I.’équation

mv* — = '2iiiii (z — h) ,

ny.NAMintJE.

'l'ïl

inilôpcndnmmcnl du principe de lu conservation de la force vive qu’elle exprime, fait connailrc plusieurs circonstances du niouvciucnl. On voit d'aliord que raccroisscincnt de force vive d’un point materiel pesant glissant sur une courbe donnée, est indépendante de la forme de celle courbe et qu’il est égal au double du poids 'img du point matériel multi|>lié par la hauteur verticale : — h de la ebute, ce produit rcpréscnlatil ici le double de la quantité, d’action de la pesanteur. La même, équation, mise .sous In forme

apprend aussi que la vitesse acquise en glissant sur la courbe est la même que si le point matériel était tombé verlicalemeiil d’une bau- Icur Z — h avec une vite.sse initiale car on sait que si uu point matériel pesant tombe verticalement avec une vitesse de ))rojcclion r„, la vitesse à toutes les hauteurs : au-dessous du point de départ est donnée par

V = -t- 'Jgz ,

et si le point de départ a lui-même h pour ordonnée, z doit être remplacé par z — h el il vient

Un voit par là que si un point matériel est lancé au point C (fig. itô], suivant la tangente CT à la courbe CH avec une vite.sse r„, il glissera le long de la courbe de manière que 1.1 vitesse aux dilTércnles hauteurs passera par les mêmes valeurs que s’il avait été lancé verticalement uu point C avec la même vitesse initiale. La hauteur à lu(|uellc il s’élèvera en glissant le long de la courbe est donc la même que celle à laquelle il se serait élevé verticalement. Il suit au.ssi de là que si un point matériel se meut sur une courbe quelconque ACCH et (|u’on l’abandonne à l'action de la pesanteur en A, ce point matériel, après être de.seendu le long de la branche AE, remontera le long de la branche EH jusqu’au point H pl.icé au niveau du point A, pourvu que la eourbe soit continue, c’est-à-dire, pourvu que deux tangentes consécutives forment partout un angle inrmiment petit; car si E est le point le plus bas de la courbe , on a vu que lorsque le point maUTiel arrivera en E, il aura acquis la même vitesse que s’il était tondjé vcrticalemenl de F en E; il montera donc dans la branrhe ascendante EH avec celle vite.ssc <le projection el .s’élèvera

CH.U'ITIIK XIV.

jusqu'au nivoaii 4I11 point I' ipii est le même (pie celui du point A. Apri?s s'iître arrêté eu II, il redcseeiidra pour renioiiter dans l’aiilrc liraiielie jusqu'en A, eu conliiuiaut indêriiiiinciit ce mouvement d'oscillation.

Il est à rcinaripicr que, d'api-ès ce qu'on a vu au N" I2i, la durée de l'oseillation de A en B est la même que la durée de l'oscillation <lc B en A et que le temps employé ?i descendre de A en E est le inéine ipie relui cmplojé il remonter de E en A.

Si la courlic était entièrement l'ermée cl que le point matériel fut lancé au point C .suivant la tangente CT avec une vitesse supérieure à celle nécessaire pour monter jusqu'au point le pins élevé (1 , le point matériel dépasserait le point eulminant C pour desuendre le long de la branche GAE, remonter ensuite la brandie ascendante ECBG cl conliniier indéliniinent ce iiiomement de circulation.

En dierdianl la courbe suiianl laipielle devrait descendre un point

matériel pesant pour ipic la vitesse c dans le sens vertical ou ^ fut constante, on trouverait sans peine pour son équation

= !)cV*.

150. Momement du pniiil vintériel en uyanl étjard à la rvsislanr.e de l'air el au fruHemenl. — Si le point matériel jiesanl se moiivait dans un milieu, il raudrail avoir égard à sa résistance et les é(|uations du mouvement devieiidraieiil, en supposant la résistance proiiorlionnelle au carré de la vitesse cl en observant que celle l'oree est toujours dirigée suivant la tangente el en sens inverse du moiivcinent,

(/*x (/.r d-tj dy

tu -T— = A eus / — nr* -7- > m = N eus tu — ne* — - >

dd d.s dl* du

dH „ , dz

dt- ■’ ils

En les multipliant respectivement par dx, dy el dz , on trouve virdr = iiiyilz — nv^ds.... (1)

il cause de

eos lilx ■+■ cos iiiily -4- cos ndz = 0 , ils* = dx* -4- dy* -4- dz*.

t)n voit que le principe de la conservation des forces vives ne subsiste plus, allciidii que b; second membre n’est pas une différentielle cxncle.

llYNAMKjllK.

tl’linc l'oiiclioii (Ips trois varialiles indcpcndanlrs r, i/, î; roppiidaiil, comme la courbe est donnée par les deux équations

x = fz, 1/ =

on tirera de eellcs-ei les valeurs de et ~ > au moyen desquelles

(Iz (Iz

on exprimera (h en fonction de i ,

et l'équation (1) dev iendra, en remplaçant e* par la variable v ,

ui(Ui±'2nu^^ 1 ilz — ‘■IiiKjilz

qui est une équation dilTércntielle du premier degré et du premier ordre , dont l’intégrale donnera u et par suite 1a vitesse r en fonetion

il»

de Z. Si on désigne cette valeur par F: et qu’on remplace e par ^ i on trouvera

1 il» J lit — ~ = dz tz

v'-dï-sï

Fz

et une nouvelle quadrature conduira à une relation entre z et t, relation (|ui servira à fixer à chaque instant la position du |>oint matériel. De ce que r est donné en fonction de z, on ne peut pas eonelure que la vitesse redeviendra la même toutes les fois que le point matériel reviendra au inéiiic endroit, parce que ici comme au X” l'ü, rintégration n’ayant pu avoir lieu qu’en faisant usage des équations de la courbe, on pourra exprimer l’arc .s parcouru par le point matériel, en fonetion de z et par conséquent r en fonction de s, et comme cette dernière variable est toujours eroissaulc, il est visible que v ebaugera constamment de valeur.

Si l’on avait égard au frottement du point matériel contre la courbe, les équations différentielles du mouvement seraient, en désignant par /"le coefticient du frottement,

il’-^ V /

~ N cos III —