CHAPITRE IX

projection de la xitesse virtuelle n’est autre chose que la quantité dont la force avance ou recule pendant le (lc])laccincnt virtuel, on prend positivement les nionieuts virtuels des forces qui avancent et négativement ceux des forces qui reculent et le principe général consiste en ce que la somme algébrique des moments virtuels d'un système de forces en équilibre est toujours nulle.

Pour le démontrer d’une manière générale, considérons d’abord le cas où toutes les forces sobt appliquées à un même point. Si on imprime è celui-ci une vitesse virtuelle J* et qu’on désigne par a, a! etc., et O les angles formés par les forces P, P' etc. et jiar leur résultante R avec la direction de is, comme la résultante estimée dans une direction est égale à 1a somme des composantes estimées dans la même direction (N° 12) , on a

R cos O = P cos a etc.

et en multipliant par Ss,

R>fs cos H = Pos cos « -4- etc.

mais (fseosa, (î.scosa etc. ne sont autre chose que les projections de 1$ sur R, P, P' etc. ; eu désignant donc cellcs-A’i par Jr, 3p, op' etc., on aura

R^r := PJp -H P'àp' -4- etc. = iVip.

Si le point d’application commun est entièrement libre , il faut pour l’équilibre que R soit nul ; on a donc dans ce cas

iPip = 0.

Si le point n’est pas libre, mais assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe, la résultante ne devra pas être nulle, mais devra être normale à la surface ou à la courbe , et comme le seul déplacement compatible avec cette condition est dirigé suivant la tangente k la courbe décrite, et par conséquent perpendiculaire à la direction de R , la projection âr sera nulle et on aura également

iPip = 0.

En second lieu , le principe des vitesses virtuelles se vérifie aussi dans un système de deux forces égales T et T' opposées et apjdiquées aux extrémités d’un fil inextensible, c’est-à-dire que si AH (fig. 73) et A'B' représentent le fil avant et après le déplacement, on doit avoir

T. An -4-T'.Bi=0;

MATIQUE

on ciTcl, si a est l'angle iiiriiiinit'iit petit que forinc A'R' avec Ali, euiiiiuc ab est In projection de A'B' sur AB , on a

ou plutôt

ab == A'B' cos a

ab = A'B'

parce que le cosinus d'un angle infiniment petit est ôgal à l'unité, aux inriniincnt petits près du second ordre; or, à cause de l’inextensibilité du fil, les longueurs AB et A'B' sont égales; on a donc aussi

a6 = AB et par suite Ao = B6,

c’cst4-dire que Aa et B5 sont égaux et de signe contraire , ce qui vérifie l’équation des vitesses virtuelles précédentes. En troisième lieu, l'équation des vitesses virtuelles se vérifie encore lorsque deux l'orccs T et T' (fig. 7C) se font équilibre par rintermédiaire d'un cordon inextensible AOB passant dans un anneau ou sur une poulie placée en O ; en effet on sait que pour l'équilibre les deux forces T et T' doivent être égales et en oiilrc, si le déplacement virtuel amène le point A en A' et le point B en B', on aura

Oa = OA' cos A'Ofi = OA', 06 = OB’ cos 60B' = OB',

parce que les angles A’OA et B'OB sont infiniment petits; il suit de là que

A’O + OB' = uO H- 06

et comme AO -f BO est égal à A'O + B'O à cause de l'incxtensibilité du fil , on a aussi

oO -4- 06 = AO -i- OB

et par suite ,

AO — aO = 06 — OB ou bien Aa = B6,

ce qui vérifie l'équation des vitesses virtuelles.

Il suit de là que si aux deux extrémités A et B d'un cordon inextensible on applique des forces en nombre quelconque en équilibre , l’équation des vitesses virtuelles se vérifiera pour toutes ces forces; en effet la tension T' du cordon transportée par la pensée au point A, fait visiblement équilibre à toutes les forces appliquées en ce point; la somme totale de leurs moments virtuels est donc nulle et le moment virtuel de. T' est égal à la somme des moments des forces pris avec des signes contraires. Pour le même motif le moment virtuel de T est

CIIANTIIE IX.

égal à la somme des moments des forces appliquées en B; or la somme des moments virtuels de T et de T' est nulle quand le fil est inextensible; la somme des moment: virtuels des forces appliquées en A et en B est donc nulle.

Si dans les deux cas que nous venons d'examiner, le cordon n’etait pas inextensible, mais était élastique et formant ressort, lu somme des moments virtuels T. A« ■+■ T'. B6 n’aurait pas été nulle, et en la mettant sous la forme T (Aa B6) , Aa -i- B6 serait l’allongement du fil pendant le déplacement virtuel et cette somme des deux moments virtuels formant le moment virtuel du ressort, deviendrait

TJt ,

e’est-à-dirc, la tension du ressort multipliée par son allongement, de sorte que , en rétablissant les forces en nombre quelconque appliquées aux deux extrémités du cordon et qui produisent sa tension , la somme de leurs moments virtuels ne serait pas égale à zéro comme dans le cas de l’inextensibilité , mais c’est cette somme augmentée du moment virtuel de la tension qui serait nulle.

Considérons maintenant un système de forces quelconques, réagissant les unes sur les autres an moyen de fils inextensibles, libres ou passant sur des poulies ou dans des anneaux cl ayant quelques-uns de scs points assujettis à glisser sur des courbes ou des surfaces. Pour que l'équilibre ait lieu dans tout le système, il faut que les forces qui agissent sur cbaque nu'ud , y compris les tensions des cordons qui y aboutissent et les pressions des courbes ou des surfaces, se fassent équilibre. Si donc on désigne par P, P'.... les forces proprement dites qui agissent sur le premier nœud, par T.... les tensions des cordons qui y aboutissent et par il la pression de ce point contre une surface ou une courbe, on doit avoir

iPop iT'Jt -t- ll'j'jr = 0.

Autour des autres nœuds on aura de meme

ïP’o>' -H ïTVf -t- ii'Jrr’ = 0 ïP"d>" -A- + Il'Va'' = ü

et pur conséquent en additionnant

iPi?/) H- ïP'Jp' -t- sP"(îp" t- ïTot -1- iT'âl' -H

-i- iiJr -I- n'Jff' -I- etc. = 0.

STAflglE.

Or dans les soiiimrs des moinciiU virtuels des (élisions des eurdoiis, cliai|iie tension est eoni(irisp deux fois, et il résulte de ce qui (iréeède que ces sommes partielles prises deux à deux sont milles. On a vu aussi que les moments virtuels des pressions n^rr, tlVir' etc. sont égaux à zéro, si la surface est fixe et dépourvue d’élasticité; l'équation précédente SC réduit donc a

iPtip ïP'ifp' -t- etc. = 0

ce qui est conforme à l’énoncé du principe.

91. Principe des vitesses virtuelles dans un système à ressorts. — Si les cordons au lieu d’étre inextensibles étaient élastiques, les sommes des moments virtuels des tensions ne seraient plus nulles deux à deux, mais d’après la remarque du numéro précédent, deviendraient

TiÎt, T'Jr'

en désignant par ^t, Jt’ les allongements virtuels de ces cordons.

L’équation des vitesses virtuelles prend alors la forme suivante

ïPJp -V- ïTot = 0,

d’où il résulte que lorsqu’il existe dans le système en équilibre, des ressorts ou fils élastiques, l’équation des vitesses virtuelles subsiste encore pourvu que les tensions des fils ou ressorts soient rangées au nombre des forces et que l’oii prenne pour les moments virtuels le produit de la tension du ressort par son allongement virtuel.

92. néciprof/iie du principe des vitesses virtuelles. — La réciproque de cette proposition est également vraie, pourvu que le système soit à liens inextensibles, c’est-à-dire que, si le principe des vitesses virtuelles se vérifie dans un système de forces sans ressorts, ces forces sont en équilibre; en elTct si cela n’était pas, le déplacement aurait lieu spontanément d’une certaine manière et il est évident qu’en introduisant des forces convenables Q, Q', Q"... . dans le sens inverse du déplacement spontané de chaque point, on maintiendra l’équilibre et l’équation des vitesses virtuelles devra avoir lieu dans le nouveau système de forces pour un déplacement quelconque possible cl par conséquciil pour le déplacement spontané; ou aurait donc,

iPip -4- ïQîfq — 0

et comme, par hypothèse iP^p est nul, on devrait avoir

ïQoq = 0

CUAPITRE IX.

lao

ce qui ne peut avoir lieu à moins que les forces Q, Q', Q" ne

soient nulles; car il résulte du mode d’action de ces forces en sens inverse du déplacement du point d’application, que tons les moments virtuels Q<iq, sont de même signe cl que par conséquent

la somme ne peut être nulle sans que chaque moment soit nul séparément. Il est visible que si les forces introduites pour maintenir l’équilibre Q, Q’.... sont nulles, cela indique que le système primitif était en équilibre.

95. Démomtration a priori du principe des vitesses virtuelles. — La démonstration précédente suppose connue la loi de la composition des forces. Les considérations suivantes eonduiseiit à une démonstration O priori, c’esl-ii-dire indépendante de toute notion de statique, du moins pour le cas où le système est à liens inextensibles. Soit ADCDL {fig. 77) un polygone renfermé dans un plan vertical; sur ce polygone faisons passer une cbainc sans fin uniformément pesante et parfaitement flexible ABCDEFA; celle-ci restera en équilibre, car lu cause qui ferait tourner la cbainc serait une cause sans effet, puisque malgré le mouvement, le système se présenterait toujours dans des circonstances identiques. Supposons de plus AE borizontal; alors la partie pendante AI'E de la cbainc sera formée de deux parties symétrii|ues et les tensions en A et F. seront par conséquent égales; d’où il résulte qu’en la supprimant, la partie de lu chaîne ADCDE sera encore en équilibre, quelle que soit la forme du polygone. Réciproquement, si la cbainc ABCDE est en équilibre sur le polygone, on doit en conclure que les extrémités A et E sont placées au même niveau , car si cela n'était pas, si par exemple la droite EA’ différente de EA était horizontale, la cbainc A’BCÜE serait aussi en équilibre et ou serait conduit ù cette conséquence absurde, que la partie A.V' devrait SC maintenir par son propre poids sur le plan AB. La condition nécessaire et sullisunlc pour l’équilibre est donc celle qui exprime que la somme des projections sur une verticale MN, des eûtes du polygone situés à droite du point culminant C, est égale ù la somme des projections'des côtés placé.s à gauche, c’est-à-dii’c qu’en désignant par

a, a' a" les angles formés avec une horizontale par les côtés

l, l" prolongés dans le même sens, la condition d’équilibre

nécessaire et suflisante est exprimée par l’équation

l sin a H- l’ sin «' l" sin a" -i- etc. = 0.

Lorsque celte somme n’est pas nulle, une valeur positive indique

SIATIQl^B.

que la projcdion vcrtioalc de la j)arlic ABC l’einporle sur la projeelion de CDIi, ce qui dctcriiiiiic un moiivemcul de la cliaiue dans le sens EDCBA; une valeur négalive eurres|iondaiil à un nioiivement en sens inverse.

Concevons la cliaine comme eomposiie de chaînons juxta-poscs et enfiles pur un cordon parfailement llcxihie ABCDE, comme des grains de cliapelel. Il csl dvidcnl que l’équilibre ne sera pas troublé quand tous les chaînons appuyés sur un même coté du polygone seront rcni- |)lacés par des poids uniques P, P', P", P'”, égaux à la somme des chaînons; d’où il suit que des poids P, P', P", P'”, appuvés sur les côtés du polygone ABCDE, proportionnels à ces côtés et liés par un fil ABCDE, resteront en équilibre.

Cela posé, si dans un système de forces on substitue à celles-ci des poids équivalents suspendus à des fils verticaux passant dans des

poulies de renvoi e, e', c" convenablement disposés dans un même

plan vertical, l’équilibre subsistera encore et un mouvement virtuel

imprimé au système fera monter et descendre ces poids P, P' de

quantités infiniment petites égales aux déplacements virtuels dp, dp'... des forces. Or, on peut toujours construire un polygone plan ABCDE ayant scs côtés proportionnels aux poids ou aux forces P, P'.... et fai-

, dp dp'

sant avec l horizon des angles avant pour sinus -p, -f- ds étant

ds ds

quelconque mais supérieur à tous les dp, dp'.... ; alors si ou dispose chaque poulie de renvoi au-dessus du côté correspondant du polygone et que l’on fixe 1a longueur du cordon de suspension de manière que les poids touchent respectivement ces côtés, il est clair qu’en conccvaiil tous les poids reliés par un fil continu .ABCDE, un glissement ds de ce fil sur le polygone fera descendre chaque poids de la inènic quantité dp que lorsqu’il était libre, puisque le glissement de P le long du côté

étant ds, la projection verticale est ds X '-j- ou dp, de sorte que le déplacement virtuel restera identiquement le môme soit que Icspoids ou les forces agissent indépendamment les uns des autres, ou que les forces forment un tout continu composé d’un cordon appuyé sur le polygone et portant des poids distribués sur tous ses côtés; or on a vu qu'il y a équilibre dans ce cordon si les poids sont proportionnels aux côtés l, l', l" et si l’on a

/ sin a I- (’ sin n' -+- I" sin ti"