CHAPITRE XII

deux cxtrcniilés et rempli d’air atmosphérique des deux eûtes de la sphère. La force élastique de l’air augmentant proportionnellement à la eompression, il est visible que la sphère est soumise b l’aetioii de deux forces répulsives inversement proportionnelles aux distanees aux deux extrémités du tube, et si on la place de manière à comprimer fortement l’air placé d’un côté et qu’on l’abandonne ensuite b ellemême, elle oscillera comme on vient de le voir entre deux positions lixes C et C'.

Si l’on tenait compte du frottement exercé par la sphère contre les parois du tube, en représentant par f celte force rapportée à l’unité de masse, c’est-ii-dirc, en représentant par mf \a force totale du frottement, l’équation dilTércntielIc du mouvement deviendrait

fl*x a h

lU*

dont l'iiitégrulc première est

'■2b log (/ — x) — 2/x C , ou, en déterminant la constante arbitraire comme plus haut.

Cette valeur donne lieu h une discussion semblable à celle qui précède et on reconnaît que le point matériel effectue une suite d’oscillations dont l’amplitude va constamment en diminuant. Si le point ne s’écarte

r » en

(juc très peu de la position d’équilibre donnée par x

remplaçant comme plus haut e et x par

£ et

o -4- Il n -H 6

£ et Z seront des quantités très petites et la valeur de v deviendra,

ahl*

(a ■+■ by abt*

L’étendue ou l’amplitude de la première oscillation se détermine en

tnXAMigirE.

ri‘iu»n|iiiint <|uc dans les deux innnicnls extrêmes la vitesse n est nnllc; on a dune pour ecs deux points,

Lu première équation donne — e pour l’éearl à ganelie au coinmenee-

ment de 1 osedlution ; la seeonde donne pour z, è — 7—= — r-- qui est

(rt -H 0)’

l’érart à droite. Il résulte de là que, à cliaquc oscillation à droite ou à gaiielic, l’écarl du point matériel de la |>osition d eqnililirc diminue 'Ifahl*

de^-i-^-yp) puis([u’on voit «pic cette diminution est indépendante de e.

Reinarquons aussi (jue pour que la valeur de v soit réelle, c’est-àdire pour qu’il y ait commcneemenl de mouvement après (|ue le point a été écarté de la position d’équilibre d’une quantité e, il faut ijuc pour cet instant on ait

(s — z) — i/’>0, ou £>

^ (a-^-hY ■ '

«•t eomnie z prend alors la xalcur — s, on doit nécessairement avoir ^ 'IfuhP fahl*

d’où il suit que pour que le point se mette en mouvement, il doit être écarté de la position d’équilibre d’une quantité supérieure à

— ' — ,r » smon le point reste immobile. Comme 1 écart (liniinue a (n -1- 6)-

cluupic oscillation à droite ou à gauche, dc^-^-— on voit que le

nombre d'oscillations à droite ou à gauche comptées depuis l’instant on le point n été écarté d’une quantité e, jusqu’au moment du repos,

on jusipi’ù ce que l’écart devienne moindre que-T-^— est donné

(o -H hy

par -

(a -t- hy

-2fabl* 2fubl*

e, ou plutôt par le nombre entier immédialc-

(n -+- by ment inférieur.

Il résulte aussi de la discussion de la valeur de r, que si le point

CIIAI'ITRK XII.

mobile est ccarlé île la position (réqiiilibrc d’une uiiaiitité e=-, >

^ /{a H- hy ,

la vitesse se réduit h r = j/s -f- : W ~ " > “ ““ ’’ •‘‘‘*"'1'’

que : ne peut pas prendre une valeur positive, c’est-à-dire que le

point glissera jusqu’à la position d’éipiilibre et s’y arrêtera. Si e est

2f,iM‘ fahl^ . . , . /■"W* f, I

eonipris entre ~ ~ et — — on est égal a ; , -+- 8, la

' (o -4- i>y (n -4- hy ^ (il -I- by

valeur de devient j/c -4- £* / W 0 - r ; don

fuhl*

il suit que : doit rester négatif et ne peut dépasser ^ — 0 on

que le point ne parcourra qu’un espace égal à 28.

Enfin , en intégrant l’équation différentielle qui donne la valeur de

-î-j depuis < = 0 eorrespondant à : = — f , on trouve pour intégrale

/bi/* / /bb/* \

Comme à la fin de l’oscillation , z est égal à e — pour la durée t d’une oscillation entière,

(a -4- hy

(a -4- hy ,, . / (tt -4- hy

4wr^— '• 'V

ot T ay/

Cette valeur étant indépendante de l’éeart e, il en résulte que toutes les oscillations ont la même durée, quelle que soit rarnidiludc. Cette durée est aussi indé|)cndantc du frottement. La durée totale du mouvement du point matériel est représentée par le produit de I' par

, . , . / obfi ,

le nombre d’oscillations, ou par le produit de - *'

, (a -4- hy , . . , Il

plus grand nombre entier contenu dans cest-a-dire ipi elle

est sensiblement égale à ^.\ / i'Ali*!..

V iih

UV.NAHIQL'E.

Si le tube était ouvert ù ruiic de scs extrémités, il fuudruit faire /) = O et 011 aurait pour la vitesse

« = y/2 log Qy — <if{x — e) dont le maximum correspond a

Telle est évidemment la longueur qu’il faut donner au tube pour ipie la sphère soit lancée nu dehors avec la plus grande vitesse possible , puisque la vitesse maximn, acquise au moment où le projectile sortira du tube, est celle qu’il conserverait iudérinimciit dans le vide sans l'action de la pesanteur.

CIlAlMTill!: XIII.

Théorie du momcinent curviligne d’uii point matériel libre. — Propriétés de ce mouvcnicnt. — Force cciitrirugc. — Mouvement d’un point matériel dans un milieu résistant.

112. Théorie du mouvement curviligne. — Un inouvcnicnl curviligne c,st celui que prend un point iiiiitérirl qui décrit tine certaine courbe dans respncc eu vertu des forces qui ruuimcnt. Pour sc rendre eoiuj)le de la génération d'un semblable mouvement , supposons <]u’à une époipie quelconque, le point matériel soit anime d'une certaine vitesse dans la direclimi uli (lig. 8(i); si aucutic force extérieure ne vient agir sur ce point, il conservera, à cause de son inertie, sa vitesse et la direction de son mouvement; mais si, arrivé en h, une force extérieure vient agir sur lui pendant un instant dl, il sera dévié de sa direction ah et en représentant par bc et bc la vitesse antérieure et la vitesse que la force est capable d'engendrer dans le temps dl, le point matériel suivra la diagonale bd du parallélogramme construit sur be et bc , avec une vitesse repré.seutée par bd. Arrivé en d, s’il reçoit une nouvelle impulsion suivant df, il suivra la diagonale dh du parallélogramme constrint sur df et sur dg = dh, et ainsi de suite; le point matériel décrira ainsi le [lolygone ou plutôt la courbe ubdh....

La théorie de ce mouvement consiste principalement dans la détermination de la position que le |)oint occupe à (diaipie insUuit dans l’espace, ainsi que de la courbe ou trajectoire «ju’il décrit, ün voit donc qu’en rapportant 1a position du point matériel à trois plans ree-

m.wjnyuK.

liuigiiliiirus et <;ii rupréseiitanl par x,ij, z les trois ruordumiccs de sa position ail bout du temps I, cette lliéorie a pour but de trouver les valeurs de ecs conrdoiinées en runetion de l. L’élimination de t entre deux des trois équations donnera lieu à deux équations entre deux des roordonnées, qui seront évidemnient les équations des projeetions de la trajeeloire sur deux de ees (duiis.

Comme dans l’intervalle f/tccseourdonnéesatigmcntentdcdx, dij, dz,

il en résulte que — i -r sont a 1 instant l les vitesses du point lit dl (Il

matériel dans le sens des trois axes ou les eoinposaiiles suivant les axes, de la vitesse dans l’espace, lai|uellc est pur conséquent repré-

, , , ds

ui est égalé a , puisque

ds ou rélémcnl de la courbe décrite est égal à j/ dx* -t- dij* ■+■ dz'‘.

Représentons ]iar X, Y et Z les trois eomiiosuntcs de la force luolriee suivant les axes; comme cette force est égale et opposée à la réaction , il est clair que les trois composaiilcs X, Y, Z de la première sont égales et opposées aux trois composantes de cette dernière; or une force de

réaction étant représentée jiar m —, la réaction dans le sens de l’axe

sentée

des X est donnée par m -

ou m ■. 7 en jiremmt le tenqis t

dl ■ dl^

pour variable indépendante, et l’on est eoiidiiil aux trois équations d-x

qui forment les éq«ofioHS du moiivemeiil du /toiiil malériel m, |iarce que leur cnscinldc reiirésentc la loi du inouvemeiit du point malériel dans l’espaee. Si X, Y, Z sont respectivement fonctions de x, y etr, on pourra intégrer séparément ees trois équations en multipliant les deux membres par 2(fx, 'idy, et '2dz ; car il viendra

CIIAI’ITIIt MM.

d'où l’on tirei'ii, en re]>résenlanl paryx, y'y, et -/'s les sceonds niem- Ijrcs de ces é<|imtions,

dt = }/m — — î d( = |/ni , dt = j/m ~ >

K KÿV K ?' *

et une nouvelle quadrature donnera

t = !fX, t = fy, t = -y's.

En éliminant t entre deux de ees équations, on aura les projections de la trajectoire sur les plans coordonnés.

Si .\, Y, Z étaient donnés en fonction de I, on trouverait aussi iminédiateincnt par de simples quadratures, les équations de la trajectoire; car en multipliant par dt et intégrant, il vient

f/x „ . du

= = Yr/< C' = yt,

ni /"/.dl H- C" = y"l .

lit

puis

uix = J''ftdt H- 1), — J yl'tl -t- mz— J'y'tdl -i- D".

l’ar rélimination de t, on obtiendrait ensuite les équations des projections de la trajectoire.

Les intégrations précédentes ne seraient plus possibles immédiatement si les forces motrices \, Y, Z étaient fonctions d’une ou plusieurs variables, autres que celles indiquées plus haut; dans ce cas, il faudrait considérer les trois équations «lu inouvenient eomine formant un système d'équations dilférentielles simultanées, et on les inti'grerait .soit en les combinant de manière ii séparer les variables, soit en employant la méthode générale iiidii|uée dans le traité d'analyse N"2H.

Les trois intégrales premières font eunnaitre les compo.sanles de la

di. du dz ... , ...

vilcsse-r» -Tl et par suite la vitesse elle-m«*ine «pii est donnée dt dt lit

lion ilu mouvement dans l'espace à

Elles déterminent aussi la direeunc époque qucIconi|iie, c’est-à-

dire, 1.1 direction «le la tangente à la Irajcetoirc, car on sait que les

cosinus des angles que forme la tangente à une courbe au |)ointx, ?/, r

KVNAMIQI'i:.

avi’c les

trois axes sont -t-ï tis

ily (iz , .

et — que I ou iieiil eepire sous (fs (U

dx dtj dz

, dl dl dt . .

la lonue — > — et qui reviennent a

fis ds ds

dt dt dl

115. Prapriétis dit moiivcmeiil curviUffHe. Loi des aires. — Ou (lêiliiit lies équations générales du niouvement d’un point matériel |iliisieurs lois ou jiriqiriélés qui ne sont que des cas particuliers de jiropriélés plus générales que nous déinonlrcrons lorsque nous nous oeeiijicrons du inüuveiurnl d’un système de points matériels.

.Si l’on comliine deux à deux par voie de soiislractioii les équations du mouvement

iPx iPy

après les avoir multipliées respeetivement par y et par z, par x et

par Z , par x et par ly, on en déduit

XfPij — yiPx , ^ zd-x — xd-z

m — — , = XI — i/\ , m rz = z\ — x/,

dp ’

yiPz — ztPy

or les .sceonds membres sont nuis si la l'orcc motrice dont X, Y, Z sont les romposantes, est dirigée eonstammenl vers l’origine fixe des coordonnées, si, par exemple, cette force résulte d’une attraction ou d’une répulsion émanant de ce point; car ces seconds menilires sont les moments de la force par rajiport aux trois axes, moments qui sont nuis si la force rencontre les trois axes ou passe par l’origine.

Les seconds membres sont encore nuis lorsque le point maU-riel n’est soumis îi l’action d’aucune force motrice, c’est-à-dire, lorsque X, Y, Z sont mils; dans l’un ou l'autre cas, on a donc :

^*iy — yd*x ^ ZfPx — xdH ^ ^ n

lÎP ' dP ' ’ lÎP

IKO

r.llAHTItK XIII.

H si l’on iiilègrc après avoir multiplié par dl , on mn.irijiiani ijiio les niimcralciirs sont les (liiïérenliellcs de

xdif — ydx , zdx — xdz , ijdz — zdij ,

on trouve :

xdy — ydx „ zdx — xdz

df “ ^ ’ df~~ = ^ ’

(les trois oonstanlcs arbitraires sont déterminées ipiand on eonnait le point de départ dit point matériel ainsi que la vitesse initiale et sa direetion; car on coniiaitia dans ce eàs les valeurs de x, y, z,

dx du dz . , , . , ,

17’ Il 17 ‘ ‘'"'® premiers membres de ees trois

équations.

.Si l’on multiplie les deux membres respectivement par z, y et x, un trouve , en additionnant ,

Cx -I- C'y C'z — 0 ,

qui l'ait voir que les coordonnées de lu trajectoire satisfont à réquation d’un plan ])assanl par l’origine, c’est-à-dire que la trajectoire ext jdane, ce qui du reste est évident, puisque si la force juisse par l’origine, il n’y a aiieun motif pour que le point matériel sorte du plan passant par la direction de la vitesse de projection primitive et par le centre d’attraction.

Pour interpréter les trois équations dilTércntiellcs qui précèdent, considérons la première se rapportant évidemment à la projection de la trajectoire sur le plan des XY ; elle donne, en intégrant une seconde fois et en faisant eomracnccr l'intégrale avec le temps, ec (jiii fait disparaitre la nouvelle constante arbitr.iirc,

xdy — ydx = C"dt , y (xdy — ydx) = C"(.

Si l’on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires r et 0, en prenant l’origine pour pèle et en comptant Ic-s

angles à partir de l’axe des X, on aura

X = r cos 6 , y = r siii 0 ,

cl l’intégrale devient

frhl(> = C"t.

On sait que l'aire élémentaire comjirise entre deux rayons vecteurs

nV.NAJII(.UF..

l'aisiiiil un aiijjlc //O, csl ri‘|ircscnU'c [)!ir - et qur, |iar foiiüctiiicnt, l'aiiT À" que déci'il le raum vcolcur priulant le lenips t esl expriim'e par d'où il l■ésllllc cpie l’oii a

l•’csl-il-di^e que l’aire V est proporlimmclle an lenips (. Les deux antres dilTcrenlielles conduisent aussi aux relations

Il suit de là que, lursqn'nn point matériel en inunvemcnt n'est soumis qu’à l’action d’une force dirigée vers un point fixe, la trajectoire est toujours renfermée dans un plan passant par ce point et le momcinrnt a lieu de manière que les aires que décrivent les trois projections du rayon vecteur de l'espace sur les trois plans eooialoiinés sont proportionnelles nu temps eniiiloyé à décrire ces aires, le centre des aires étant placé à l’origine, qui csl le centre d'allraelion.

lin représentant par L l’aire plane que décrit le rayon vecteur de l’espace et dont à, >.', V' sont les projections , on sait qu’on a

et parlant

c’est-à-dire, ipic celle aire de l’espace esl aussi |)roportionnelle au temps employé à 1a décrire.

Les trois intégrales premières auxquelles nous avons été conduits plus haut, savoir

xdtj — ijilx ~^t

C, rtc., etc.

ont aussi une signification géométrique fort simple;

comme

Tl'

±J ,ll ’

ilz . ... . . , ■ , <l’l

sont les composantes de lavilessedu point materiel, x—j — etc.,

etc. sont les moments de celle vitesse par rapport aux axes, de môme

nilAPITHË XIII.

que xY — j/X, etc., de. soiil les moments de la Ibrce (.\YZ) et ces trois intégrales premières expriment que les moments de la vitesse du point par rapport aux axes sont invariables.

Réciproquement, si celte loi des aires se vérifie dans le mouvement d’un point matériel, ou doit en conclure que ce point est soumis à l’acliuii d’une force dirigée vers l’origine des coordonnées , car si on dérive deux fois les trois cqualinns qui ex])rimcnl celte loi, on est conduit aux suivantes

d-iy </'x

qu’on peut remplacer par

xY — ÿX = 0, de., de.

à cause des équations du niouvcmcnt d’un point matériel. Ces dernières équations expriment que les moments de la force motrice par rapport aux axes sont nuis, ce qui ne peut avoir lieu que si la force est dirigée vers l’origine.

114. Équation des forces vires. Multiplions les trois équations du mouvement respectivement par2rfx, idij, ^2dz; il vient en les ajoutant,

m ^2 f/x -r- 2 ^ dy -+- 2 dz^ = 2 (Xrfx -i- Yi/iy -i- 7Jz).

Or le premier membre peut être mis sous la forme 2(/xrf*x -I- ‘idyd-ij -c- 2dzd*z

(fi*

cl le numérateur n’est autre elioscqiiela dilfércntielle dc(/x*-+-dy'*-t-f/-*, c’est-à-dire, de ds*; on a donc

m — 2 (Xrfx Yrfy -*■ 7.dz) ,

et en intégrant et remarquant vitesse l'du point matériel,

m == -*' 2 /'(.Xrfx ^ rfy Zdz).

Cette équation peut servir à déterminer à chaque instant la vitesse en fonction des forces motrices X, Y, Z, pourvu que ces forces ne soient que des fonctions des variables x, y, z dont les dilTérentielles

DYNAMIQUE

dx, dy, dz nntrcnt sous le signe d’intégration et que le trinùme Xrfx -A- \dy -4- 'Ldz soit une diiïércnticllc totale exaete d’une fonction de trois variables indépendantes x, y, z, ce qui exige que l’on ait

dX^ (/Y(/Z dX^dZ

dy dx dz dy dz dx

ainsi qu’on l’a vu dans le calcul intégral (N"2i)0).Si.X, Y et Z contenaient d’autres variables que x, y, z, ou si ce trinôme n’était pas une différentielle totale exacte, l’intégration serait impossible, l’expression précédente serait eomplèlemenl illusoire et 1a vitesse ne pourrait être exprimée par une fonction de trois variables indépendantes x, y, z.

La constante arbitraire est déterminée si l’on coiinait la vitesse u, du point matériel au premier instant du mouvement; car en prenant l’intégrale depuis cet instant, on a

et par conséquent

mu* — »«v„* ’='! f (Xdx Y dy ■+■ Zdz) ,

l’intégrale étant prise depuis le point où la vitesse est v„ jusqu'à celui où elle est v. Cette équation peut être mise sous une forme plus simple; si R est la résultante de X, Y, Z, le système des forces X, Y, Z et — R sera en équilibre autour du point m; qn désignant donc par dr la projection du déplacement virtuel de — R eorrespondant aux déplacements dx, dy et dz de X, Y et Z, le principe des vitesses virtuelles donne

Xdx -i- Y dy ■+■ Zdz — Ri/r = 0, qui fait prendre à l’équation supérieure la forme mu* — muo* = 2 / Rrfr.

Cette équation , comme la première , ne peut être employée à déterminer la valeur de u que si Rdr est une différentielle exacte, c’est-àdire, si R est fonction de r, ce qui a lieu si r est la distance du point m à un point fixe et si R étant fonction de r est constamment dirigée vers ce jioint Oxc.

Cette relation entre la vitesse et la force motrice ne renferme aucune trace de la direction des axes coordonnés et eu est par conséquent entièrement indépendante; pour énoncer la propriété qu’elle

CIIAI'ilUC \lll.

exprime, il esl iiéccssiiii’c de convenir de (|neli|ue^ nouvelles délinilions. On iippelle force vive d'nn corps en mouvement, le produit de sn masse par le carré de sa viUwse, et ijnantilé d'uctioii élémentaire développée par une l'orce K, le produit de l’eirorl exercé par celle force et de l’espace inliuiinenl petit dr parcouru pur le point d’nppliealion de celte force, ou pur le point matériel, dans la direction de lu force. L’intégrale J'ihlr [irise entre deux époques du mouvemeul est par conséquent la somme des quantités d’action élémentaire , ou simplement, la (/uantilé d'arlinn développée entre ces deux é|ioques, et l’équation précédente exprime que, entre deux épu<fiies quelconques, r accroissement de force rive d’un point matériel est égal au double de la quantité d'action que produit lu force motrice.

Il est à remarquer que la force vive gagnée ou me* — mr,- n’est autre chose que le douille de la quantité d’action due à la force irincrlie; en effet, cette force d’inertie dirigée en sens inverse du mouvement dv

estw — > le chemin parcouru dans riutcrvallc dt avec, la vitesse t’

esl rdt\ la (iiiantité d’action élémentaire est donc m — vdt = medr et ' dt

la quantité d’action entre deux instants est /’mc(/r nu ^ «ir* — -mc„*;

l'équation des forces vives ne fait donc qu’cx|irimer l’égalité îles quantités d’action, fournies [lar la force motrice et [lar sa réaction dans un meme intervalle de temps.

La relation que l’un vient de trouver entre la force vive d'un [loinl matériel cl la quantité d’action développée [lar la force motrice est connue sous le nom d'équation des forces rires [loiir un [loinl matériel. On verra plus loin le [larti que l’on peut en tirer dans la mécanique a|ipliquéc il laquelle elle sert en quelque sorte de fondement; hornons-nous pour le inomenl à remarquer que comme l’intégrale du second memhre ne peut être obtenue que lorsi|uc la force est donnée en fonction de r, comme cela a lieu si U est une force dirigée vers un point fixe et fonction de la distance r à ce [loint, la quantité de fui-ec vive est alors représentée par une fonction de la distance r et loulcs les fois ([lie celle-ci passera [lar la même valeur, la force vive rcdeviemlra la même, ijucllc que soit la trajectoire [larcouriie. C’est dans cette propriété que consiste la conservation de la force rive [loiir un point matériel. Llle ne snhsislerait [dus si li dé|)cndail d’une autre variable que r, [luisque dans ce cas l'équation précédente ne pourrait