II

en siMis inverse «lu inouvcnicnl du point, et qui est par ennséqiicnt eontenne entièrement dans ee plan verlieal , ne saurait donc en faire sortir le point mobile qui déeriru eiieore une trajeeloire |•cnfcrnlée dans un plan vertical passant par la direction de la vitesse de projection. Prenons la verticale dn point de départ pour axe des Y et pour axe des , la projection de la direction de la vitesse initiale sur un plan liorizonlal (lig. !(0). Kn représentant jiar met II la masse du point matériel et la résistance de l’air et par a l'angle que forme avec l'axe des une tangente quelconque à la courbe on la direction de U, les deux équations dn inoiivemenl sont

m . - = — Il cos or m - - = — mq — R sin ot df’ ’ dt* ■'

et en reniaripiant que

dx du

cosot = -7-, Sina = -5Îi ds ds

elles deviennent

d*x R dx d*y R dtj

dl’ m ds' df' ^ m ds

Il a été reconnu par expérience que, pour un même corps, la résistance de l'air est pi'iqiorlionnelle an carré tle la vitesse et à la densité de l’air, dn moins loi-sque 1a vitesse est considérable eomnie celle d’un boulet lancé par une boucbci'i feu; si donc on suppose la densité constante

dans loirte rélenduc de 1a trajectoire , le coellicient ~ pourni être représenté par ui’‘, ft étant un facteur constant pour un inêinc corps, mais dé|ieiidanttlcsa forme et de la densité de l’air; lesci]uations du mouvement

1 ■ . . ds

ticvicnncnt donc , en observant que la vitesse e est cxprinicc par yj >

d*x ds dx d'y ds dy

di^ = "'‘dtd?’ di'^-^-^JiTt

Telles sont les équations simultanées qu’il s’agit d'intégrer. La première mise sons la forme

— — =t U fis

I)VMA»IQUK.

iloiinL' iiiiim'diaU'nicnt , en rin(égr<iii(,

log = — fis ■+■ log C, i/x = Ce~^iU (2)

■iOi.

Lu consluntc arbitraire C sc (Iclerniinc en remurqunnt qu’à l’origine dx

— est lu composnnie suivant l’axe des X de la vitesse de projection, e’est-ù-dire, hcosu; on a donc, en faisant s nul,

C, = k cos a.

La seconde équation dilTércntielIc n’csl pas intégrable immédiatement; mais si l’on introduit une nouvelle variable p, représentant la déri-

vée ou la tangente trigonométrique de l’inclinaison de la touchante

à la trajectoire sur l’axe des X, inclinaison qui varie avec le temps, on trouve

di/ = jidx ou

'li

d’on l’on tire en dérivant par rapport an temps,

f’i/ d'x dp dx -4 = » -r- -i-

(//* dt dt ’

en substituant a l‘^ur valeur ^1), il vient

dp dx

dt lit !/""W

et après avoir éliminé dt entre (2) et (3),

'Il

On a aussi

le radical devant être pris avec le signe plus, parce (|iie s et x croissent ensemble; si donc on élimine </x entre ees deux dernières, il vient •

-4- y* dp = — ^ e^^ds ,

aiAlMTllK XIII.

dans laquelle les varialiles ;i et x sont séparées. I.'iiitégratioii donne

C' se détenninc par la condition qu’a l’origine, ,s est nul et ;i ou </(/ ,

j^egal a laiig a, ce i|ui donne

C' = ;i|angof/i -i-tang’n + 7, log (tang « -i- |/l langui) h-

Kii éliiiiiiiant s entre les équations (l) et (5), on trouve

ft-dx :

On trouve aussi, en rcniarquaiil que dx est égal à — >

fx(/y =

f) ]/^i -H -h log (p -+- (/l -1- p- ) — 2C' l que

pdp

p ^1 -r- y;* s- log {p ■+■ j/lT -+- p*) — et enfin , eu reiiiplaeant dx par sa valeur (C) dans réquation

il vient p/afl dl :

dp dx

-^dp

[2f/ — /> |/ I (- p* — log (/) -+- p/ï -H y;")]*

Ou prend iei le signe miiiiiit du radical pour ijue le second inenilire soit positif eoiiiine le premier, attendu ipi’il résulte de l'éipiation (2) que tlx est toujours positif, cl de l'équation (â) rpie si dx est positif, dp est toujours négatif.

Ces trois dernières équations différentielles, lorsque les (piadralures seroiil (‘ffeiiuées , feront eonuaitre x, y et I en fonction de p, et des éliiiiinalions sueeessives eoiidniroiit à des relations entre *, I et y, l qui serviront à fixer à rliaque instant la position du point matériel. |Tiie élimination de p entre les valeurs de x et de y donnera aussi réquation de la eourlie. Ces différentielles ne simt pas inlégraliles eomplètemeni par les moyens connus; ou ne peut trouver leurs intégrales que par les mélliodes d’ap)>roximalion ; mais sans effectuer ees Jnlégratioiis , on peut ri-roiiiiaitre plusieurs pro|iriélcs de la trajee-

llYNAMIQUE.

U)ire. nciiiarc|uuiis d’abord que , comim; dp rst toiijour.s négatif', ainsi

(lli

(|n’ün vient de le voir, p ou prend des valeurs toujours déerois-

santes, devient nul (piand le point matériel passe par le point euluiinant C de la irajeetoire et au-delù de ce point prend des valeurs négatives (|iii déeroissent d'aulniit plus rapidement que l’on s’éloigne

davantage de l’origine, [luisquc dans l’équation (4), augmente avec s; d’où il suit que l’angle formé par la tuuelianle à la trajectoire

avec l’axe des X converge sans cesse vers la valeur limite — ^ et que

par eonséqnent ectte toueliante tend sans cesse à devenir verticale à mesure (|uc le point s'éloigne de l’origine. Si donc on consitlère une portion I) de la trajectoire fort éloignée du point C et si on rem])lace p par

— /»', P 1>^ dev iendra — |/ 1 -+-//’ qui convergera vers

— p’*, log (/J -a- |/l H- dev iendra log ( — // -t- (/ 1 //“) qu’on

peut mettre sons la forme log -en multipliant et divi-

saut par f/ 1 //* -a- ]> et ((ui converge vers log , ou — log -2p' -,

les équations (C) et (7) tendent donc à se réduire à

— dp P dp'

— — log ’Up' — ÜC'

ou plutôt à

dp' — dp’

udx = -- » ud» = — - .

parce (pic et log Ûp’ sont négligeables devant p'*.

On tire de là, en intégrant,

pjc = — ^-a-I), = — log D'//.

Ces équations apprennent que ipiand // converge vers l’inlini positif, rordonnéc y converge vers l’inlini négatif, tandis ijuc l’abscisse x

aiqirocbc indeliniment d’une certaine constante — qu elle ne iiourra * * “

jamais atteindre. I.a trajectoire se rapproche donc indéliniment de la verticale PQ menée à une distance finie AP = — de l’origine, et ipii forme par conséquent une asymptote à la trajectoire.

UIAI'ITKE XIII.

Si l’on divise les équations (fi) et (7) lueinbre à membre par (K), on trouve

y/j [2C' - P ^/i ^ - log {p H- i/r^T) r •

d’un l’on déduit lu vitesse v du point matériel,

V = (/I [2C' — ^/l H- — log (;>-♦- j/l -4- ;)*)] ’

attendu que l’on a

'Vêr^cf-

En supposant, eoinmc plus haut, que p soit une quantité négative très grande — p', eette valeur de v convergera indétiuimenl vers la

c’est-à-dire que la vitesse, à une grande distance de l’origine sur la brandie asymptotique, approche de jdus en plus de riinirurniité. Ce résultat s’accorde avec ce qu’on a vu (N° 110) pour le mouveinent vertical d’un point matériel, en tenant compte de la résistance de l’air. Si dans (6) et (7) on remplace C' par sa valeur mise sous la forme

et qu’après avoir fait les réductions, ou rende p égal à zéro , ce ipii revient à supprimer la résistance de l’air, ces équations dcvieniient :

dx— dp , (/y = pdp ,

et en éliminant p entre les deux intégrales, un retrouve l'équation parabolique du N“ 1111,

>/ = J-langa —

tiv:«AMiguK.

Quand le pniiil nialérivi csl lancé suus un angle fort pclilct (pie l'un ne considère <pic la partie ACll de la trajectoire placée au-dessus de l’axe des X , il est visible que ec point ne s’écarte que très peu de

la ligne horizoïitale; la dérivée p ou ^ qui représente la tangente

Irigonoinétrique de l’angle que forme avec riiorizon une toiirliante h la courbe, reste donc elle-inénie très petite dans toute celte partie de la trajectoire et les équations (fi) , (7) et (8) se réduisent aux suivantes, en se bornant au premier terme du déivelojipement de log (/> -t- j/l /)* ) OU log (I + p), c’esl-!»-dirc />,

. , pilp / — , — dp

qui ont pour intégrales :

Les constantes arbitraires se déterminent par la condition ipi’à l’origine les variables x, y et t sont nulles et que p devient taiig u; quant à C' qui a été déterminé précédemment, sa valeur se réduit, pour un angle de projection n très petit, a la suivante :

C'==tang(i

En éliminant p entre les deux premières intégrales, on trouve pour éi|uation de la trajectoire ,

y = ^U.ng a (« — 0,

ou plutôt, en observant que C—k cos a se réduit à k pour un angle a très petit,

On connnitra à chaque instant la position du point matériel dans la tnijectoire, en éliminant/; entre la première et la troisième intégrale ci-dessus. On trouve ainsi

1= (.( x = - logjtfit -+- 1).

(Xfc |i

CIIAPITRK XIV.

-Mouvorai'iit d’un point inatrricl assujetti à rester sur une courbe donnée. — l'ropriétés de ce innnveinent. Eipiatiun des forces vives. Principe de i.i ronservntioii de lu force vive. Force d’inertie longenliclle. — Pression contre lu courbe. Force centrifuge. Force cciitripcte. Cause de l’inégalité de la pesanteur. — Monreiuent d'un point matériel sur une surface donnée. — Pression sur la surface. — Mouvement d’un point matériel pesant sur une courbe. — Mouvement en ayant égard à la résistance de Fuir et au frottciiient. — Mouvcineiit il’iin p<iint dans un cercle vertical. Pendule simple. Isoclirunisine des oscillations. — Oscillations du pendule dans l’air. .Mesure de lu gravité an nioycii du penilnic. — Mouvement sur la c)cloïile. — La cycloïde est la seule ronrbe taulnclirone. — .Mouvement d’un point matériel pc.saiit sur une surface. — Pendule à oscillations coniipics. — Mouvement relatif sur une courbe en mouvement.

125. Mouvement d'un point mulêricl sur une courbe ou sur une surface données. — [.nrsinriiii poiiil niatûripl m sutiinis à rnclion tic fcrlaiitfs forces, est asstijclli n tlcnietircr sur tinc surface ou sur imc cotirhe (loniiccs, il' exerce .à chaciuc iiisUinl tmc ecriaiiic pre.ssion iiornialc cniilrc la surface ou la courbe cl celles-ci up|)osent à leur tour au point luatéricl une cerlaiiie ré-sislaiicc , qui u’est mitre cliose que la réaction de la pression et lui est par eonsétpieni égale et (lircctcnient opposée. En rcprésenlant celle résisUtnee inconnue |iar ]\ dirigée noriualcincnl a la surfais ou à la courbe , le point matériel se inctlra en niotivcinciil de la inénie manière que s’il était libre cl qu'une force IV fût joinic ati.x forces X, Y et Z. Si I, in et n sont le.s angles (|iic forme N atee les axes, les composantes totales des forées suivant ces axes seront

X X eus 1 1 Y -t- .X cos lit . Z X cos u ,

l>Y>'AMUjrK.

Cl «Il mira |i«iir les ciiualions du moiivoiiicnl du |)«iiil inalcricl cousidère fominc libre.

- = X N eus l , ni -j^ = Y N

m y-y = Z -t- X eus « (1)

Considérons en [ircinicr lieu le inouveiiient sur une courbe donnée. Il rmidr.i, aux trois équations |trcecdcnlcs, joindre les deux équations de la courbe dans l'csimee, ainsi que les deux relations suivantes :

— cos ( -i-—'- cos m + - , cüs w = 0, eos l H- 005*111 -t- cos’n = I ....(2) ds rf.s

(lui cx|iriiiienl que la force X est nornialc a la courbe et iiiie les angles /, m cl 11 appartieniienl à la même droite. Ces sept équations simultanées, convenablement eonibinées et intégrées, .serviront à déterminer les valeurs des sept (|iiantilés x, »/, z, t, m, 11 et X en foiietioii de /, c’est-à-dire, qu’elles feront coniiailre à eliaipic instant la position du point matériel, la direction de la pression qu’il e.xerce sur la courbe et la valeur de celte ]iression.

124. PrüpritdvH de ce miiurement. Kqualkin de lu furce vive. Principe de ta conservation de lu force vive. — Ces calculs ne peuvent être elfeclués ipic dans elimpie cas pris en particulier, c’est-à-dire, ipiand la forme de la courbe cl la valeur des forces motrices sont connues; cependant Ionien laissant à ces équations leur généralité, ou en déduit certaines propriétés communes à tous les inouveineiits sur une courbe.

Multiplions rcspeetivcnirnt les équations (I) par dx, dy cl dz et ajoutons-les ensuite meinbre à inenibre; il vient

/dxd'x du d'y dz d'z\

W ~*''di ~dr'^7ri~di)

— - Xdx \dij H- y.dz X (dx eos l -4- ilij cos m -o dz cos ;i).

Si l'on observe ipie île la formule

ds' = dx' -t- dy' ■*- dz'

011 déduit

dsd's — dxd'x -t- difd'y + dzd'z,

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ClIAPITIIh XIV.

(!l (jtroii ail égard à la prcmièr»' des éi|uatioiis (2), ré<|iinliim précédeiilc se réduit îi

= \dij Z(/i ,

cl l’on Iroiixccn intégrant,

un ))ir’ = 2 /■ (.\</x Yf/y -i- 7,(1:) C ,

et en prenant l'intégrale depuis le point on la vitesse était r„ jnsiprà l•ellli où la vitesse est r, il vient

mt!* — mr„* = 2 f\dx -+■ Ydij -+- 7,dz)....(^)

\dr \dy 7.dz représente ici, eoniinc au N" 114, la ipiantité d’aetion élémentaire de la force inotiice et l'équation précédente appelée équation de la force vive, exprime que raeeroisseinent de force vive entre deux positions est égal au double de la quantité d’aetion de la force motrice entre ces deux positions.

Kllc fait aussi connaître la vitesse en un point queleoni|uc de la courbe, pourvu que \dx -t- Ydy ■+■ 7.dz soit une dilfércntielle exacte, circonstance qui se présente toujours si les forces motrices sont des fonctions d’une ou plusieurs des variables a:, y, z ou si elles sont constantes; car nu moyen des deux étjiiations de la courbe, on pourra éliminer x, y, dx, dy, et la dilférenliellc qui restera à intégrer sera de la forme yîf/j. Cette équation pourra alors servir à fixer à chaque instant la position du point matériel , car on en tirera la valeur ilc t) eu fonction

• 1 1 de s, cl comme v = — t il viendra

!fZ , d’où dl

or, on sait i|ue

SI donc on tire des deux équations de la courbe les valeurs de-^et de

en fonction de r, la valeur de ds prendra la forme

ds = i 'fzdz ,

iiv.NA.Miijii;. ;M5

la (liirémilii-llc (nrccdciitt' tloviendra

■IfZ

cl une i|iiadraliirc fera eoiuiaîlre la relation entre le temps l cl l’ordumiée z du |)oiiil de la coiirhc. Cuiunie dl est toujours positif, il faudra prendre celui des deux signes, qui rend le second nieiuluT positif.

Lorsque les valeurs de X, Y, Z sont telles que \dx-h \dy -i-7.dz est une dilféreutiellc exacte d’une fonction de trois variables x, i/, r, considérées eoiuiue indépendantes, ce qui suppose, comme on l’a vu dans le calcul intégral (X“ 250), que l’on a

d\d\ dJi dZ (l\ dZ

dif dx’ dz rfx’ dz dl/’

l’équation (5) prend la forme

»»ie* — mr.* = 2^ (x, i/, z) — 2y («, l>, c)....(.5)

y (x, IJ, z) <lésiguanl rintcgrale de Xdx -4- \'dy -t- Zilz cl a, h, c, les valeurs de x, ij, z correspondant au point où la vitesse est u,. On voit que dans ce cas, la valeur de la vitesse s’obtient sans faire usage des équations de la courbe et qu’elle est donnée en fonction de x, ij, z et de a, b, c, e’est-à-dire, en fonction des coordonnées du point de dé|)arl cl du point d’arrivée sans tenir compte de la courbe ilécritc. La vitesse redeviendra donc la même toutes les fois ipie le point matériel retiendra nu même endroit, quelle que soit 1a courbe qu’on lui fasse décrire. C’est en cela que consiste le principe de lu conserruliim de la force vive. Mais si pour intégrer Xdx ■+■ \dy -t- VjIz, on fait usage des équations de la courbe, c'csl-iwlire si elle n'esl dilférenticllc exacte qu’en considérant x et ÿ comme fonctions de z, la vitesse ne reprendra plus en général la même valeur quand le point matériel repassera nu même endroit, quoique l’on ait encore

wr’ — mt>„* == 2 y ycrfî =• \z ,

e’esl-à-dirc , quoique v soit encore donné en fonction de en effet, comme on peut exprimer en fonction de z un arc .s de la courbe que le |mint est assujetti à décrire, on pourra poser

z = fs, yï = y(/s) = F.S, dz = f'sds et par conséquent

mr* — ouv* .= 'i fVef'edn = 0*;...((i)

CHAI'lTllt XIV.

‘iU

II) vilcssc pourra donc s’exprimer en Ibnetion 0 de Tare parcouru, et eoininc celui-ci est toujours croissant , on voit que v en général changera eoustninnicnt de valeur. Cependant dans ce cas coinnic dans le précédent, si le point glisse dans les deux sens entre deux points donnés s' et s" d’une même courlic avec la même vitesse initiale v„ et les mêmes forces, la durée du passage exprimée par l’intégrale ilélinie de

tirée de l’équation ((>) et prise entre les limites s' et s" ou s" et s', sera la meme dans les deux sens.

Quand les forces X, Y, Z sont milles, il vient

mr^ = mv„-, ou i? =

qui apprend que, lorsqu’un point matériel se meut sur une eourlte, en vertu d’une vitesse initiale et sans force motrice, la vitesse reste constante.

Si X(/x -t- Ydy Zflz n’était pas une dilTérenticlIe exacte, c’est-àdire, si X, Y, Z étaient fonctions de varialdes autres que x, y, z, l’équation de la force vive (3) ne pourrait plus scrv ir à déterminer la vitesse ou du moins, devrait être mise sous une autre forme.

En désignant par ils rélément de la courbe paicouru pciidunl l’instant dt, l’équation (3) peut être mise sous la forme

mais X-r Y ds

.dz

Z -J- est la somme T des composantes de X, Y, Z

dans le sens de la tangente ou la force tangcntiellc, puisque--^ sont

les cosinus des angles formés par la tangente avec les axes; réqualion devient donc

me* — «ir„* = 2 /'Ti/s,

dans la(|uelle il est visible que Tds est la quantité d’action élémentaire développée par T jiendant rinstant dt. En désignant ]iar R la résultante de ,\, Y, Z, on peut aussi, d’après ce ipi’on a vu au N" Hi, mettre l’équation (3) sous In forme

wir* — Mir„* = 2 y lidr

DYNAMIQUE

Ut 011 un lire, comme mi 1 1 i, la consi'iniciice ([uc le lU'iiieiiic de la coiiservalioit des forces vives sc vérifie toutes les fois ijue la foree motrice K émane d’un point live et est fonction de la distance r ii ce (xiint.

1^5. Force d'inertie tunaeiilielle. — On sait que — m — > — in -r^ >

' dl- drd‘z

— représentent les forces d’inertie de la masse m dans le sens

des trois axes. Si on prend les composantes de ces trois forces

suivant la tangente, ce qui se fuit en les multipliant respeclive-

dx du dz , I ■ ...

ment par ^ et et qu on les ajoute, il vient pour la force

d'inertie taiigeiitielle ,

dxd-x -A- dijd^y dzd^z

qui SC réduit à — m -z-r' *> cause de la dilléreuliclle de dt*

ds^ = dx* dy* -A- </:*.

Cette expression de la force d’inertie taiigeiitielle est la même (pie celle qui a été trouvée (.V" 1 18) pour le cas du mouvement libre. Comme la force d’inertie cstiiiuie dans une direction quelconque est toujours ('■gale cl opiioséc à la force motrice estimée dans la meme direction, il faut ipic la somme des coin posa nies de X, Y, / suiwiiit la tangente

soit égale à C'est en effet ce (pic l’on trouve en différeiitiaiil

les deux membres de (3); car il vient

mvdv == X(/x -H Ydy -i- Zdz ,

et en remanpiaiit que ü est égal a -j- »

d^s dx dy dz

in -r- = X -Z 1- V —f -t- Z y)

dl- ds ds ds

dans laipiclle le second membre est la force niotrice taiigeiitielle T (X“ 124). Üii conclut de celte équation ipic le point matériel se meut le long de la courbe de In même manière qu’il sc moinrnit le long

CIIAPITKK XIV.

tl’linc droite dans le sens de ltK|aeIlc agirait une l'orcc égale à la force tangcnliellc.

12(>. Pression contre ta courbe. Force centrifuge. Force centripète. Cause de l’inégalité de la pesanteur. — Pour déterminer la pression du point materiel contre la conrhe, au lieu de résoudre immédiatcincnt les équations (I) et d’en tirer les valeurs de IN, /, ni, n, nous ferons d’abord subir à la force motrice une transformation qui conduira à une expression plus siinjile de N et servira en niénic temps à démontrer nue propriété im|»ortante de cette réaction. La force motrice dont X, Y, Z sont les trois composantes, peut être remplacée par deux forces T et P, l'iinc dirigée à ebaque instant suivant la tangente, et l’autre suivant une normale à la tangente, la première, comme on l’a déjà vu , est donnée par

quant à la seconde, on l’obtiendra en remanpiantquc les composantes de T et de P suivant les axes doivent reproduire les forces X, V’, Z, c’est-à-dire, que l’on a, «, b, c étant les angles que forme P avec les axes,

T P cos a = .X , T ^ -♦- P cûs 6 = Y, T — -h P cos c = Z, ds ds ds

cos’ O -+■ cos* b -4- cos* c = 1 ,

qui feront connaître P, a, b, c. Concevons donc le point matériel mû par les forces T et P ; les équations du mouvement deviendront

d*x ,„dx „ ,, , d*i/

ni . - - == r -r -t- P cos « -»- N cos l, m = F -p. -♦- P cos o -e .X cos ni, dP ds dp ds

iPz dz

ni -rz = T -4- P cos c -4- N cos n , dP ds

d’où l’on lire les composantes de la réaction N suivant les axes :

N cos l = ni T , P cos a , N cos ni = etc.

dp ds ’

et en remarquant ipic la force tangcntiellc T est égale à sa réaction iPs

ni -f-T . et que dP

dx dsiPx — dxd-s lis d.s*

DYNAMIQUE

elles deviennent, en remplaçant l’aetion .N de la eoiirhc contre le point matériel , par la pression égale et opposée N' du point matériel contre la courbe, et t, m, ii par leurs suppléments l', m', lesquels ont des signes différents des premiers,

N' cos l' = N' cos m'= N’ cos «' =

il» ,/dx\