes renfermées dans le plan YZ, qui devront doue aussi se faire équilibre entre elles; d’où il suit ipic la composante normale de la résultante R tiendra lieu des composantes normales des forces 1*, P', P"...
15. Théorème sur le moment d’une résultante par rapport à tin axe. — Il existe entre les composantes P, P'.... et la résultante R estimées normalement à un axe, une relation importante; soit CC’ (fig. lîi) cet axe et P l’une des forces appliquées au point A et faisant avec CC’ ou avec une parallèle AX, un angle PAX désigné par a. Si on prend pour axes coordonnés la droite AX , la perpendiculaire AY sur CC’ et une pcrpemlieulaire AZ sur le plan XAY, on a d'après ce ((ii’on vient de voir et en conservant aux lettres la même signilication que plus haut,
Rcnsb = Pcosp -t- P’cosj5’-4-ctc., Rcose = Peosv i-P’eosy'-+- etc.. (I)
mais ces composantes des fonTs R, P, P'.... suivant les axes des \ et des Z peuvent être obtenues d’une autre manière; si l’on décompose P en deux forces </ et c/’ dirigées l’iine suivant l’axe des X et l’autre perpendiculaire à cet axe, on aura
cy = P cos * , ry’ — P sin « ;
et il est visible que /y’ renfermé dans le plan des YZ, pourra être décomposé en deux forces suivant les axes des Y et Z, qui ne seront autres (pic Pcos^ cl Pcos y. En représentant donc par e l'angle ij'W que forme avec l'axe des Y la force ({', les deux composantes de (y' seront ry'cos f cl ey'sin £; on a par conséquent
P cos fi — fy' cos f , P cos y = fj' sin e ou en remplaçant cy' jiar sa valeur donnée plus haut,
P cos P — V sin * cos e, P eus y = P sin a sin £.
Si l’on représente par e,e, e" les quantités analogues à £ pour R, P’, P’’..., la seconde des deux équations (I) devient
R sin a sin e = P sin ». sin £ -t- P’ sin »' sin £' etc.
VrATIQI’E.
Pour iiiltTi>iTlci' güoiiu'triqiiuincnt ccttc relation, multiplions les deux inemlircs par ÔA = h et remarquons que OH étant perpendienlaire sur r/', est égal à b sin il vient eu désignant 01) par p et par r, ;/, les quantités analogues pour H, P', P" ,
l'R sin tt = pP sin a -i- ;/P' sin a -t- etc.
P on 01) est la plus eonrte distanee de l’axe CC' et de la force P; car on sait que si par l’une des droites AP un fuit passer un plan PAX parallèle à lu seconde CC, la jdiis courte distance est égale à la perpendieulairc OB abaissée d'un ]>oint O de CC sur ce plan. On appelle mimient d'une force par rapport à un axe le produit de ccttc force estimée normalement à l’axe, par la plus courte disUmee de la force à l’axe; on voit donc que l’équation précédente conduit à ce tliéorèmc : la somme des moments par rapport à un axe d'un système de forces appliquées à un point est égale au moment de la résultante par rapport au même axe.
H. Théorème sur le moment d’une résultante par rapport à un point. Signes des moments. — Si toutes les forces étaient renfermées dans un même plan, en prenant l’axe CC perpendiculaire à ce plan, il est évident que les angles a , x, a'.... seraient droits et l’équation précédente deviendrait
Rr = Pp -t- P'p’ -H etc.
dons laquelle r, p , p’ seraient évidemment les perpendiculaires
abaissées du point O (flg. IC), intersection de l’axe et du plan des forces, sur les forces R, P, P’.... Un produit de la forme Pp se nomme moment de la force P par rapport au point O qui prend le nom de centre des moments; on voit donc que, pour des forces renfermées dans un même plan et appliquées à un même point, le moment de la résultante par rapport à un point renfermé dans ce plan, est égal (i la somme des moments des composantes.
Il suit des lieux tbéorèmes précédents, 1" que pour des forces appliquées en un même point et dirigées d’une manière quelconque dans l’espace, la somme des moments par rapport à un axe est égale à zéro, quand l’axe des inomenls est rencontré par la résultante et 2" que pour des forces renfermées dans un même plan , la somme des moments par rapport à un point est nulle, si le centre des moments est placé dans la direction de la résultante, car dans l’un et l’autre ais, on a r == 0.
CUAPITHE I. — STATIQUE.
11 est à remarquer que les moments des forces, dans les relations précédentes, peuvent être positifs ou négatifs; ce qui dépend du signe des dilTércnls termes P cos y, P' cos •/.... de l’équation
R cos c = P cos y -t- P' cos y’ ■+■ etc.
dont on s’est servi; or ces termes sont positifs ou négatifs selon que les composantes P cos y, P' cos y'.... sont dirigées dans le sens des Z positifs ou dans le sens des Z négatifs; c’est donc cette circonstance qui détermine le signe du moment de chaque force. On peut rendre l’observation du signe très facile par la remarque «pic les composantes positives tendent h faire tourner le point A autour de l’axe CC' dans un sens, tandis que les composantes négatives tendent à le faire tourner en sens contraire; on peut donc énoncer le principe des moments de cette manière : Le moment de la résultante d'un système par rapport à un axe est égal à la somme arithmétigue des moments des forces gui tendent à faire tourner le point matériel dans un sens, moins la somme arithmétigue des moments des forces gui tendent à faire tourner en sens inverse.
■15. Eguilihre de forces appliguées en un même point, — Pour qu’il y ait équilibre entre les forces P, P’, P’’.... appliquées .à un inéinc point, il faut et il sullit que la résultante soit nulle ou que l’on ail
Les conditions d’équilibre entre les forces sont donc données par les trois équations
ou bien
P cos a P’ cos a -H etc. =0, P cos P -i- P' cos (i' -t- etc. = 0,
P cos y -t- P' cos y' etc. = 0.
Si les forces étaient renfermées dans un même plan (N“ 15), les conditions d’équilibre sc réduiraient aux deux suivantes
P cos a -f- P' cos a' -4- etc. = 0, P sin a P’ sin a -t- etc. = I).
Il résulte aussi du théorème démontré au 1 1 que la condition nécessaire et suilisantc pour l’équilibre du système de forces appliquées en un point, est <pie le centre des moyennes distances des extrémités de toutes les forces se confonde avec le point unique d’application.
