__ /2RE /-2MI
IJ sin DUE y/ I) eos DEli ej
Si le point inalériel éprouvait en glissant le long de l'oMiipie AH une résislanre due .ni frolteinent, il l'audrait de la force inolrice provenant de la pesanteur, retrancher celle qui provient du froltenienl. E’evpérience apprend que cette force est toujours représentée pai' une portion invariable de la pression, e’esl-à-dire qu’elle est proportionnelle H la pression wi</cosa; on a donc, en désignant par / (<• roi-ffiririil ihi frollcmeiil ,
III = III <) sin a — ml g cos a
dont les intégrales font eonnailre toutes les circonstances dn nioinetnenl.
Si, outre le froltenienl, on avait égard à la résistance de Pair alinosphériquc que rexpérience a prouvé être projiorlionnelle au carré de la vitesse, il faudrait de la foree motrice précédente, relranclier un terme de la forme iiv*, n étant un coeflieicnl constant qui ne dépend que de la nature de Pair, de sa densité que nous siqiposerons conslanle et de la forme du point matériel ; l’équation dilfé'riMiliellc du inoiivement serait doue
III = ni ('/ sin a ■ f/t*
• fg eos a) — ne’.
Pour intégrer, on la met sons la forme dr
’^dv
dl
III (il sin a — fg cos «) — «»* d'on iH = ,-tt r- »
en posant
(g sin 1 — fg eos a) = nk°.
DYNAJIlQtJF..
l'inlcgralioii donne, en faisant la constante arbitraire égale h zéro pour que la vitesse soit nulle avec le temps ,
1=— log, > doue, ccsl-a-dire, -r. — k
'2kfi k — t) *"
Ai«( km
et en intégrant une seconde fois en faisant commencer x avec ( ,
Cette équation donne l'espace parcouru à une époque quelconque t. On peut aussi obtenir l’expression de la vitesse en fonction de l’espace parcouru ; il sullit pour cela de remplacer t par sa valeur en u dans la dernière équation et il vient
Tandis que l’espace parcouru x augmente, le terme e "" ou 'a
en diminuant et finil par être négligeable devant l’unité; l’expression de V approche donc de plus en plus de k ou
c’est-à-dire que la vitesse tend coutinuclleinent vers l’uniformité.
(g sin g — fg cos a) m
Si l’on fait a égal à - dans les formules précédentes, ce qui donne
; = V/^ctqu’,
bn fasse ensuite n nul, on doit retrouver pour x
et f les valeurs obtenues pins haut pour le eas de la chute des corps graves dans le vide. C’est eu effet ce qui arrive, si l’on développe en
ltp»f kmt y~ ■„
. — — il/ ^ -1 1/ *
sériés les exponentielles e",e'“etc'"oue "etc ",
ainsi que les logarithmes. La dernière valeur de v, par exemple,
devient alors
-t — ;; — ; etc.
ônr
CIIAPITHi; XII.
Kili
/, / MX* 2m*x’ \
fl en faisanl m = 0,
ti = (/2yx ou V* — 2ÿx.
Si le mouvement avait lieu en montant, la composante de la jiesanteiir (f sin a serait négative ainsi que les résistances dues au frottement et à la présence de l’air, attendu que ces deux forces sont toujours opposées au mouvement; l’équation différentielle serait donc
fg cos o) — «e*.
et en faisant
q sin a + fq cos a — ~ k-
011 pourrait la mettre sous la forme
m dp
n itW'
On en tire, en représentant par a la vitesse initiale ou la vitesse de projection.
d’où
et
Ml ( a PI
f = -^ j arc tang ^ — arc laiig ^ j i
tang
nkt ^ a — f
Ml • ot> -t- A‘*
, fikt
nkt ,
nkl
a — k tanc —
a cos— — k
sin —
Ml
Ml
, nkt
. nkt ,
nkt
A* -H a lanc —
a sin h A*
cos —
Ml
Mi
Si l’on remplace v qu’on intègre une seconde fois, on trouve,
en supposant que x = 0 quand t = 0 et en remarquant que le nuiiiéralcur est la dérivée du dénominateur,
«I , / nkl a . nkl\
X = — logl cos 1- ysin — I •
DYNAMIQUE
nkl
