CHAPITRE IX

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h laquelle il faut joindre les équations de condition. ..,.(1)

t'» = (x — a')* -+-(!/ — t')* -4- (î — e’)* t"> = (x — a")* -4- (y — 6")’ -4- (z — c")* t"'> = (x — a'")* -4- 0/ — «»"')’ -4- (z — c"7 qui donnent en diflerentiant,

tJf = xJx -4- yiîy -4- zJz = (x — a') <fx -4- (y — 6') <f y -4- (z — c') (fz ("(?(" = (x — o") (fi -4- (y — 6") Jy -4- (z — c")^z = (x — a'") Jx + (y — 6'") Sy + {z — c'") 3z.

Si dans l’équation des vitesses virtuelles on remplace ôt, 3t\ 3t", 3Ï" par leur valeur et qu’on égale à zéro les coeflicieiis des trois variations indéterminées «fx, Sxj, 3z, on sera conduit aux équations suivantes :

f|4 ppr rpt/ ppf//

pp ppr rp//

Pp Pp/ PpPT 4p4^/

Aux sept équations (1) et (2), joignons les quatre équations qui expriment la loi de l’élasticité des fils , savoir

et l’on disposera de 11 équations pour déterminer les valeurs des 11 inconnues x, y, z, l, t', t", t'", T, T', T", T'".

En admettant que les allongements des fils soient proportionnels à leur tension et en désignant par l, t', l", l", leur longueur avant qu’ils ne soient tendus, on devra poser

t=/(i-i-oT), t'=f (1-i-eT), r=r(i-4-o"T''), r=r(i-4-o"T").

Si on suppose l’élasticité proportionnelle à la longueur des fils, on posera

SIATIQL'E. 141

Dans ce dernier ejs, on trouve pour or, y, z, les valeurs suivantes : aO' -A- a"0" a’"6'" 6'9' -i- 6"6'' -t- 6'"9"'

Il est remarquable que quel que soit le nombre de fils et la loi de leur élasticité, le problème dont on vient de s’occuper est entièrement déterminé, pourvu que les fils soient élastiques, tandis que si les fils avaient été inextensibles, le nombre d’équations aurait été insuffisant et le problème aurait été indéterminé. Cette question est visiblement -de la meme nature que eelle des pressions sur les points fixes, dont on s’est occupé au N° 50.

98. Maximum et minimum dans les positions d’équilibre. Conditions d’équilibre dans les machines à poids. — Lorsque dans l’équation des vitesses virtuelles

S (X-fx ■+■ Yo'y -4- Ziz) -4- = O,

la somme (X"îx -4- YSy -4-ZJx) -4- (X'Jx' -4- Y’3y' -4- Z/iz') -4- etc. est une

düTérentielle exacte d’une fonction ?(x, y, z, x\ y’, z! ) des

variables xyz, x'y'z' etc. considérées comme indépendantes, l’équation des vitesses virtuelles sera une différentielle totale exacte, puisque les tensions T sont des fonctions des longueurs t des liens élastiques et l’égalité à zéro de cette différentielle exprime que la somme de fonctions

<f(x, y, z, x', i/, z^ 1- îj-t

est un maximum ou un minimum , c’est-à-dire , que les valeurs des coordonnées x, y, z, etc. dans la position d’équilibre du système correspondent au maximum ou nu minimum de ectlc somme de fonctions. On voit par IÎ4 comment une question d'équilibre peut se transformer en une question de maximum et réciproquement.

Lorsque toutes les forces du système se réduisent à des poids pouvant s’appuyer sur des surfaces inflexibles et que les liens sont privés d'élasticité, en prenant l’axe des Z vertical, l’équation des vitesses virtuelles devient

imgiz = 0 ou ylm^z — 0.

Comme Sm^i est la différentielle exacte de imz correspondant à un déplacement quelconque , cette équation exprime que est, dans la

CIIAPITIIK IX. — SIATIQI E.

position d'équilibre, un ninximuni ou un minimum relativement ù tontes les positions voisines; or si on désigne par l’ordonnée du centre de gravité des masses m, m'..., on sait que l’on a

imz

ré(juilibre dans eetlc machine à poids a donc lieu lorsque z, est maximum ou minimum, c’est-à-dire, lorsque le centre de gravité des [loids est le plus haut ou le plus bas possible. Ainsi un corps pesant de forme quelconque, dépourvu d’élasticité et appuyé sur une ou plusieurs surfaces, est en équilibre lors(juc de quelque manière qu’on le mette en mouvement dans tous les sens, le centre de gravité ne fait que monter nu ne fuit que descendre. Si le corps ou les surfaces qui servent d'ajypui étaient élastiques, cette proposition ne serait plus généralement vraie.

On dit qu’un é(]uilibrc est stable ou instable, lorsqu’on dérangeant le système de la position d'équilibre, celui-ci tend ù y revenir ou à s’en éloigner indcfmimcrit. Il suit de là qu’en général le maximum corresjioiid à un état d’équilibre stable et le minimum à un état d’é<iuilibrc non stable, car .si est maximum, c’est-à-dire, si le centre de gravité des ])oids est le plus bas possible d’une part, ou si d’autre part, il est le plus haut possible, on peut admettre qu’une légère perturbation fera descendre indériniment le centre de gravité s’il est le plus haut possible et n’im))rimera au système que de légères oscillations si le centre est le plus bas |)ossiblc.

Comme toute force, quelle que soit sa cause, jicut être remplacée par des poids, au moyen de poulies de renvoi, il en résulte que l’on peut dire d’une manière générale que l’équilibre est stable ou instable

suivant que f{x,y,z,x’ ) -a- est maximum ou minimum.

.Nous reviendrons du rc.stc, en dynamique, sur ce principe pour le démontrer d’une manière plus rigoureuse.