CHAPITRE XI

))rcmicr corps n’aura qu’un mourement relui if n\\ du moins sou nioiivcnicut relatif sera seul aiqtréeiable.

Pour simplifier les idées et ne pas devoir tenir compte de la l'orme du eorps, nous le supposerons d’ahord réduit à un point matériel dans lequel toute la matière sera concentrée.

On dit que le mouvement absolu ou relatif d’un point matériel est unifurme, si ce mouvement reste identiquement le même à chaque instant; dans le cas contraire, il est dit varié. Il résulte de là que dans le mouvement uniforme, les csiwees parcourus sont proportionnels aux temps employés à les parcourir. Le mouvement uniforme peut donc servir de mesure au temps.

On appelle vitesse, dans les mouvements uniformes, le rapport de l’espace parcouru au temps employé à le parcourir ou plus exactement, l’espace parcouru divisé par le nombre d’unités de temps employées à le iiareourir; en désignant donc par v, e, t la vitesse, resjiace et le temps, on a

(pie l’on écrit pour abréger de cette manière :

Si t était égal à l’unité, il viendrait r = «; on voit donc que, dans les mouvcnients uniformes, la vitesse est aussi Vespace parcouru pendant l'unité de. temps.

Nous prendrons dorénavant pour unité de temps la seconde sexagésimale et pour unité de longueur le mètre.

On eoneliil de l’équation précédente que l’espace parcouru par un |ioint matériel est égal au produit de la vitesse par le temps employé à le parcourir ou plubU, par le nombre d’unités de temjis. Si avant de compter le temps t, le point matériel avait déjà parcouru l’espace a, on mirait évidemment

f = O -t- vt.

Comme dans l’équation •’ = j > l’espace e est quelconque, la vitesse est

aussi représentée par lu limite du rapport de l’espace parcouru au lemps employé à le parcourir ou en d’autres termes, en désignant

liY.'lAJIluUt.

|iur de l'espace iiiliniiiiciit petit parcouru dans un temps dl iiiliiiimciit petit, on a aussi

Si le inoiivenicnt éUit varié, le rapport - ne ferait pl

us connaître ipie

la vitesse moyenne pendant le temps (; mais si l’on considère un mouvement varié comme composé d’une suite de mouvenicnts unifornics avantchacun une durée inriniment petite dt, en reprcsenlantencore

jiar e l’espace total parcouru à la fin du temps f, le rapport ^ sera

l’expression de la vitesse avec; laquelle l’espace de a été parcouru et par conséipient la vitesse du point matériel à l’époque marquée t, de sorte (|uc l’un aura dans tous les mouvements |>ossiblcs,

103. Inertie de la matière. Force d'inertie. Mesure de l'inertie. — La mécanique est fondée sur deux propriétés générales de la matière, savoir ; l’eVieW/e de la matière et l'égalité de l’action et de la réaction. Occupons-nous d’abord de la première.

L’expérience journalière nous apprend qu’un corps en mouvement tend à conserver sans altération la vitesse dont il est animé, ainsi i|uc la direction rectiligne de cette vitesse et qu’il ne peut changer de Ini-niémc son état de repos ou de mouvement; ainsi un corps étant en repos, l’intervention d’une cause, extérieure, c’est-à-dire d’une force, est indispensable pour le mettre eu mouvement et s’il est en mouvement, il faut une cause étrangère à la matière ou une force pour accélérer, retarder ou modifier d’une manière qucli'onque ce mouvement. C’est dans cette propriété que consiste l’inertie de la matière.

Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates de cette propriété : I” Si le mouvemeut d’un corps est varié, soit dans sa vitesse, soit dans sa direction, une cause extérieure agit nécessairement sur lui; 2" si celte cause extérieure c’cssc tout à coup •l'agir, le corps devra prendre, à partir de cet instant, un mouvement uniforme et rectiligne; ô" si ces causes extérieures font décrire avec une vitesse (luelconquc une courbe au point matériel et

CIIAlMTnt XI.

qu’elles ecssenl loul n coup d’agir, ce point devra suivre d’un inouvrinent uniforme la tangente h la courbe au point ou il se trouvait lorsqu’il a etc soustrait h ces actions étrangères, puisque le dernier élément de la courbe représente la direction de la vitesse au moment où ces actions ont cessé d’agir.

L’inertie des corps se manifeste par la résistance qu’ils opposent à tout changement d’état. Cette résistaniÆ qui s'évanouit aussitôt que le changement est produit, a été nommée force d'inerlie ou plutôt, réaction diie à rinertie.

La loi suivant laquelle se développe cette résistance ou cette réaction n’est guère susceptible de démonstration d priori ; c’est pourquoi on est forcé d’admettre une hypothèse dont l'exactitude ne tarde pas, du reste, h devenir aussi iueontcstable que les axiômcs qui servent de fondement aux mathématiques pures, è cause de la facilité avec laquelle elle rend compte de toutes les circonstances qui accompagnent le mouvement des corps et surtout de l’accord parfait que l’on a constamment remarqué entre les résultats des observations et ceux déduits de cette hypothèse par le calcul. Celle-ci consiste en ce que toute vitesse th coiumuinqiiée pendant un temps dl d un corps en repos ou en mouvement dans une direction quelconque, y fait naître instantanément une réaction opposée ou force d inertie proportionnelle ri cette vitesse dv et indépendante de l'état actuel de mouvement du corps, c’est-à-dire que la l'éaction est .‘t chaque instant proportionnelle à la vitesse dv engendrée pendant un élément de temps dt, quelle que soit la vitesse qui anime le corps.

104. Masse des corps. Mesure de l'inertie. Quantité de mouvement. — Tous les curjis n’opposent pas la même résistance à un changement d’état môme idcntiipie, c’est-à-dire que la résistance due à l’inertie n’est pas la même dans tous les corps. Cette circonstance ne peut provenir que de ce qu’ils ne referment pas la même quantité de matière inerte que nous appellerons masse. Il existe doue une dépendance entre la masse d’un corps et la réaction instantanée qu’il ojipose à tout changement d’état. Comme nous n’avons aucun moyen pour apprécier la masse absolue des corps et que les différences entre les masses ne se manifestent à nos sens que par ce plus ou moins de résistance, il est naturel de regarder deux masses comme égales, lorsque les réactions instantanées qu’elles opposent à un meme accroissement de vitesse, sont elles-mêmes égales. Il suit de là qu’une masse double opposera une réaction double, puisqu’on pourra consi-

l>\.NA)IIQL'i:.

ili'i’cr celle masse double comme composée de deux masses idciiti(|ues jiixta-posces. Kn général lex réactions instiuilances que deux points matériels opposent à un même ucrroisscmenl de vitesse sont proportionnelles aux masses de ces points.

En rapprochant celte proportion de l’hypothèse admise plus haut, on voit que les réactions R et R' de deux points matériels de masses m et m' dont les vitesses augmentent de dv et do' dans un instant -dt, sont proportionnelles aux produits des masses par les accroissements des vitesses, c’est-à-dire que l’on a

R : R' = mdv : m’dv'

ou plutôt, en divisant par dt pour n’avoir à considérer quantités finies.

, dv R : R = w -T- : m dt

,dd

dt ’

que des

les réactions de deux points matériels sont donc à chaque instant proportionnelles aux produits des masses par les dérivées des vitesses prises par rapport au temps.

Si on choisit pour terme de comparaison un point materiel idéal ayant une masse m'égale à l’unité et acquérant dans chaque unité de

. . dv'

temps un accroissement de vitesse égal a l’unité,— sera égal à l’unité, R' sera runitc de réaction et la proportion précédente deviendra

R m dt

que nous écrirons pour abréger de cette manière :

On peut donc dire qu’««c réaction se mesure par le produit de la masse par la dérivée de la vitesse prise par rapport au temps, pourvu que l’on entende par là que le nombre d’unités de réaction est représenté pur le nombre d’unités contenues dans lu masse

, dv

multiplié par le nombre d’unites de vitesse contenues dans •

Si le mouvement de m était tel que-^lï'il constant ou que la

CIIAI'ITIIE \I.

vitesse t) prit des aeeruisseitieiils égaux dans eliuiiue inters aile dl , (ie

la derivee exprimerait cvidcmnicnl lu vitesse gagnée dans l’unité de teni|)s, que nous désignerons jiar o et il viendrait

It = tii r ,

e’est-à-dire qn’alors la réaclinn se mesure par le produit de la musse par la vitesse acf/uise pendant l'unitc de temps.

Le produit d’une masse par sa vitesse se nomme quantité de mouvement. On voit donc qu’une réaetiou sc mesure dans ec ilernier ras par la quantité de mouvemeut communiquée pendant l’unité de tciu|)s. On a vu plus haut que la vitesse r est représentée j»ar la dérivée

— ; il suit de la que la force de réaction est aussi exprimée par m et ipic par conséquent la dérivée du second ordre -jp mesure la

réaction d’une portion de la masse égale d l’unité.

lOii. Egalité de l’action et de la réaction. Proportionnalité des forces et des vitesses qu'elles engendrent dans un même instant. Parallélogramme des vitesses. — La seconde propriété générale qui sert de fondcmciit à la mécanique, ou le principe de l’égalité de l’action et de la réaction, consiste en ec que la réaction duc à l’inertie est toujours égale et opposée à la force qui a produit le cliaiigemcnl d’état. C’est encore l’expérience coiifiriiiée par l’accord parfait des données du calcul fondé sur ce principe et des résultats des observations, qui légitime l’adoption de cette loi générale.

Il résulte de ces deux principes combines qu’une force motrice comme

une force d’inertie se mesure par le [iroduit ou, si la foix*c

est constante, par le produit mv de la masse du point matériel sur lequel clic agit par la vitesse qu’elle engendre dans l’unité de temps et que |iar conséquent deux foi’ccs sont jiroportionnelles aux vitesses qu’elles communiquent à un même point materiel pendant riiiiilé de temps ou plus généralement, pendant un même instant dt et leur sont op|iosées. On conclut de là qu’on peut appliquer à ces vitesses les principes de la composition et de la décomposition des forces, puisque celles-ci pourront être représentées par les vitesses qu elles engendrent. Ainsi si un point matériel est soumis à l’action de deux forces simultanées I’ P' formaiif un angle * et capables de lui communiquer chacune

UVNAMIyt'K.

srparL'inonl les vitesses v cl v' cii agissant pendant l'imite de temps, ce point matériel prendra une vitesse (|iii sera représentée en grandeur et en dircetion par la diagonale du parallélograinine eonstriiit sur les deux vitesses eoinposantes v et r'. C’est en eela que consiste le principe lia parutlélutjraiivne îles vitesses. De même, si plusieurs forces agissent ensemble ou sueeessiveinent sur un point matériel suivant la même droite, la vitesse finale sera égale à la somin? des vitesses qu’auraient engendrées ces forces, si elles avaient agi suceessivemeiit ; et si l’on décompose une force suivant trois axes rectangulaires, la composante suivant chaque axe n’mira aucune iniluencc sur la vitesse du point matériel parallèlement à chacun des deux autres axes, de sorte que le mouvement parallèlement à chacun d’eux sera le même que si le point était mu par chaque composante séparément.

106. Vitesses uniformément accélérées ou retardées. Chute des corps (jraves. — Il résulte aussi de ce qui précède qu’une force constante agissant d’une manière eontinuc, doit engendrer une vitesse uniformément accélérée, c’est-à-dire qui augmente projiortionncllciueiit au temps; en effet, si b est la vitesse engendrée pendant la première unité de temps, h sera aussi 1a vitesse engendrée pendant la seconde unité et la vitesse totale sera 26; elle sera de même

~)b, ib à la fin de la troisième, de la quatrième unité et cidin

après un nombre ( d’unités ou de fractions d’unités, c’est-à-dire après un temjis t, cette vitesse t' sera i) = bt proportionnelle au temps. Si un point matériel animé d’une vitesse uniforme a est tout à coup soumis à l'action d’une force constante dirigée dans le sens de la vitesse ou dans un sens directement opposé, et qu’on représente par b la vitesse que cette force engendre dans l’unité de temps, la vitesse v du point matériel sera, au bout du temps t dans l’un ou l’autre cas,

v=.a-r-bt ou v = a — bt.

Dans le serond cas, la vitesse est dite uniformément retardée.

Réciproquement, si l'on s’est assuré (pi’un point matériel est animé d’une vitesse uniformément accélérée, on doit en conclure que la force qui agit est constante , puisque dans chaque unité ou portion d’unité la vitesse engendrée sera la même et qu’il n’y a que les forces constantes qui engeiulreiil dans chaque instant des vitesses égales. Lorsque la force motrice est constante, si ou désigne (lar u la vitesse engendrée pendant l’unité de temi>s, mu sera la mesure de la réaction de la masse m et par conséquent rc|)résenlera 1a valeur de la force motrice.

CIIAMTRK XI.

I.M chute des corps en vertu de l’action de la pesanteur olFrc un exemple d'un mouvement unirormément accéléré : on reconnaît pur expérience que les vitesses croissent proportionnellement au temps; d’où l’on conclut que l’action qu’exerce la terre sur un corps est une force sensiblement constante pendant la durée du mouvement. On trouve à Paris, & = que l’on représente par ÿ. En supposant

le corps lant^ de bas en haut avec une vitesse initiale a, on aura à une époque quelconque t du inouveincut,

v = u~,jl.

107. Pression. Lorsqu’une force que nous supposerons constante, agit sur un point matériel retenu par un obstacle fixe, elle détermine dans cet obstacle une réaction appelée pression et qui est évidemment proportionnelle a la force comprimante et par conséquent à la quantité de mouvement que eelle-ci engendrerait dans l’unité de temps si le point était libre; de sorte que, si P et P' sont deux pressions exemres par des masses m et m' soumises à l’action de forces constantes (]ui engendreraient les vitesses e et u' dans l’unité de temps si ce> points étaient libres, on aura la proportion

P mr P' in'?

qui devient, en prenant pour unité de pression P' celle qui est exercée par l’unité de masse m' animée d’une force qui ferait prendre l’unité de vitesse v' dans l’unité de temps,

P ni V

ou P=-i»e,

et qui signifie que le nombre d’unités de pression est égal au nombre d'unités comprises dans la masse, multiplié par le nombre d’unités de vitesse que la force engendrerait dans l’unité de temps.

Cette équation permet de mesurer le nombre d’unités de masse contenues dans un corps; en effet, si on suppose que la pression provienne de la pesanteur, pression qui prend alors le nom particulier de poids, V sera, comme on l’a vu (N° 104) égal à g et en prenant pour unité de pression celle qu’cxei-ce un décimètre cube d’eau distillée et amenée à son plus grand degré de condensation, c’est-à-dire le kilogramme, P sera exprimé en kilogrammes et donné par les balances, et il viendra :

KVNAMlyUK. 157

ir’est-ÙHlire , que le nomlii'c (runitt*s de masse qui entre dans un corps est égal il son poids exprimé en kilogrammes, divisé par !(,80!).

Pour ce qui est de runilé de masse p (|ui maintenant cesse d’être arliitraire, on la détermine en remarquant que, d’une part, l’unité de pression est celle cpie produit l’unité de masse soumise ii nue force capable d’engendrer l’unité de vitesse dans ruiiité de temps, c’est-àdire qu’elle est égale à p.l" et que, d’un autre côté, r’iiuité de pression est aussi le kilogramme nu la pression |u-oduite par la masse a d’un décimètre cube d’eau soumise à l’action de la pesanteur ou il’imc force qui engendre une vitesse g dans l’imité de temps, c’cst-?idire que cette unité de pression est aussi égale à a. g', on a donc, en égalant ces deux valeurs de runité de pression,

a.g — ^.i'’, d’où p = a.ÿ

c’est-à-dire que l’imité de masse est représentée par la masse d’un décimètre cube d’eau prise 9,809 fois.

1Ù8. Forces continues. Forces instantanées ou île percussion. Leur mesure. — Les géomètres, trompés par certaines apparences, ont longtemps admis l’existence de deux espères de forces, les unes n’agissant que pendant un instant et produisant instantanément une quantité de mouvement finie, les autres agissant pendant un temps plus ou moins long et ne produisant une vitesse finie que dans un temps fini; les forces provenant des percussions étaient rangées dans la première catégorie; la pesanteur et les forces d’attraction l’étaient dans la seconde. Plus tard, lorsqu’on s’est formé une idée plus juste du principe de continuité , on a reconnu que cette distinction n’était pas fondée : qu’il était impossible qu’une force quelconque, à moins qu’elle ne fut infiniment grande, produisit une quantité de mouvement finie dans un temps infiniment petit ou dans un instant : que la quantité de nionvement obtenue au moyen d’une percussion considérée à tort autrefois comme engendrée instantanément, est en réalité engendrée dans un teni|)s (|ui, sans être infiniment petit, est ce|)endant trop minime pour être facilement appréciable, et enfin que pendant ce tenqis, les deux corps, quebpic durs qu’on les suppose, se compriment plus nu moins en s’applatissant et se transmettent de l’un à l’autre et d’une manière eontiiiue, une partie de leur vitesse jusqu’à ce que la conqiression soit terminée, ce qui arrive lorsque les corps ont pris des vitesses égales dans le sens de lu percussion.

CIIAI'ITHH XI.

Il csl donc [dus exact de eonsidci’cr les l'ort^cs dites iiistaiituimw eüiinne ii’agissanl ijiic |iciidunt un temps extrêmement court (|ui leur sullil cependant pour produire dos quaiilités de mouxement linics parce cpie les forces de cette nature sont incumparabicinent plus grandes que celles qui proviennent des attractions, etc. Comme on ne compare ipie des objets de même ordre de grandeur, on ne peut êtablii' de rapports entre ces deux esiièees de forces. On se borne à comparer entre elles les forces provenant de percussions et dans l’impossibilité où l’on est d’apprécier avec un peu d’exaelitnde la durée du piiénomène, on ]>rcnd pour leur mesure et iionr mesure de l'inertie, le produit de lu musse du point matériel sur lequel agit cette force par la vitesse engendrée pendant la durée de lu compression, quelle que soit cette durée, que l’on suppose la même dans tontes les perenssions.