CÈ
I’ cos a ,
P cos 0 ,
P cos c.
Il résulte de ces valeurs que les trois composantes de N' suivant les axes SC composent des trois forces
augiucntées respectivement de
P cos a , P cos h, P cos c (8)
c’cst-inlire , que N' est la résultante des deux forces dont (7) et (8) sont les composantes. Or ces dernières (8) représentent la coiiiposanlc normale P de 1a force motrice; quant aux trois autres (7), elles sont évidemment les composantes suivant les axes d'une force unique
-îv/['0|'-['a9]'-KÎ)l'
faisant avec ceux-ci des angles ayant rcspcetiveuient pour cosinus ;
zM. ili.
Si l’on rapproche ees valeurs de celles qui ont été trouvées dans le
CliAI'ITRË \iV.
cours (l'analyse pour le rayon tic courbure p d’une courbe et sa direction, on reeonnaittjuc cette dernière force est dirigée à clia({uc instant dans le sens du prolongement du rayon de courbure de la courbe sur laquelle glisse le point materiel et ipie cette force est représentée par
Il résidte de là que la pression totale N' qu’éprouve la courbe est la résidtantc de la composante normale P de la force motrice et d’une
deuxieme force — - dirigée dans le prolongement du rayon de courbure.
Cette seconde pression tpii ne déitend (pic de In vitesse du point matériel cl nullement des forces motrices, se nomme force cciitrifmje comme dans le mouvement d’un point libre, cl la pression totale qu’éprouve la courbe est la résultante de la force centrifuge du point matériel et de la |)ression duc à la force motrice. La réaction de la force centrifuge, e’cst-ii-dirc, la résistance qu’iq)pose la courbe, se nomme aussi force centripète et représente la pression de la courbe contre le point matériel, duc a la vitesse de ce iioinl.
Lu valeur de la force centripète ou de son égale, la force centrifuge, s’obtient sans ealeul en reman|uanl ipic si o est la vitesse avec laquelle est parcouru rélément u\> ou la tangente al de la courbe (lig. !)1) et £ l’angle de courbure Ihl’ , lorsipte le point matériel arrivé au point b, passera de l’élément ah sur l’élément Le, cette vitesse se décomposera en deux, la première dirigée suivant 6c et égale à reosf, qui n’est autre (pie la vitesse lunijeiilielte , et la seconde iierpendieulaire à 6c et égale à t?sin£, renfermée dans le |ilan de ah et de lie ou dans le |>lan usculatcur et par conséquent dirigée en sens inverse du rayon de courbure. Celte seconde vitesse est détruite a ebaipie passage d’un élément de la courbe sur l’élément suivant, e’esl-à-dire, pendant le temps dt, et comme toute vitesse est engendrée ou détruite par une force, on voit ipie le passage d’un élément sur un autre donne naissance à une force dite eenlripèle, dirig(‘e vers le centre de courbure et qui a pour mesure le produit de la masse par la vitesse engendrée ou détruite pendant ruiiilé de
. . .. Miesins iiivs .
temps, eest-a-dire, [lar j-^ — — "/j" ’ courbure
ItVNAMlyUK.
PsI i‘C|ir('scnlc par ; l'exprossion <lc la r<)iT(> rciilri|ii'l»‘ ri par
(■niisr(|iicnt cellr oc la force eoiitnruRr oevicnl donc- • — i on
(Jiianl à la ]irrniicrc composante do la Ailesse, ou roosf, coninie l’angle s est inriniment polit, cosfcsiôgal ii l’unilc et la vilcssi? se rddiiit à v, ce qui prou\e que la vitesse du point inalériol dans le sciis de lu courlio ne ehange pas de \aleur au passage d’un élo'inenl à un autre, c’est -tà-dire, i]ue la >itessc reste conslaiilo, on supposant liicn entendu, qu’aucune luroc inolrico n’agisse sur le point matériel et qu'il ne SC meut qu'on vertu de la vitesse acquise. C’est ce que nous avions iléj:'i démotitré au N“ 1^4.
Il résulte de lu valeur de la force centrifuge cpi’oii vient de trouver, que si un point matériel de masse iii décrit d’un mouveiueut uniforme un oor»'lc de rayon r, et achève sa révolution dans un temps /, la force centrifuge sera représentée par
U. (tay
c’est-à-dire, qu’elle est proportionnelle au rayon du cercle décrit et inverfement proportionnelle nu carré ilu temps de la révedulion. Cette expression fait eonnnitre en kiiogranimes la tension (pi’éprouve un lil portant à l’une de ses extrémités une masse m (pie l'on fait tourner dans un cercle, taudis (jue l’autre extrémité du lil est lixe; il suflit de remplneer r par la longueur du fil et I par la durée d’une révolution exprimi'o en secondes; quant à la masse, on la reiu|)larera par le nonilire de kilogrammes qu’elle pèse, divisé par g. On fait abstraction ici de la jiartie de la tension du lil duc à l’action de la pesanteur de ni.
Le mouvement de rotation de la terre autour de son axe engendre dans un corps placé à la surface de la terre, une force centrifuge ipii modilie sensildement l’intensité de la ])esanteur cl fait que celle-ci n’est pas la même dans tous les points de la surface; en clTet si r est le rayon de la terre supposée sphérique, PP' étant la ligne des pôles (lig. !)2), un ludnt matériel placé en \ décrira pendant le temps t d’une révolution, une circonférence de ccitIc avant la iicrpcndiculairc AH sur PP' pour diamètre et ce mouvemeiil circulaire donnera lieu à une force centrifuge dirig('-e dans le pndongement AO de AH,
aUl'ITIIK XIV.
(•giilc à --1 r’ tHaut le rayon AO', expression ipii lievieiil
r sin 0 ,
— î en re])résentant par 0 l’anj^le AOP, c’cst-à-ilirc, la
ilistanee angulaire AP du point \ an pôle on le conipléincnl de In latitude; or le poids du point nintéricl A, e’e.st-à-dirc, la force qui le prôeipile \ers le ecntrc de la terre, est dirigé suivant le rayon AO et il est visilile qu’il est diininné de la composante de la force een- Irifnge estimée suivant .\l); si doue on représimtc par G ce que .serait la graxité sans la rotation de la terre et par j/ ec que devient la graxilé ipiniid il y a rotation, on aura (lonr le poids iixj de la masse)» an point A ,
lllfl = tllG — Ar*)» -
r sin» 0
on, en divisant par ni,
. r sin* 0
La gravité )/ prend sa moindre valeur lorsque sin 0 devient l’unité, c’cst-à-<lirc, sous l’équateur; on trouve alors que la force centrifuge
forme -i- de In gravité observée. Si on voulait connaître la vitesse de
rotation que licvruit avoir la terre pour ijuc la gravité fut nulle sous réqnaleur, il faudrait faire )/ égal à zéro, rem|)lacer sin 0 par riinilé et tirer de l’équnlion la valeur de. I. On trouve ainsi, (pic la vitesse de rotation devrait être 17 fois plus rapide.
Mouvemenl d'un point matériel sur une surface donnée. — Passons an cas où le point matériel animé des forces X, Y, Z, est assujetti à demeurer sur une surface donnée; aux trois éipiations (1) du mouvement trouvées (N" I2ô) devront être jointes l’équation de la surface
et les trois suivantes, dans lesquelles p et o représentent et
' dx dij
eos l = -
eus »i = —
DYNASHfUE.
(|ui expriment rpic lu réuetiun N est dirigée suivant la nurinnie à la surface, les radicaux étant jn-is avec le signe supérieur ou avec le signe inférieur suivant que la normale est prolongée vers le eèté concave ou vers le célé convexe de la surface.
Ces sept équations serviront , comme plus haut, à déterminer or, i/, Z, N, é, III, II, eu foucliou de l et par conséquent, à trouver toutes les circonstances du mouvement. La courbe que décrit le jioiut matériel sur la surface se trouve de la manière suivante ; en éliminant N, /, III et II entre les trois équations (1) on trouve
/ iPx
\li*
= .\ pZ ,
= Y -V- ifZ,
et eu reui|)laçant il*z par sa valeur tirée de l’équation de la surface, valeur qui peut être mise sous la forme (N" 118 du traité d’analyse)
r/*î t= pd*x -V- qd*t/ + rdx* -t- ’isdxdij -v- fdy* ,
il vient
d*ii , dx I)
dt
dl^
~dt*
<‘iy-
dx di/ dt dl
•Si l’on intègre ecs deux équations différentielles simultanées en x, y et l après .avoir remplacé X, Y, Z, p, y par leurs valeurs connues en t, X, y, on obtiendra x et y en fonction de t et rélimiiiation de cette dernière variable conduira .à une relation entre x et y qui représentera la projection de la courbe eliercliée sur le plan .\Y. En éliminant succcssivcmeut x et y entre cette équation et celle de la surface, on trouvera les projections de la courbe sur les deux autres plans coordonnés.
Il est visible que les eireonstauces du mouvement du point matériel resteraient les mêmes si on l’assujettissait .’i ilcmeurer sur la courbe qu’on vient de déterminer, au lieu de le faire glisser sur la surface;
CIIAPlTIir. XIV.
cil dcsi^mint donc par v la vitesse à une époque quelconque, par K la résultante des forces inolriccs cl par ilr la projection du déplacement virtuel de U lors(|uc le point matériel avance de ds dans le sens de la trajectoire, c’est-à-dire, la projection de </.< sur U, on aura comme au (N” {'2i).
»ir* — me„* = 2 /' Rdr ,
ou, en reprcsciilant par T la composante de K dans le sens de la tangente à la trajectoire.
Ml’* — Mtv* = 2 J'Tds.
On conclut de la preniicrc de ces valeurs, 1"qiie le principe de la conservation delà force vive subsiste dans le moiiveincnt d’un point matériel sur une surface, si la force H est dirigée vers un point lixe et est fonction de la distance r à ce point ou si X(/x -i- \dy -t- 7.dz est une dillércntiellc exacte d’une fonction des trois variables imlépendantes x,y,z\ 2“ que la vitesse reste invariable si le point n'est soumis à l’action d’aucune force motrice cl 3" que la vitesse reste aussi invariable si la force motrice R est partout normale à la surface, puisque rélcincnl du est alors |)crpcndieulaire à R et que su projection dr sur R est nulle.
128. Prcsnion sur la surface. — Les trois équations difîcrcnticlles du mouvement du N" 123 font aussi connaître la ]iression du point matériel contre la surface; car si on multiplie respectivement les deux membres par cos /, cos m, cos h et qu’on les ajoute membre à membre, en remarquant que
cos* l -t- eos* M -t- cos* >1 == 1 ,
on trouve pour la pression N' du point contre la surface, pression qui est égale à celle de la surface contre le point,
N' ~ — (X eus / -e Y cos m -+- Z eos h)
\(fl* </(* (/(* )
(lelte pression se compose de deux parties, la première
-1- X ( — cos () -t- Y ( — cos m) -i- Z { — eos n)
représente la somme P des composantes de X, Y, Z ou la composante de R suivant la normale à la surface , prolongée dans le
DYNAMlgUt:.
2ar>
sens (le la pression du point contre la surface, puisque (-t-cosf), (-♦-cosm), (-4-cosn) dclerinincnt la direction de lu pression de la surface contre le point. La seconde partie mise sous la forme
fl^T tl^H
JP (— cos 0 + ^ «"S «') •+■ -Jf, (— cos n)
composante de la force d’inertie suivant la direction de la pression contre la surface. En y reinpla(;ant cos l, cos m, cos ;i |)ar leurs valeurs (N“ 127), elle devient
(l*x dhj tr-z dl*
ou, en ayant ('gard à la valeur de d^z donnée plus haut (N“ 127),
I rdx^ H- ‘isdxdy ■+■ tdy*
or, si on désigne i>ar p le rayon de courbure de la section normale de la surface ipii a la même tangente (jue la trajectoire , on a vu dans le cours d’analyse (.\“ 151) que l’on a
^ r cos* a -I- '2s cos a cos 'i -¥■ t cos* p rdx* -v- '2sdxd<j -v- Uhj* ’
) représente la
la seconde partie de lu valeur de devient donc
I ds* mt*
et l’on trouve cnnn
c'est-à-dire, que la pressiuu totale N' du point contre la surface est rcitrésenléc par la pression 1’ due aux foires motrices, augnicnli'-e d’une autre pression qui ne dépend que de la vitesse et de la courbure de la surface dans le sens du mouvement. Cette seconde pression (*st une véritable force centrifuge engendrée par le mouvemement sur la surface, ayant une valeur analogue à celle qu’on a trouvé'c dans le cas du nioiivi^ ment sur une courbe. On peut donner à l’exiircssion de cette force centrifuge une autre forme ; si p' est le rayon de courbure de la trajectoire décrite par le point matériel sur la surface, trajectoire dont on a trouve plus haut les équations (N” 127), et si on désigne par 0 l’angle
CIIAnillK XIV.
•À'ii
compris cnlrc le plan osciila'.eur en un poinl (j, y, z) lic celle courlic el la normule à la surface, oii sait «pie l’on a (voir le traité d’analvse (N- 131),
p' = P eos 0 ,
et la force centrifuge devient
inv*
— cos^
c’est-à-dire que la force centrifuge qui presse le poinl matériel contre
. , ^ me'* ,
In surface est égalé a la force centrifuge — ~ telle «lu’clle résulte du
mouvement du poinl matériel dans la courlic qu'il décrit sur la surface, multipliée par le cosinus de l’angle formé par le plan useulaleur de la trajectoire avec la normale à la surface.
Ce résultat devient évident si l’on remarque qu’en supprimant pur la pensée la surface et en assujettissant le |)uinl matériel à demeurer sur la eourlie décrite , les circonstaiices du mouvement resteront les mêmes; or le mouvcnicnt cuniligne donne lieu à une force mr*
centrifuge — dirigée dans le sens du ravon de courbure de la Irajcc- P
toirc, et si l’on décompose celle force, en deux autres, l’une normale à la surface cl la seconde tangenticllc, la première seule déterminera une pression sur la surface, qu’il faudra ajouter à celle qui provient des forces inotriees; en rc[irésentanl doue jiar 0 l’angle formé [lar le rayon de courbure de la trajectoire avec la normale à la surface, eclte
composante normale, sera, comme plus haut, — ~ eos 0.
, , , mt>* . mv- . ^
La seconde cotnpo.sanle de — , qui est -j- sin 0, donne lieu a une P P
reniaripie iiiiportanle. Cette composante étant évidemiuenl renfermée dans le ]dan passant par le rayon de courbure de la trajectoire, el par la tiormalc à la surface, seni elle-même noriiialc à la trajectoire el nimiiie elle est perpendiculaire à la normale de la surface, elle sera à la fois tangi’iile à la surface el perpendiculaire à l’éléinent «pie décrit à ebatpie instant le poinl matériel. Cette coinposaiitc de la force «•enlrifiige est, comme toutes les forces d’inertie, «'■gale à la coinpo.sante des forces motrices estimée dans celle direction. Il suit de là , que si l’on décompose la foire motrice U <|ui agit sur le point matériel en trois autres, l’uiic T dirigée suivant la tangente à la trajectoire, la
DÏNAMKJUB. '2-2:>
seconde I' dirigée suivant la norinalu à la surface et la troisième Q perpeudieulaire aux deux autres, on devra avoir
mo*
sin 0 ==Q.
La eoinposanlc transversale Q est nulle, i“ lorsque le point niatériel n’est niù par aiiriinc force motrice ; 2" lorsque la force motriee est conslaiiimcnt normale à la surface ou lorsqu’elle se réduit à P; 5" lorsque la force motrice est dirigée suivant la tangente à la trajectoire, c’est-à-dire, lorsqu’elle se réduit à T, comme cela arrive lorsque ces forces proviennent du frottcmenl eontre la surface ou de la résistance de l’air; et 4” enfin lorsque la force motrice est réduite à T et P, c’est-à-dire lorsqu’elle se compose à chaque instant d'une pression et d’une force langentiellc. Dans les difîércnts tats qu’on vient d’énumérer, on doit donc avoir
mv* .
— sin 0 = 0,
et par conséquent
sin 0 = 0, ou 0 = 0,
ce qui indique que lorsqu’un point materiel glisse sur une surface en vertu de runc des forces qu’on vient d’indiquer, la trajectoire est telle que l'angle formé par son plan oscillateur avec la normale à la surface est constamment nul, ou en d’autres termes, que le plan oscillateur de 1a trajectoire est partout normal à 1a surface. Une semhlahic eoiirhc tracée sur une surface, jouit de jiropriétés importantes. Elle est (voir le traité d’analyse, N" Ô22) la plus courte ou la plus longue i|u’on puisse tracer sur la surface entre deux de ses |H)ints; clic est aussi celle que l’on obtiendrait en applii|iiant sur la surface un fil tendu. C’est aussi la courbe suivant laipielle on pourrait nppli(|iicr sur la siirfaee sans diiplicatiirc ni dcchiriire, une bande d'une largeur très petite. Enfin pour la surface de la terre, c’est la ligue que l'on y tracerait, en prenant un alignement avec des jalons verticaux.
MoiiVfiiient (l'un jmliil tuutéricl pcmnt sur une courbe. — Appliquons les principes précédents au mouvement d’un point matériel sur une eoiirbe donnée, la gravité étant la seule force motrice.
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aiAriTnï xiv.
Si rmi prend Taxe des Z vertical, les trois équations du niouvement se réduisent à
dt‘
dl*
7HIJ -h N cos n
et l’équation des forces vives devient
Il étant la valeur de z correspondant à la vitesse initiale
Cette éipiation fait connaître la vitesse du [loint matériel en cluupie point de la eotirlu'. Pour eonnnitre su position à une époque quelconque, on remplacera 0 par ce qui donnera
ds
Jt
-\-'ig{z — /i), d’où
et comme on a
ds
