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STAUQI'K.

qui SC confond avec celle qn’excrcerail un jioint d’nne masse M' sur une masse M placiic à la distance a. D’on l’on ronclnt que r<illrnrtioii couche spbériijue Iwnioijène sur un point matériel M extérieur, est la même t/ue si sa masse Jl’ était concentrée dans son rentre.

Il rcsnllo de là que si une sphère est composée de couches concentriques et homogènes , son attraction sur un point matériel extérieur est la même que si la masse de la sphh’e était concentrée dans son centre, quelle que soit du reste la loi suivant luijuellc varient les densités des couches.

Comme le jiroduit-

représente à la fois l'aUraclion de la masse m

sur m' et rattraction de m' sur ni, il est visible que les théorèmes précédents régissent aussi l'attraction (]n’e.\cree un point matériel sur une sphère, ün voit aussi que si deux sphères de masse >1 et .M' composées de couches homogènes s’attirent mutuellement, chaque élément de M est attiré par l'autre sphère comme si la masse M' était conecutrée dans son centre, et comme le point malériel M' jilaeé au centre attire aussi la sphère M de la même manière que si sa masse M était concentrée dans son centre, on est conduit à ce tliéorème général : deux sphères homogènes ou composées de couches homogènes s'attirent mutuellement de la même manière que si leurs masses étaient concentrées dans leurs centres.

U)0. .It tract ion exercée sur un point placé dans l'intérieur. — L’attraction d’une conche sphérique homogène sur un |>oint matériel prend une valeur rcmarquahle lorsque ce point est placé dans l’intérieur de la couche, en m par exemple; en prenant alors l’intégrale de l’attrai'tion élémentaire précédente (1) d’ahord depuis l’origine des coordonnées m jusqu’à C, c’est-à-dire depuis x = 0 jusqu’à x=o -*-r et ensuite depuis ni jusqu’à II, c’est-à-dire, depuis x = I) jusqu’à x — — (r — a), on aura d'une part l’attraction exercée sur m jiar les tranches qui composent la portion oACAV de la couche sphérique et d’autre part, rattraction de la partie aBa'. Or on trouve que ces intégrales sont égales cl de signe contraire ; les attractions exercées par les éléments de la couche sphérique sur m s’entredetruisent donc et l’on est conduit à ce théorème : un point matériel placé dans l'intérieur d'une, couche sphérique homogène, n'éprouve aucune attraction de la part de celte couche.

Il est visible que ce théorème subsiste quelle que soit l’épaisseur uniforine de la couche sphérique, |)oiirvu ipi’ellc se comjmse de

lit

r.HAI'ITHK X.

IVfl

couches homogènes superposées , puisque aucune de ces dernières n’exeree d’aelion sur le point matériel. On eonclut aussi de ec théorème qu’un point plaeé dans l’intérieur d’une sphère pleine composée de couches homogènes, n’éprouve aucune attraction de la part des couches supérieures ou placées entre le point et la surface; il est donc attiré vers le centre de la même manière que si ces couches étaient supprimées et que le reste de la sphère fut concentré dans son centre.

Le théorème énoncé plus haut peut être démontré sans calcul par des considérations géométriques très élémentaires, qui permettent de l’étendre à une couche ellipsoïdale unifurmément épaisse et de grandeur quelconque ; en effet si par le point M (fig. 83) on fait passer un cène infiniment mince, eeliii-<-i interceptera deux portions iidiniment petites de la couche abcd et a'h'c'd', dont les attractions sur m sont égales et opposées; car en désignant par m et m' leurs masses et par r

A'.Mm k\lin

et r les distances Ma et Ma , ces attractions sont — ^ et — ; or

yi r '

il résulte d’une propriété connue des elliiisoïdes concentriques, .semblables et semblablement disposés que les longueurs ac et nV interceptées sont égales ; les masses élémentaires m et m' de forme cylindrique ont donc la même longueur; d’un autre côté, les aires des sections de ces éléments sont visiblement jiroportionncllcs aux carrés des distances Ma et Ma', parce que dans des cènes semblables les aires des bases sont entre elles comme les carrés des distances au sommet; on voit donc que les masses m et m' sont dans le rapport de r- à r'*, c’est-à-dire que

et que par conséquent les deux attractions sont égales. Comme il en est de même des attractions des éléments placés dans deux directions opposées quelconques, on en conclut que la couche entière n’excrcc aucune action sur le point M.

101. Attraction de deux corps (juelconques. — Quand deux corps sont placés à de grandes distances, ils s’attirent sensiblement de. la même manière que si leurs masses étaient coneenirées dans leurs centres de gravité; en effet, si par le centre de gravité G de l’un des corps on fait passer trois axes rectangulaires, l’atlraetion d’un point fi (fig. 84) de l’autre corps sur un point m du premier ayant une

STATIQUE

ktJidin , . , , . ,

masse dm, sera — — — ou bien en désignant par a, b, e et x, y, z les

eoordünnécs des points {* et m ,

kfidni

(« — ac)* -i- {b — I/)* H- (c — î)*

et les composantes suivant les trois axes seront, en multipliant par .a — X b — y c — z

kyidm > k[idm --j,-" > ou kadm{(i — etc.

En représentant pG ou j/ a* -+- Id -f- c* par R et mG ou |/x* -h y* -r- z* par r, on a

/* = (a — x)* -+- (6 — y)* -t- (c — zy == R* — 2ax — 2/>y — 2cz h- r* ou simplement

= R^ — 2 (ox -t- by -t- cz),

paree que r est par hypothèse, petit relativement à R. On tire de là, en élevant les deux membres à la puissance — ^ et se bornant aux . . . X U z

termes de première puissance en — i — > attendu que ces coor-

données sont des quantités petites relativement à R,

^ ax hy c.

Les composantes de l’attraction du point ^ deviennent donc

dm

^ ax bu -t- cz

, etc. etc.

et en négligeant x, y, z devant <i,b,c, dans a — x, b — y, c — z, ku , jku.

--adm ■+• -r-i-(a*x -t- abii -h aez) dm, etc., etc.