CHAPITRE IX
Si ou désigne par r cl r' les rayons vecteurs AP et AQ des deux courbes, par l et l' les angles PAH et QAH' et par l lu longueur totale PAQ du eordon , un aura visiblement
J) = r ain t , f/ = r' sin r -t- r' — I ■, réqualion d’équilibre devient done
P (/ — r') sin I + Qr' sin t’ = C , ou, si t = tfr est l’équalion polaire de BC,
P (/ — r") sin y (/ — r') Qr' sin I' = C.
Celle relalion entre r’ et C représente réqualion polaire finie de la courbe UE. La eonslunlc arbitraire C dépend de la valeur de la verticale AU, c’est-à-dire de la valeur de r' correspondant à t' = l jr.
Si la courbe BC est un arc de cercle ayant son centre en O et ayant OA = « pour rayon , l’équation polaire t = yr prend la forme
t = arc sin -— ;
la fonction y (/ — /■') devient donc arc sin et on trouve pour
l'équation finie de la courbe DE,
P^ — J- -A- Qr' sin I' = C.
Quand on détermine la constante C de manière que AD soit nul, et qu’on fait / égal à nj/¥ et ^ égal à ^/2, il vient
qui est , comme on peut s’en assurer, l’équation de l’cpicycloïde engendrée par un point du cercle du rayon a ^2 roulant sur un autre cercle de même grandeur.
Ce problème trouve son application dans la Ibcoric de la construction des ponLs-levis. Le cercle AB est celui que décrit rextrémité P d’un pont-levis OP (lig. 80), à laquelle est attachée une chaîne PAQ jiassanl sur une poulie A et tirée par un contre-poids Q glissant sur
STATIQUE
répicycloïde AE qui esl codduc sous le nom de sinusoïde. Le poids P représente la composante du poids R du pont mobile appliqué au centre de gnivité G et décomposée en deux autres appliqués en P et en O. Cette dernière est détruite par la résistance du point fixe O.
Le pont-levis OA (fig. 81) peut aussi être maintenu en équilibre au moyen d’un parallélogramme à charnières BCOD dont un côté BD prolongé d’une quantité DQ égale à DO porte à son extrémité un contrepoids Q glissant contre la culée OQ du pont. La condition d’équilibre
Rdr — Qdq = 0
conduit, comme plus haut, à l’intégrale
Rr — Qq = C ,
parce que l’équilibre doit subsister dans toutes les positions et cette équation se réduit à
Rr — Qq = 0
parce que, quand le tablier est horizontal, r et q, c'est-à-dire, GH et OQ sont visiblement nuis. Le triangle GlIO donne en désignant GO par l et l’angle GOH par 0,
r = / sin 0.
Le triangle isocèle ODQ donne en désignant OD ou BC jiar a et en remarquant que l’angle DOQ égal à DQO est complémentaire de OaQ lequel est égal à GOH ou
q = OQ = 20d = 2o sin 0.
L’équation d’équilibre devient en substituant,
R/ sin 0 = Q.2a sin 0 ou
qui en elTet est satisfaite indépendamment de toute valeur de 0. Remarquons que puisque dans le triangle rectangle aOQ les distances DQ et DO sont égales, il faut que oD soit aussi égal à ces droites. La longueur de Qa est donc invariable et égale à 2a, cc qui apprend que le point a de la tringle BQ reste constamment dans une droite horizontale Oa.
97. Méthode analytique pour appliquer te principe des vitesses virtuelles. — Les conditions d’équilibre d’un système de forces de forme quelconque se déduisent de l’équation des vitesses virtuelles d’une manière analytique très générale; remplaçons P par scs composantes X, Y, Z parallèles à trois axes fixes ; si x, y, z sont les coor-
ClUPITRt IX.
données (lu point d’application de P, un déplacement \irtuel de ce point fera prendre h x, y, z les accroissements iy, iz, les moments virtuels de X, Y, Z seront \Sx, 'i^y, T.iz cl l'équation des vitesses virtuelles prendra lu forme suivante :
S (XJx 'ihj -t- Z*) = 0.
le signe £ (l('signant une somme de même nature étendue t'i toutes les
forces P, P', P” Les variations Sx, Sy, Sz, Sx'.... St, St'.... ne sont
assujetties dans cette équation qu’à la seule eondition d’être compalililes avec les eoiiditions de liaisons des différents points du système. Ces eondilions sont en général exprimées par des équations
les unes de la forme
{x-xy + {y-yr + {z-z'f:=l*
cl exprimant que les distances l des points (x, y , i) et (x', y', z') etc., sont invariables on que la distance des points (x, y, z) cl (x", y", z") est égale au cordon élastique t ete., d’autres de la forme
exprimant que certains points [x,y,z], (x', y', z').... doivent glisser sur des surfaces données, etc. Les déplacements des différents points d'application , pour être compatibles avec les conditions des liaisons, devront donc satisfaire aux équations
(/L (IL (/L , (iL , ,
— <fx -V- -r- dy •4--T-0Î — Jx etc. = 0
dx dy ■' dz dx
du
-j-Sx -t- 01/ -e etc. = 0
dx dy ■'
dy dz
tsi = (x — x") (Jx — o'x") -4- (y —y") {Sy — Sy") (2 — z") {Sz — Sz')
(pic l’on obtient en donnant à x, y, z, x', y', z',.... t, ('.... dans L, M....
sTArigi-ii.
les accroissements ox, âij, âz.... 'U, c’est-à-dire, en prciianl les dilîérenticlles de
avec In earnetérisliqiic J. Si nn remplace les St en fonction de Sx, <fx".... et (pi’on élimine le plus grand nombre possible de variations Sx, Sy, Sz, Sx' ... entre ces dernières cepiations dilTércntiellcs et l’équation des vitesses virtuelles, celle-ci prendra la forme
QrJx HSy -t- SiSz ■+■ etc. = 0
dans laquelle les variations restantes Sx, Sy, Sz, Sx' etc., ne seront plus soumises à aucune condition et seront par conséquent arbitraires. Il résidte de là que les cocITicicns Q, R, .S.... doivent être nuis séparément, puisqu’on pourra supjioscr sueccssivctncnt tontes ees variations nullcs à l’exception d’une seule Sx et qn’alors le produit O-fx ne pourra être nul que par le fait de Q. Les conditions d’éijuilibrc seront donc
Ces équations expriment des relations nécessaires pour l’éipiilibrc
entre les coordonnées, les forces .\, Y, Z et les tensions T, T
A CCS équations il faut en joindre d’autres de lu forme
exprimant lu loi qui lie la boision du ressort à son allongement, lui qui doit être donnée. Ou aura ainsi toutes les équations nécessaires pour déterminer les coordonnées en fonction des forces ou pour lixer la forme d’équilibre du système.
Comme celte métbode générale trouve ses principales applications en dynamique, nous nous bornerons à l’appliquer à la solution du problème suivant ; un point matériel peaani P est suspendu par quatre fils obliques t, t', t", t"’ attachés à des points fixes A, II, C, I) de l'espace, on demande la position d'équilibre du point P sachant que ces fils sont élastiques et connaissant leur loi d’élasticité.
Prenons le point A pour origine des coordonnées cl désignons par {a'b’c'), (u"b''c"), (a"’b"'c'"), (xyz) les coordonnées des points 11, C, I) et P, par T, T’, T”, T'' les tensions des quatre cordons et par t, t', t", t"' leurs longueurs. L’équation des vitesses virtuelles dotinc en supposant Taxe des Z vertical,
P* -4- T<ft -4- TSt' 4- TSt" -4- V"St"’ = 0
