CHAPITRE IX
fil l’emplarant donc l, l" par P, P', P” cl sin a, sin «'
par*.|- , il y aura fi|iiilibrc dans le syslcnic si l’on a
th ds ds
-I- etc. = 0 ,
qui se réduit à l'équation des vitesses virtuelles
Pdp H- P'dp' P’'(//j" -I- etc. = 0.
Réeiproqiicnienl, s’il y a équilibre, l’équation des a itesscs virtuelles doil avoir lieu, puisque l’on a vu que la première de ces trois équations doit alors exister, et si l’équilibre est i-ompii , le mouvement de la ebaiiie aura lieu dans le sens KUCRA ou dans le sens inverse, suivant que celle somme sera posilive ou négative.
Observons que l'on a supposé la cbaine libre, de glisser dans les deux sens et par conséquent, le système libre d’effectuer son déplaeeinenl virtuel dans les deux sens opposés. Si le déplacement n’élait libre que dans le sens ABCDE, par exemple, il suffirait d’exprimer que la partie CDK de la ebainc ne peut entraîner la partie ABC, ou que le point K n’est jias placé plus bas que le point A , ce qui conduit à la condition
/ sin a V sin a' 1" sin a" -a- etc. > 0 et par conséquent,
Vdp -t- P’dp' V'dp" O- etc. ^ 0.
94. PrnposltitiHx fondaiiienlalex de lu statique déduites du principe des vitesses virtuelles. — On déduit du principe des vitesses virtuelles toutes les propositions de la statique relatives aux ronditioiis d’équilibre et à la composition des forces. Nous nous bornerons aux tbéorèraes rondamentaux en eoiiimcneanl par le parallélogramme des forces.
Considérons trois forées P, Q, R en équilibre autour d’un point; on doit avoir pour un déplacement quelconque de ce point,
Pdp -4- Qdq -t- Rrfr = 0 ;
or, si le déplacement se fait perpendiculairement au plan de deux forces P et Q, dp et dq sont nuis et il vient
Rrfr = 0,
d’où il suit que
rfr = O,
STATIQUE
oe qui n'u lieu que si le déplacement est aussi |>crpcndiculairc à R ou bien si P, Q et R sont renfermés dans un inèinc plan. En second lieu si le déplaecment se fait perpendiculairement ù l’une R des trois forces et dans le plan qui les conlicnt toutes les trois, dr sera nul et on aura simplement
Pdp -t- Qdq = 0,
ou bien en appelant ds la vitesse virtuelle du point et p, 7 les angles compris entre Q et R, P et R, P et Q,
Pds. sin P -H Qds. sin a = 0,
d’où l’on tire
P sin P = Q sin o( et P ; Q = sin « : sin p.
On trouvera de meme après un déjilacemcnt virtuel perpendiculaire à Q,
P ; R = sin « : sin 7;
d’où l’on conclut que chaque foree est proportionnelle au sinus de l’angle formé par les deux autres. 11 est facile de conclure de là que runc des trois forces est égale et directement ojiposéc à la diagonale du parallélogramme construit sur les deux antres.
Pour trouver les conditions d’équilibre d’un système de forces appliquées à un point, on remarquera que si ce point sc déjdacc d’une quantité a's faisant des angles a, b, c, avec trois axes rectangulaires
fixes, et si on désigne par Sp, Sp' les projections de 3s sur
P, P', P"..., on doit avoir
V3p -I- P'àp' -A- etc. = 0;
or si (a, p, 7), («', P', 7')... sont les angles formés par P, P'... avec ces axes, les cosinus des angles formes par 3s avec P, P'... sont donnes par
cos a cos a -h cos 6 cos p cos c cos 7 , cos a cos a -H cos b cos p' -t- cos c cos 7',
les projections 3p, 3p',... de la vitesse virtuelle sont donc us (eos O cos K -I- eos b cos p -a- cos c cos 7),... et l’équation des vitesses virtuelles devient
ïPus (cos a cos a -t- cos b cos p cos c cos 7) = 0
130 ciiAPiTiii; IX.
(lue l’on peut écrire de celle manière :
o"s cos (I ïP cos a Ss eus hiV cos P + (fs cos cïP cos 7 == 0
ou bien en désignant par <fx, fty, âz les projections de os sur l(js trois axes, c’esl-ii-dire, (îscosa, o'scosi, -fs cos c,
JxiP cos a -H ây’iV cos P oisP cos 7 = 0.
Cette é(]uation devant avoir lieu pour toute direction de tfs, doit subsister pour toute valeur de Sx, Sy, Sz\ elle se décompose donc dans les trois suivantes
ïP cos a == 0 , ïP cos P = 0 , ïP cos 7 = 0
(]iii sont en effet les é(]ualions d’é(iuilibre trouvées précédemment. On trouve les conditions d’équilibre d’uii point nialériel tiré par la force R cl assujetti à demeurer sur une surface, eu remarquant que la vitesse virtuelle Ss doit être placée sur la surface ou dans le plan tangent, puisque le point ne peut pas sortir de la surface; désignant doue par a l’angle formé par R avec às, comme l’équation des vitesses v irliicllcs est
R cos aSs = 0,
on en conclut (pic cos a est nul ou que a est droit pour tous les déplacements virtuels, c’est-à-dire que la force R est normale à toutes les lignes tracées sur la surface autour du point d’ajiplication , ou que la force est normale h la surface.
Si le point matériel est assujetti à rester sur une courbe, la vitesse virtuelle sera un élément de eette courbe et l’on trouvera comme plus haut
R cos aSs = 0 ou cos a = ü ,
et
jr
qui exprime que R est normal à la courbe.
On sait que lorsque des forces ont une résultante, le moment de celle-ci par rapport à un axe (pielconque est égal à la somme des moments des composantes (N" 33), ou bien comme cette résultante prise en sens inverse maintient le système en équilibre, la somme totale des moments par rapport à un axe , d’un système de forces en équilibre est égale à zéro. Pour démontrer ce théorème par le principe des vitesses virtuelles, décomposons chaipic force P en deux autres P cos S et P sin S, l’une parallèle à l’axe et l’autre perpendiculaire, puis imprimons nu système une rotation u autour de l’axe.
ST.VTlgllK.
Chaque point d'application aura une vitesse virtuelle perpendiculaire à Taxe et par consc<iucnt aux composantes parallèles P cos J qui n’auront pas de moment virtuel; quant aux composantes P sine?, si on désigne par p 1a distance de la force P à l’axe, lu rotation u fera avancer cette composante d’une quantité pu, le moment virtuel sera donc poiP sin '} et l’équation des vitesses virtuelles deviendra
ï-puV sin eî = 0,
ou plutôt, en remarquant que la rotation u est la meme pour tout le système,
uiVp sin J = 0 c’est-à-dire iPp sin J = 0
<iui est le théorème énoncé plus haut, puisque P/)sin i est le moment de P par rapport à l’axe.
Eiilin on trouve les conditions d’équilihre de forces appliipiécs à un système de forme iuvariahlc en lui imprimant successivement six déplacements virtuels, les trois premiers |)arallèlcment à chacun des trois axes rectangulaires auxquels on rapporte les points du système et les trois autres, autour de ces trois axes. Si a, p, 7 sont les angles formés par P avec les axes coordonnés, cette force pourra être remplacée par les trois composantes P cos a, P cos j5, P cos 7 et dans le déplacement virtuel s ]>arallèle à l’axe X, la composante P cos * aura seule un moment virtuel qui sera eP eus a; la somme est donc ïfP cos a ou plutôt £ïP cos 1, parce que ce déplacement £ est le môme pour toutes les forces. Comme les forces .sont en équilibre, ou doit avoir
£SP cos a — 0 et par conséquent ïP cos a = 0.
Les déplacements virtuels parallèles aux axes Y et Z conduiront aux deux autres équations d’éipiilibre dites de translation
SP cos P = 0, iP cos 7 = 0.
Quant aux déplacements virtuels autour des trois axes, on vient de voir ([lie les équations auxquelles on est conduit, expriment ipie les sommes des moments des forces par rapport aux trois axes sont milles. On .sait que ces sommes sont données par ïP(ïcos,9 — ÿeos7), sP (x cos 7 — Z cos a) , ïP (ÿ eos a — x cos 8) et par conséquent les trois équations d’équilihre dites de rotation sont
IP (j cos P — y cos 7) = O , ïP (x eos 7 — z cos «) = 0 , iP (if eos * — X cos P) == 0.
CIIAPITIIE IX.
Observons que le nombre d'cquntioiis d’équilibre ne saurait être supérieur à C et que par roiiséi|ueut de nouveaux déplacemenls virtuels ne peuvent conduire à d’autres équations de condition, (piand le système est de forme invariable ; en elfet si le système se eumposc de U points d’application de forces, il faut et il sullit pour assurer l'équilibre, d’exprimer que les 3/i coordonnées de ces points sont constantes; on doit donc avoir 3n équations de condition entre ces coordonnées et on ne saurait en avoir un plus grand nombre. Or la condition de l'invariabilité de la forme du système est exprimée au moyen de 3« — C équations de condition exprimant d’abord que trois des points sont entre eux à des distances invariables ce qui ilonne lieu à 3 équations et que les n — 3 autres points sont à des distances invariables des 3 premiers, ce qui donne encore 3 (n — 3) ou 3/» — 1) équations, ce qui fait en tout 3» — ti. On ne peut donc à ces 3;» — 6 équations en ajouter au-delà de 6 nouvelles, et celles-ci suffiront pour que les coordonnées des n points soient déterminées.
La même marche conduit aux conditions d’équilibre d’un système de forces parallèles, mais les six équations se simplineut; en effet si les forces sont parallèles, les angles a, p, y sont les mêmes pour toutes les forces, les trois équations d'équilibre de translalion deviennent donc
cos otSP = 0, cos ^îP = 0, cos yïP = 0 , qui SC réduisent à
quant aux équations d’équilibre de rotation, elles deviennent eos p^Pz — cos yïP(/ = 0 eos yïPx — cos «ïPr == 0 eos alPy — eos jSïPx = 0
dont l’une est visiblement comprise dans les deux autres. Ces équations d’équilibre ont plus de généralité que celles que l’on a trouvées au N“ 23; mais on retrouve ces dernières en supposant le plan des .\Y perpendiculaire aux fon-.es, car alors a et p sont des angles droits, y est nul et les deux premières équations sc réduisent à
ïP^ = 0, ïPx = 0.
1)3. Principe des vitesses virtuelles dans les murhiues. — L’équation générale des vitesses virtuelles prend une forme très simple dans les
STATIQUE
inucliines qui ne contiennent aucun ressort et dans lesquelles les cordons, s’il y en a, sont inextensibles; en effet, tontes les fois que les forces qui s’y font équilibre se réduisent à une puissance P et une résistance Q , le jirineipc donne
Vo'p -t- Q*/ = 0 ou
dans laquelle ip et 9q sont les quantités iniiniment petites dont les forces P et Q avancent ou reculent lorsqu’on écarte très peu la niacliinc de sa position d’équilibre. Coininc les variations ’lp et iq doivent être de signe contraire pour que le second incinbre soit positif comme le premier, on voit que si l’une des forces avance, l'autre doit reculer, et les deux forces en équilibre sont dans le rapport inverse des quantités infiniment petites dont elles avancent ou reculent.
C’est ecltc propriété des machines qui a mis les géomètres sur la voie du principe génénd dont nous nous occupons. On en déduit fort simplement le rapport de la puissance à la résistance, sans connaître la cumposition d'une machine, puisqu’il suffit de mesurer les variations o'/) et iq. On peut aussi en déduire toutes les conditions d'éipiilibrc qu’on vient de trouver pour les machines. S'il s’agit du le\ier AOIÎ (lig. 78) et des deux forces P et Q , imprimons lui un déplacement virtuel autour d’une droite quelconque OB' passant par le point fixe 0 et rencontrant la force Q en B'; la vitesse virtuelle de (J sera visiblement nulle et l’équation des vitesses virtuelles se réduira à
PJp = 0 d’où '}p = 0.
Pour que la projection o’/i sur P soit nulle ou pour que la force P n’avance pas, il est nécessaire que P soit coupé par toutes les droites telles que OB' et par conséquent il faut que P soit renferme dans le ]dau qui contient la force Q cl le point 0; les deux forces et le iKiiiit fixe doivent donc être renfermés dans un même |)lan. Eu second lieu, si on abaisse du [loinl 0 les per]ieudiculaires Op et Oq sur les directions des forces et qu’on fasse tourner le système autour de O dans le plan de ces forces, P reculera de pp', O avancera de qq' et l’équation générale devient
P./)/>' — Q.qq' = 0 ;
or, en désignant par u l’angle de rotation infiniment petit pOp'
aiAi>iTHË i\.
ou qOff' el par p et g les deux perpundieuluircs Qp et Og , ou a pp' = p.u, gg' = g.u-,
d’où il résulte que
w — Q.f/.oi = O ou P. P = Q.g eomiiie un l'n trouve )>lus haut.
Pour le moufle, il est visible que si la résistance P (fig. 58) desecnd d’une quantité e, le cordon qui enveloppe les poulies s’ullongci'a de n.e, n étant le nombre de cordons aboutissant à la ebajie mobile et il viendra
Qns — Pê = 0
d’où
Dans le treuil (fig. 5!)), en imprimant à la machine un mouvement de rotation très petit w autour de l’axe, la corde de P s’enrmdcra sur l'arbre de rayon r, d'une quantité oir, la corde de Q SC déroulera de wH et il viendra comme au N° 71),
Q.Rw — Prw = ü d’où QR==P.r.
Pour trouver les conditions d’écpiilibrc d’un corps appuyé par un de scs points C sur le plan incliné (fig. C8), menons par le point C un axe quelconque qui vienne rencontrer la force P et ini|)rimons un mouvement virtuel autour de celte droite; ce moment virtuel de P sera nul et comme la somme dcsmoiucnts virtuels de P et de Q est égale à zéro, le moment de Q devra aussi être nul ce (pii ne peut arriver ipie si tous les axes qui rencontrent P rencontrent aussi la force Q, ce qui exige que les deux forces et le point O soient renfermés dans un même plan. En second lien, de l’un des ])oints de la force y abaissons une normale sur le |dan Alî et imprimons un déplacement virtuel autour de eette normale. Il en résultera un glissement du point d’appui C sur le plan et comme le moment virtuel de Q est nul, celui de P devra l’étre également, ce qui exige que P soit rencontré par cette normale et par conséquent ipie les forces Pet Q soient renfermées dans un plan perpendiculaire à .VH, plan (pii, roinnie on l’a déjà vu, doit passer par C. En troisième lieu si au point C on élève sur le plan AR une normale jusqu’.'i la force Q, (pic par le point de renconirc 1) on mène une droite perpendiculaire au plan qui contient P, D et C et ipie l’on imprime au système un
ETATIQUE.
moiivo.mrnl de rnlntion aulour de retic perpendiriilairc, le moment virtuel de Q sera nul et par conséquent celui de I* (pii ne pourra ni avancer ni reculer ce. qui exige ipie P rencontre l’axe de rotation et vienne passer par le point D, d’où il résulte que le point de rcneonlre des deux forces doit se trouver dans la normale élevée au point d’appui sur le plan incliné. En quatrième lieu si on comniuniipie au système un mouvement virtuel autour du point C dans le plan QDP, en désignant par ta le déplacement angulaire et par p et c/ les perpendiculaires C/i et Cf/, Q avancera de q.ùi, P reculera de p.u et l’équation générale devient
Q.q.u — P./).cii = 0,
d’où l’on lire
qui est la quatrième condition d’équilibre.
Enfin, si dans In vis (lig. 72) on fait faire à l’écrou une fraction 0 de révolution, le point C décrira une portion 0 de la circonférence <pii a pour rayon oC ou l, c’est-à-dire, que la force P avancera de 2;r.O/, l’écrou montera d’une portion 0 d’un pas de vis, c’est-à-dire que le poids Q reculera de Op et le principe général donne
P.'ÎTf'J.l — Q.O.p = 0
d’où l’on tire
P ; Q = /) : ‘irri.
!t0. Applications à la recherche de f/uelques courbes d’équilibre. — Appliquons encore le principe des vitesses virtuelles à la solution du problème suivant : aux deux extrémités d’un fil inextensible PAQ passant sur une poulie A (fig. 79) sont attachés des poids P et Q. L’un des deux P est assujetti o glisser sur une courbe donnée BC. On demande quelle doit être la courbe DE pour que le poids Q glissant sur celle-ci fasse constamment équilibre d P.
En désignant par p et q les distanees Pp et Qq des deux poids à une horizontale HH' passant par A , 1a condition d’équilibre sera
Pâp -♦- Qiq = 0.
Comme celte équation doit exister pour toutes les positions des poids ou pour toutes les valeurs successives de (?;) et Sq , on pourra considérer son premier membre comme une différentielle qui est eonstainmcnl nulle et en intégrant un aura
Py, Qg = C.
