CHAPITRE XII
Théorie du mouvement rectiligne d'un point matériel. Équation difTérenticllc du mouvement. Force accélératrice. — Lois de la chute des corps pesants. — Prohlùincs.
109. Théorie du mouvement rectiligne d’un point matériel. Équation différentielle du mouvement. Force accélératrice. — Pour qu’un poiul matériel décrive une ligne droite, il faut que la force qui agit sur lui, ou plutôt la résultante des forces auxquelles il est soumis, soit dirigée constamment suivant cette droite. La théorie du mouvement rectiligne consiste & déterminer à chaque instant la position du point matériel sur cette droite et les circonstances de son mouvement connaissant la force ipii le fait mouvoir, ou à trouver cette dernière connaissant les circonstances du mouvement. Soit x la distance, au bout du temps (, du point matériel m à un point fixe pris sur la
dv ,
droite qu’il décrit et <p la force motrice ; comme m est 1 expression
générale de la force d’inertie qui, d’après ce qu’on a vu (M" 104), est égale à la force motrice, on a •
dv
Cette équation, qui exprime lu lui suivant laquelle s’engendre la vitesse, est dite Véqiiution différentielle du mouvement. Comme v est
donne par -r- > ou peut lu mettre sous la forme ' dt '
d-x y di*~m
HlO CIIAPITKË XII.
dans laquelle — est cvidcnimeiit la force qui en agissant sur Tunilc de
masse, lui communique le même mouvement que la force 9 eonimu-
nique h lu musse m. Lu force — ro])j)orlL-e uinsi à runilc de masse se
nomme force accélératrice, pour la distinguer de la foree motrice f qui agit sur lu musse entière m.
Si la force ? est connue, on déduira de cette équation par deux intégrations successives, les valeurs de~et de x en fonction de t. Si
au contraire la position du point matériel est connue à chaque instant, e’est-à-dirc si on connaît x en fonction du temps ou x = fl, on en
déduira par deux différentiations successives, la valeur de -jp et par
suite, la force motrice y. Dans le premier de ces cas, rintégralc finale renferme deux constantes arbitraires qu’il faudra déterminer au moyeu des circonstances initiales du mouvement, comme on le verra dans les applications suivantes.
HO, Lois de la chute des corps pesants. — Proposons-nous de déterminer les circonstances du mouvement d’un corps pesant, tombant verticalement dans le vide, x éUmt la distance verticale du point matériel h un imint fixe et mg la mesure de la pesanteur ou de la force motrice, on a
d’où l’on tire en intégrant,
— ou n = qf-t-C., X = — — hC<-t-D.
dt ’ 2
Pour déterminer les constantes C et D, observons qu’en faisant t égal à zéro, V et X se réduisent à ces deux eonstantes qui représentent parconséquent la vitesse et la distance au j)oint fixe, lorsque le temps t commence à être compté. Si ces valeurs initiales sont milles, c’csl-adire, si le point matériel part du repos et que le tcmiis commence à compter nu moment où le point quitte l’origine, il viendra
v = gt, x = -ÿ(*.
UYNAHlgl'E.
ir.i
On voit donc que les vitesses seront alors à chaque inslaiil pnqioi' tionnelles au temps, et les espaces parcourus, proportionnels aux carrés des temps. En éliminant le temjis t entre ees deux équations, on trouve
O* = -2(jx et v= (/ 2(jx
qui donne la vitesse correspondant à chaque hauteur x de la chute. Dans cette équation f s’a])pelle la vitesse dite à la hauteur x de lu chute. Cette vitesse est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur.
Si le point matériel est lancé de bas en haut, en comptant les x vers le haut à partir d’un point fixe, la force motrice tiuj agira en sens inverse et sera négative; on aura donc
d’où l’on tire en intégrant, '
„ = x = lÿt» et -t- D,
dans lesquelles C est la valeur de v correspondant à < = 0, c’esl-à-diir la vitesse initiale de projection, et D, la hauteur du point matériel audessus du point fixe à l’instant où le temps t commence il compter. 1) sera nul si on fait coïncider le commcnccnicnt du temps et de la distance.
On déduit de la première de ees valeurs, la durée du mouvement ascensionnel, car ce mouvement durera jusqu’à ce que l’on ait v = O et il vient alors
— qt -I- C = 0 d ou t = - .
Ouant à la hauteur de l’ascension dùc à une vitesse de projection C, on l’obtiendra en remplaçant t par la valeur précédente dans l’expression de X, et il viendra
On a trouvé précédemment pour le cas d’un point matériel pesant (|ui tomlic librement,
r = fft et 0* = 2ÿj-,
rilAI’ITIIE XII.
et |mm)iiscquciit
Kn rn|ipr(»cliant ces valeurs des précédentes, on voit (|ii’un point inalériel pesant, lancé verticalement de lias en haut, s’élève à la hauteur d’où il devrait tomher pour acquérir une vitesse égale l'i la vitesse de projection et la durée de l’élévation est 1a même que celle de la chute. De jdus, si on élimine t cnti'c les valcui's de v et de x, dans le cas de l’ascension, on trouve pour la vitesse correspondante à une hauteur x mesurée de bas en haut,
0 = ± — 2ÿX,
d'où l’on conclut que, en chaque endroit de la verticale, la vitesse du point est la même en montant et en descendant, car après avoir
atteint la hauteur — , sa vitesse en descendant, après avoir parcouru
l’espace x' égal à-^ x, sera
nu
Si le point matériel pesant était assujetti à glisser, sans frottement, sur une droite inclinée d’un angle « sur l’horizon , il est visihic (jiie la force motrice iiuj se décomposerait à chaque instant en deux forces mg cosa et m^.sina; la première, perpendiculaire à la droite, est détruite par sa résistance et mesure une pression , la seconde renfermée dans celte droite, détermine le mouvement; si doue on représente pur X la distance à une épmprc (iiielcouqiie I du imiul matériel .à un point fixe, comptée sur cette droite, réipialion différentielle du mouvement sera
m = mg sin «,
il’où l’on tire en intégrant,
dx , ,
— ou î) = (J sin a . f -r- C et x = </ sin a ■ — U -e I).
Kn faisant < = 0 dans ces deux intégrales, on voit que les eonstanles arhitraircs C et 11 sont encore les valeurs initiales de la vitesse et de
UYNAMiyiIE.
i(iî5
la Jislanvc x , el si l’on l'ompai'c ccs valeurs à relies que l'on a Irouvécs pour la chute verlirale des corps graves, il est visible que les lois du mouvement sont identiquement les mémos en changeant la gravité ly en ry siii a.
Lorsque les valeurs initiales de la vitesse et de la distance à l'origine sont mdics, e.es équations se réduisent à
r = (/< sin a et * = (/— sina
r* =.2jy.r siti «.
Si AE (iig. 8li) est une verticale, AC la direction du inouvemeni el An l’espace x parcouru pendant le temps (, en abaissant la perpendi(tulaire BD sur AE et faisant AD — h , on a
h = AB . sin ABD = x sin a
el par conséquent
ti* = '2(jh ;
or si le point matériel était tombé librement de A en D, sa vitesse acquise serait aussi ]/'i(jh; d’où il suit que la vitesse aetjuise à chaque instant par un point matériel glissant le long d'une obliipie, est égale à la vitesse qui serait due à la hauteur <le la chute estimée dans le sens vertical. Cette propriété n’est qu’un cas particulier d’une propriété plus générale qui sera démontrée plus loin.
On tire aussi de l’une des équations précédentes, pour la durck- de la descente de A en B,
et si l’on décrit le demi cercle ABE ayant son centre dans la verticale AE, on aura pour la durée de la chute de A en E,
ou liien ,
en rcinanpiant que AE =
AB
sin AEB
sin a
CHAPITHK XII.
IIH
On voit (Umc que la iluréc de la descente le long de la curdc Al) est la même que la durée de la cliiilc de A en E. Il suit de là que le leinps de la descente est le nièine pour tonies les cordes parlant du point A. Cette durée est aussi la niénie pour toutes les cordes snpplénienlaires lîE, car elle est, d'après ce qu’on vient de voir.
