lailg

nkl nkl , , m

Eli remplaçant siii — cl cos — par leurs valeurs 1

% / 1 -t- lang’ — V »t

i + tang*

— et teiiunt eoniplc de la valeur de lang — trouvée nkl

plus haul, il vient aussi

Comme rascension n’est terminée que lorsque la vitesse est nulle, on en trouvera la durée et l’étendue en égalant ü zéro la vitesse, c’est-àdire en posant

nkt , . nkl «

(I cos fcsin — =0, d ou tang — =7 cl < = — are taiiK-r >

ni m m k nk -k

Ces rurinules l'ont cunnaitre les luis du mmivemeiil ascensionnel d’un point matériel suivant une verticale; car il suflit d’égaler 1 à ^ ce qui fait prendre à k la valeur ,

Si on fait ensuite n égal à zéro, on doit retrouver les formules du mouvement ascensionnel dans le vide, ce qui arrive en effet en développant en série le sinus et le cosinus ainsi que le logarithme, développements dont on peut toujours faire usage, puisque ces séries sont toujours convergentes. (Traité d’analyse N" 47.)

Nous avons supposé la gravité (j constante dans les formules précédentes, ce qui n’est permis que pour des hauteurs de chute très petites relativement au rayon de la terre. Pour des espaces illimités, il faut tenir eompte de la variation de la pesanteur avec la distance au centre de la terre. On verra plus loin que l’intensité de la gravité varie dans le rapport inverse du carré de la distance

CHAPITHE VII.

IÜ8

au cpiitre ; si donc (j est la gravite à la surface de la terre ou à une disluiiec r du centre, la gravité à une hauteur x au-dessus

de la surfaec ou à une distance r -v- x du centre, sera ■

qu’il

faudra substituer à g dans réiiuatiun dilTcreiiliclle du inuiivcinent. Celle-ci devient en rendant le mouveinciit vertical, c’est-à-dire, en

faisant a = - >

di*

mgr‘‘ (x -V- r)*

ne’.

Si on suppose n constant, ce qui revient à considérer l'air eoinine étant partout identique, on intégrera, en remarquant que

~dl* ''

dv

di

vdv dx , dx

:-7— > parce que — =v et dt = — i dx ' ‘ V

et on fera ensuite v* égal à une nouvelle variable i. On sera conduit ainsi à une équation dilTércnlielIc linéaire du premier ordre.

Si l’on tient compte de la variation de la densité de l’air atmosphérique aux différentes hauteurs, on remarquera que le cocITicicnt n est, comme on le verra plus loin, proportionnel à la densité de

l’air, laquelle est pour une hauteur x, représentée par pe f, p étant la densité à l’origine ; le coclficient « devra donc être remplacé par

n'pe ’’ dans laquelle «'"est un certain facteur indépendant de la densité; l’équation différentielle du .mouvement devient alors

il^

dr-

mgr‘‘

n'pe fe*.

Si l'on suppose l’étendue du déplacement assez petite pour qu’on puisse regarder la gravité comme constante, l’équation du mouvement prend la forme

m -777= — »ig -t- Il pe ’’ v*

([ui se déduit d’ailleurs de la précédente en remarquant que l’on a

UYKANIQUi;.

cl que quand x esl polit relativement au rayon r de la (erre, le

seeond membre sc réduit sensiblement à l’imité.

Celle dernière équation diirérentiellc s’intégre en observant que

d*x tdv , . ..... ...

— =■— et en remplaçant tJ’ par une nouvelle variable z; elle deal* dx

vient alors linéaire cl du premier ordre; mais la quadrature ne peut être obtenue que par approximation.

En tenant compte de la variation de la pesanteur, les lois du mouvement d’un point matériel dans le vide sont données par d*x mgr*

dt* (r + x)* ’

d’où l’on tire, en multipliant les deux membres par 2dx,

L'nc seconde intégration fera connaître x en fonction de l.

iH. Problèmes. — Occupons-nous encore du problème suivant : déterminer te mouvement d’un point matériel m soumis à l’action de de detix forces répulsives émanant de deux points fixes A e( B de la droite AmIJ, l’intensité de ces forces étant inversement proportionnelle aux distances m\ et niB du point m aux points fixes.

En représentant par o et 6 les intensités des deux forces agissant à l'unité de distance et sur l’unité de masse, elles deviendront

à des distances respectives x et / — x, égales à - et j— ^ — > de sorte que l’équation difTércnliellc du mouvement sera d*x a b

dt* X l — x’

d’où l’on tire en multipliant les deux membres par dx et intégrant,

'"6 X ■*- "ib log (l — x) -i- i log C = 2 log j Cx“ (/ — x)*j.

Si on représente pur e la distance initiale du point matériel au

dx

point A, et qu’on détermine C par la condition que — ou la vitesse soit nulle lorsque x est égal à e, il viendra

MO

ciiAPirnE XII.

el par conséquent

dx

it

La l’olation entre l’espace parcouru et le temps s’obtient en effectuant une deuxième intégration. Quoiqu’on ne puisse trouver celte Intégrale sous forme finie, on reconnaît cependant que le point matériel w oscille indéfiniment entre deux points fixes C cl C' placés entre A et B; car dans les points où la vitesse change de direction, cellc-ci doit être nulle ; les valeurs correspondantes de x sont donc données par l’équation

i|ue l’on peut mettre sous la forme

ar* (f — ar) = e* (/ — e) , ou x"+' — Ix' + e* (< — c) = O ,

eu renij)laçant ^ par n, et il est visible que celle dernière donne

pour X deux valeurs positives au plus, puisque l’équation ne présente <|uc deux variations de signes; d’où il résulte que m oscillera indéfiniment entre deux points fixes C et C’, dont run n’csl autre «pie le point de départ correspondant à x = e. Quant aux solutions négatives, s’il y en avait, elles seraient évidemment étrangères à la question de mécanique, car pour que x pût devenir négatif, il faudrait que pendant le mouvement il passjU par zéro, ce qui ferait prendre à la vitesse une valeur imaginaire.

Il y a tinc position où le point matériel resterait immobile si on l'y plaçait sans vitesse initiale. C’est évidemment celle où les deux forces motrices sont égales; sa position est donc donnée par l’équation

; = 0, d’où X

al

Si l’on eherehc le lieu où la vitesse est un maximum , un trouve qu’il coïncide avec le point précédent.

L’intégration de (I) devient possible lorsque le point matériel ne s’écarte que très peu de la position d’équilibre, c’est-à-dire, du point

DYMAMUJUK.

donne par x = r; remplace e par .■

par— h Z, £ el : étant des quantités très petites, l’équation dilTé-

al

rentiellc (1) deviendra, en représentant par p,

et en développant en série suivant les puissances ascendantes de z et de £ les logarithmes de p -v- z, p — £, I — p — z, t — p-t-£, il vient, en bornant les développements aux termes de seconde puissance de z et de £ ,

ilont l’intégrale est

arc sin - £

la constante arbitraire étant déterminée par la condition que I soit nul quand z = 0. On tire de là

Il est visible que z ou l’écart de la position d’équilibre passera |)ar

les valeurs 0, -4- £, ü, — £, 0, -t- £, etc., lorsque

égalàO, etc.; d’où il résulte que le point matériel ni

fera une suite indéfinie d’oscillations dont la durée uniforme est

à la distance des deux points A et H.

• Cette durée est proportionnelle

Le mouvement qu’on vient de déterminer est celui que prend une

sphère placée dans un tube cylindrique de même diamètre, fermé aux