CHAPITRE XIV
m -j^ = »iÿ -t- N cos n — fJi
paroe (|up celle force est proporlioniielle à la pression N el dirigée suivant la langenle en sens inverse du nioiiveincnt. On lire de là
mvilu= mgdz — fTids (2)
l.e principe de la conserAation de la force vive ne sc vérifie pas non plus dans cet exemple, puisque le second memlirc n’est ]ias une dilTéreiilielle exacte en x, y, z. Cependant si la pression N est constante, on pourra intégrer iinincdiatemcnt , et il viendra
me* = 'iingz — 2/'Ns -t- C.
tin détenuincra ensuite s en fonction de z par la formule pour les
... , . , ds
rectilicalions, el apres avoir remplacé v par — j une nouvelle quadra-
tu;-e faite comme pour le cas de la résistance de l’air, conduira à l’expression de z en fonction du temps el de N.
Si N est variahic, ce qui a lieu le plus souvent, on remarquera que cette pression totale est la résultante de la force centrifuge el de la pression 1’ ducaux forces motrices; on cherchera donc rcx|iression du rayon de courhurc el les angles (|u’il fait avec, les axes, il’on l’on conciliera les composantes suivant les axes de la force centrifuge en fonction de o el de z. On cherchera ensuite les composantes de P que l’on suppo.se fonction de x, y, z ou pluldt de z .seul , puisque x cl ^ sont donnés en fonction de z par les équations de la courbe; puis on dctermincra la résultante !V de la force centrifuge et de P, pour laquelle on trouvera évidemment une fonction de v et de z. En remplaçant N par eellc valeur dans l’équation (2), on sera conduit à une équation différentielle à deux variables v cl z qu’il faudra intégrer pour avoir la vitesse r.
151. Moui'emenl d'un point matériel pesutd dans un cercle vertical. Pendule simple. Isochronisme des oscillations. — Si la courbe donnée est lin cercle vertical d’un rayon r, on pouri'a le supposer renfermé dans le plan des XZ (fig. 94) et les équations de la courbe deviendront, cil plaçant l’origine au point le plus bas A,
Après avoir substitué ces valeurs dans (I) et (2) du N” 129, il vient en
UYNAMlgliK.
ilii’igeaul vers le haut Taxe «les Z pusitifs, ou en ehaiigeanl les signes «le h cl «le
V* = -t- ‘2g (h — z) et dt = -
''v„* -t- 2gh — 2gz
ilans lesquelles h est la hauteur vcrtiiMle AC du point de dé[)art H et r„ la vitesse initiale au point B. Celte dilTérentielle n’est intégrable sous forme finie qu’en faisant usage des fonelions elli|>tiqucs. Supposons la vitesse initiale i'„ nulle; pour intégrer par appproxirnalion , on mettra la valeur de dt sous la forme
dt=db» /Z
puis dé\eloppanl en série le faelenr -
■J il vient
"TV 2r J 2 2r 2A\'2r J
et l'on sait que ectlc série est convergente pour z pins petit que 2r. On trouve en substituant,
'i/hT—z^
dans laqnelic tons les termes sont intégrables; le temps l est doue exprimable en fonelion de z au moyen d’une série qui est elle-même convergente (N” 17B du cours d’analyse). Comme dz est négatif j)endanl la descente cl positif quand le point matériel monte, il faudra, d’après ce qu’on a vu (N" 12!)), prendre le signe — dans le premier cas et le signe -+- dans le second. Si on suppose la hauteur AC «lu point de départ B très petite relativement an rayon du cercle, le
rapport - toujours inférieur à - 1 sera une fraction très petite et la
série précédente sera assez convergente pour «luc le premier terme
CIIAPmiL XIV.
donne une valeur apliruchéc lie 1; on trouve, dans cette liy|iutlièsc, en intégrant dc|iuis z = h ,
' = \/^-ccos(|-l)
d’où on peut tirer la valeur de z en fonction de t, ce i]ui fera connailrc 1a position du point matériel à chaque instant. Ihi faisant : nul, on aura le temps de lu descente du point It au point A, qui est
On a vu t|ue le point matériel, arrivé en A, continue sou mouvement et remonte jusqu’en B' au niveau du point B; la durée de cette ascension est donnée par la même équation dilTérenticllc prise avec le signe cl intégrée depuis : = 0 jusqu’à z = h, ce qui conduit
à la même intégrale dérinic ^ sorte que la durée du mou-
vement depuis B jusqu'en B' est
On sait que le point matériel, après s’étre arrêté en B’, retourne ensuite en B et que le temps de ce retour est le même que celui ilu premier trajet; il fera donc une suite indélinic d’oscillations dont la
durée uniforme est
Celte valeur est remarquable en ce qu’elle est indépendante de l’étendue de l’arc BU', pourvu que ret arc soit très petit.
La pression (pic supporte le cercle, s’obtient facilement en remarquant que la conqiosante du poids mq du point matériel suivant la normale à la courbe, c’est-à-dire, suivant le rayon OM (fig. 95) est
ON r — Z
m(f. eosj/Ma ou mycos MOA = mg Eu joignant cette
pression à celle qui est duc à la force centrifuge, laquelle est me* 2»io (Il — :)
= — > on aura pour la pression totale
DYNAMIQUE
Ou appelle pendule simple ou mathématique , un instrument idéal composé d’un point matériel pesant sus|ieudu à l’extréinité d’un fil inextensible, inflexible et sans masse, dont l’autre extrémité est flxe.
Il est clair que si on abandonne ce pendule à l’action de la pcsunleur, après l’avoir écarté de la jinsition verticale , il tendra à y revenir pur une suite d’oseillations pendant lesquelles le point matériel demeurera sur une circonférence de cercle d’un rayon égal à lu longueur du jiendulc, de sorte que les circonstances du mouvement de ce jioint seront les mêmes que s’il était assujetti à glisser sur un arc de cercle vertical; les oscillations de ce pendule suivent par conséquent les mêmes lois que le mouvement du point matériel pesant dans le cercle.
c’esl-à-dirc , que leur durée est aussi exprimée par
indépendante de l'amplitude des oscillations qui sont dites pour ce motif isochrones.
Cette valeur de la durée d’une osciHation nous apprend que, pour deux pendules de longueur différente , oscillant dans des lieux où la gravité est la même, les durées des oseillatious sont ]iro]>ortionnellcs aux racines carrées des longueurs des pendules, et que si l’intensité de la gravité est différente dans les deux lieux, les longueurs étant les mêmes, les durées sont inversement proportionnelles aux racines carrées des gravités.
Ces lois ne subsistent que pour des oscillations d’une étendue très petite : l’isochronisme cesserait d'exister pour des oscillations d’une certaine étendue; car si dans le développement de dt en série, on
tient compte des termes multiplies par - > en négligeant le carré
de cette fraction, il faudra avoir égard au second terme de la série et la durée d’une oscillation deviendra
elle cesse donc d’être indépendante de h. Il est visible du reste que.
puisque
\ / - est facteur commun dans le développement de tll, et
que g n’entre pas ilans 1a série, les durées des oscillations resteront inversement proportionnelles aux racines carrées des gravités, pourvu (pie h et r aient toujours les mêmes valeurs.
tllAI'ITIU. XIV.
Ln tension qu’éprouve à chaque instant le fil du pendule est évidemment égale à la pression supportée par le ecrdc, pression que nous avons déterminée plus haut.
4 32. Oscillatiom du pendule dans rtitr. Mesure de la gravité au nioi/en du pendule. — Si les oscillations se faisaient dans l’air atmosphérique, il faudrait tenir compte de la résistance que ce milieu oppose au mouvement du point matériel. Représentons celte force par y; en égalant la force tangcnticlle à sa réaction, on est conduit à
jTÏ = ”'9' ~ ?
dans laquelle a est l’angle MOA cl in^siiia, la composante de la pesanteur du point matériel dans le sens de la tangente M(. Comme un a, B étant le point de départ,
s = BA — AM = BA — ra,
on a aussi
ds = — rdi et d*s = — ,
ce qui fait prendre à (1) la forme
On a reconnu que pour de petites vitesses, la résistance de l'air est sensiblement proportionnelle à la simple vitesse; on peut donc poser
ds da
^ dt dt
et si on suppose l’amplitude très petite , a restera très petit, sin a pourra cire remplacé par « et l'équation difTérenlielle (4) deviendra
dt* m dt r
qui est une équation dérivée linéaire à eoenicienls constants; son intégrale est
IIYNAUIQUE.
On dctcrniine les constiinlcs C et C' |iai' lu eonilition ([iie pour
< = 0, on ail à lu fois a = S cl — ou d = 0. On Irouve ainsi
lit
C = ^ et C'
A lu fin (le eliaqiie oseillution, a alleint une valeur inuviiniira que l'on ilétçrniinc en faisant
On a ainsi, en représcniant par l' les valeurs «le t qui cori'espondenl à ees inslanls,
sin l'a
d’oi'i
k «•tunl un nombre entier qucleonque. Les difTcrentes valeurs de V sont doue
el par conséquent la dim'e de rbacjuc oseillution «*sl d’oi'i il
la^sullc que les oscillations sont encore isoclironcs, niais leur durt'e, eoinpartle à ce qui $c passe dans le vide, est augmentée duns le rapport
de / M '
• » ruwitô. Quant à l’amplitmle des osrillations,
on a, en remplu(;unt suecessivemenl t par chacune des valeurs pr«-c<-dcntes dans la valeur générale de a.
2«tt 9
t na g
3 mu 9
- cto.
d’où l’on conclut que les amplitudes à droite cl à gauche de la verticale diminuent suivant une progression géométrique. Ces dilTérents résultats sont confirmés par l’cxpéricnee, ce «pii justifie riiyjiothcse «le la proportionnalité de la résistance «le l’air à la première puissane«'
CIIAIMTRr XIV.
lie In vitesse. L’expérience prouve aussi que a ou
irr
dilTère de l’unité que d’une fraction insensible, et que, par conséquent, lorsque les oscillations sont très petites, la résistance de l’air ne change pas sensiblement leur durée.
Les oscillations du iiendulc offrent le moyen le plus comiuode et le |dus exact pour mesurer rintensité de la gravité 3, puisque la durée d’une oscillation s’obtient avec une grande, exactitude en prenant la moyenne de la durée d’un grand nombre d’o.scillations ; comme on a sensiblement, pour des amplitudes très petites,
on. tire de lü
rs'
Il est à remarquer que celte théorie ne se rapporte qu’au pendule simple ou mathématique. On verra plus loin comment les résultats qu’on vient d’obtenir, étant convenablement modifiés, représentent les lois des oscillations d’un pendule quelconque.
453. Mouvement nur la cycinïde. — Cherchons encore le mouvement d’un point matériel pesant sur la cycloïde. Comme ou a en général ,
, ils
ilt^~ —
— ‘iyz
et (pie l’on a dans la cycloïde,
lu valeur de dt devient, en transportant l’origine du point 11' (lig. !IC) au point A, ce qui se fait en posant tj — '2a —
Il est visible qu’il faut prendre celui des deux signes qui rend dt positif, c’est-à-dire, qu'il faut prendre le signe — quand le point matériel descend et le signe -t- (piand il monte, |iuis(pie dans le
itYNAmgoK.
pri’niicr cas, dz est négatif, tandis qu’il est pusilif dans le second. Fn intégrant, il vient eoninie plus haut.
t = q.^^areeos(^|-l)^C.
Soit G le point de départ du point matériel et h son ordonnée AG. On déterminera la constante G par la condition que l soit nul quand Z est égal ji h ; il vient donc quand le point matériel descend.
t = % / - are cos I I )
qui fait connailre la duree de la descente depuis le point fixe G jusqu’au point M. En faisants nul, on trouve pour la durée de la descente de G eu A ,
Gette valeur est indépendante do h et, par conséquent, du point de départ G; d’où résulte celte |)ropriétc remarquable que, quel que soit le point de départ G, la durée de la descente jusqu’en A est toujours la même, en sorte que si l’on place des points matériels pesants en différents endroits de l’are AB et qu’on les abandonne en même temps à eux-mêmes, ils arriveront tous ensemble en A. G’est en cela que consiste le tatiloclirnniame de cette courbe qui, elle-même, est dite iaulochrune.
On a vu (N“ I2'J) que le point matériel arrivé en A, continue son mouvement en s’élevant jusqu’en G' au niveau du point G, pour redescendre ensuite de G' vers A ; comme les deux branches BA cl B'A sont symétriques, la durée de la descente de G' en A est la même que
celle de la descente de G en A , c’csl-à-dirc qu’elle est n
or.
on sait (N“ 122), que la durée du mouvement de A en G'*cst la même que celle de la descente de G' en A ; la durée de l’ascension de \ eu
G' est donc aussi r
et par conséquent le temps d’une oscillation
CIMPITIIE XIV.
loliile de (’. fil (V un de C' rn C, (|iifllf i|iic suit snii imiplitiiilf , fsl rfprfsiMitff |>;ii'
On voit (|iic la lui des oseillatinns est la mciiic iiiio dans un jiendiile siiiiple d’une lungiieiir égale à ia , sans ijii'il soit néi'essaire de liniiler, eoninie dans le eerelc, rétendue des oseillations.
La propriété de risoelironisinc des oscillations dans le eerelc est une eonséipienec de cette pro|iriété de la cycloïde, car si on décrit le eerrie osrulateiir au point le plus lias de la cyeloïdc, une portion très petite du cercle , ayant 4n pour rayon , s’y confondra avec un arc de eelte eourlie.
Il est visible que la propriété précédente subsiste , si In cyeloïdc au lieu de rester plane, est enroulée sur un cylindre vertical à base «pieleonquc , pourvu que les ordonnées verticales z de la courbe restent verticales sur le cylindre; en effet, toutes les équations dont ou vient de faire usage, peuvent servir pour déterininer le niouveiuent sur une courbe à double courbure, et comme elles ne contiennent que les variables z, s et t, qui ne clinngciit [las de grandeur lorsiiue le plan de la courbe est enroulé sur le cylindre, les résultats obtenus ne seront pas altérés par celte Iraiisfurnialion.
La propriété de la evebude a été mise à iirolil pour construire un pendule dont risochroiiisiiic, ou l'égalité de durée des oscillations, fut indépendante de l’ainplilude; ou réunit au point D deux demi arcs de cyeloïdc DH cl DH’ égaux et h ordonnées verticales ; on y suspend un fil flexible D.\ d’une longueur égale à deux diamètres du cercle générateur de la cyeloïdc et à rcxtrémilé \ un suspend un point nialériel. Si l’on écarte le fil DA de la jiosilion verticale dans le plan de la courbe, il s’enroulera alternativement contre les ares DH et DC et rexirémilé décrira une cyclo'idc égale à sa développée DH; le point matériel C oscillera doue en suivant les lois iiidiipices plus liaiil. (ici appareil porte le nom de pendule njclohlal.
IÜ4. Lu cycloïde est la seule cuiirhe tautochrone. — Il est facile de reenniiaitrc que la cycloïde est la seule courbe lautoclirone; en effet, ipiellc que soit la courbe AH plane et verticale, si h est l’ordoniiée du point de départ C, on aura en un point quelconque M,
, 1 ds
d ou lit — —
dt h —i
UYNAVlgUË.
;iô'j
cl cil (ircuaiit l'iatcgralc depuis z = h jusiprâ 2 = 0, ou aura pour le Iciiips de In desceutc de C en A ,
ilz
■ ilz.
Pour que la courbe soit tautoclironc, il faut que cette intégrale délinie soit indépendante de h ; or si on remplace r par une nouvelle variable z', de inanière que
Z — hz’,
comme pour z = 0 et pour z = h il vient z' = 0 et z'—i, il est visible qu’après 1a substitution, l’intégrale délinic devra être prise entre les limites 1 et 0, de sorte que , si on représente par jt ce que
devient la dérivée — après la substitution de liz' à 2, on aura
pdz'
zti/'2g 3, l/l — Z
ils
La dérivée y étant évidemment une fonction de z peut être conçue développée suivant les puissances de cette variable, de manière à avoir
ds
dz
— az'^ -t- hz^ -r- etc. = ak^z"^ -t- bli^z'^ etc.
et il vient en substituant.
db (/2 q
*:^+ete.(
3jj/i— 2' 3j,/i 2' 1
= — * blt/ii^'^» etc. -t- I.
±l/-2gl
, . . f** z'^dz'
Nous avons désigné par A, li les intégrales délinics V — — ,
'ft .
f s ^dz' ....
\ — •••• qui sont visiblement indépendanUrs de « et ne sont pas
CIIAPITHb XIV.
nullcs, puisque les diirdrenticlles restant tuujours de même sijjiic, leurs sommes ou intégrales définies ne sauraient être nulles. La valeur de
T ne sera donc indépendante de h que si un des exposants “ est égal à zéro ainsi que les coéllîcicnts b, c, d.... des antres intégrales, ce qui fait prendre à T et à ^ les valeurs :
, a dz'
± y/igJ n/z' — Z
La seconde équation appartient à une cycloïdc, car en rcmplueaiU y par \/-(0 et a* par 2r, on trouve
dx = </'
()iii ap|iarticnt à une cycloïdc ayant son sommet à l’origine, son axe horizontal et 2r pour diamètre du cercle générateur.
Il ne saurait non plus y avoir d'autre courbe tautoehronc parmi les courbes gauebes ou parmi les courbes ])lanes non verticales, car en les considérant dans le cylindre qui les projette sur un plan horizontal, il est visible (voir la lin du numéro précédent) que le tautuehronisme de la courbe de l’espace entraine le tautochronisme de lu courbe formée par le développement dans un plan vertical de la surface cylindrique projetante, et comme celte courbe ne peut-être qu’une cycloïdc, il en résulte que les seules courbes tauloehruiics à double courbure sont celles qui sont formées par des cycloïdes horizontales enroulées sur des cylindres verticaux.
155. Mouvement d'un point matériel pesant sur une surface. Pendule à oscillations coniques. — Appliquons encore nos formules à la détermination du mouvement d’un point matériel pesant sur une surface sphérique. En ])rcnant pour origine le centre de la sphère et pour axe des z, la verticale dirigée vers le bas, l’équation de 1a surface prend la forme
DYNAUIQUE.
d’ou Ton lire (N® 127)
eus / —
cos m = —
cüs « =
les cqiialioiis du inouvcmcnt du N® 123 deviennent
df* r dl* r
dH
cl les fornuilcs des N“* 127 cl 128 dunnent pour N el pour délcrniiiicr la vitesse t’, v„ et h étant les valeurs initiales de r et de z.
V* — Vo* = 2gi (z — h).
N = tiig - -4 =
Si on remplace N par sa valeur dans la troisième équation diiïérenticllc, qu’on en multiplie les deux membres par 2d: el qu’on intègre , on trouve
rdz
dt=-- (1)
\/Q -4- 2gr*z -4- ('igli — iv’) î* — 2ÿi’
L’intégration de celte équation n’est pas possible en quantités finies sans l’emploi des fonctions elliptiques, el il en est par conséquent de meme des deux autres équations dans lesquelles N et z devraient d’abord être remplacés par leur valeur en ( tirées de l’intégrale de l’cqualion précédente. Bornons-nous à examiner le cas où le point matériel lancé avec une vitesse initiale très faible, s’écarte très peu du jmint le plus bas A placé dans l’axe des Z (iig. 9i). Alors Z et h dilTèrcnt peu de r, la valeur de N se réduit sensiblement à la constante mg et les deux premières équations différentielles deviennent.
IF
Lu multipliant rcspcclivemcnl les deux membres par 2</x et 2(/y , on trouve pour intégrales, a* et ù- étant deux constantes arbitraires,
ClIAPITllE XIV.
l(■.■^l|u(!lles mil jioiir iiitcgrales,
f) = arr sin ^ j
ou bien ,
X = a sin t
y/f’ !/ = 6sin(« — 0 y/^-
Dans la ])remière, la eonslantc est Héterininée de manière que le lenips commence ii compter au inomcnt où le point traverse le plan des YZ, c’est-à-dire, quand x est nul, et dans la seconde la eonslante I' est la valeur de t qui correspond à )/ = 0, c’est-à-dire, que I' est le temps qui s’est écoulé depuis le moment du passage du point matériel par le plan YZ jusqu’à son passage par le plan XZ.
En éliminant le temps t entre ces deux équations, un trouve pour projection de la trajectoire dans le plan horizontal XY,
Elle ajiparticnt à une ellipse dont le centre est dans l’axe vertical des Z. Comme la direction de l’axe des X est arbitraire, on jicut faire en sorte qu’elle coïncide avec la direction du diamètre princijial ; dans ce cas le produit xi/ doit disparaître de l’cqualion, ce qui ne peut arriver
ipic par l’évanouissement du facteur cos t'
on a donc alors
ce (|ui réduit la valeur de y à la forme suivante ;
y=àsin
Comme t' est la durée du passage du point materiel , de l’axe des X à l’axe des Y, cl que dans celle nouvelle position des axes, la courbe est coupée en quatre parties symétriques, il est visible que la duree d’une
révolution complète est donnée pur if ou 2tt
Ill.N’AMlQI'K.
I,n loi sui\ant luquellc le jioint inalériel se meut djins eette ellipse s’oitlient en reiTiiirquiiiil que - clant la taiif'enle tie l’angle q roriiié
avec l’axe des X par le rayon mené à la projeelion du poini matériel, si l’on donne à t' la valeur qn’on vient d'indiquer, ee rajiport fera eonnaitre en fonetion du tcni[)s l’angle formé par ce rayon avec le diamètre principal de l’ellipse. On trouve
tang>i =
r.etle équation confirme ec que nous avons dit plus haut, de la durée d'une révolnlion.
Au lieu de faire mouvoir le point matériel sur une snrfaec spliéri(|ue, on peut le concevoir lié au centre de la s|)licre par un fil inextensible et sans pesanteur et mis en mouvement avec, une vitesse initiale dirigée d’une manière quelconque. L’appareil prend alors le nom de jieiidiile mnthémutuiue à oscillalioiis rotiii/ties, et les lois de son mouvement sont représentées par les formules précédentes. On vint donc (pi’un semblable pendule décrit un cène à base elliptique dont l'axe se confond avec la verticale passant jair le point de suspension et que la durée d'une oscillation conique est donnée par
est-à-dirc, qu’elle est invariable et la même que si le pendule oscillait dans un plan. La forme de l’ellipse dépend des valeurs des deux constantes arbitraires n et b, qui déjiendcnt elles-mêmes des
valeurs des deux composantes -j|- , de la vitesse initiale.
Si l’on suppose le point matériel pesant assujetti à glisser sur la surface engendrée par la rotation d'une cycloïde verticale auloiir de son ordonnée maximum, on trouve sans peine en suivant la même marche que pour lu sphère, que l'équation différentielle (i) est alors intégrable et conduit i\ une relation de la forme
Z = tu -V- Il
ClUriTIlF. XIV.
Les viilciirs (le X et y ne peuvent pas être cxpriiné-cs en fonetiun de t d’une manière aussi simple; mais il n^iille siifllsamnienl de l'inli*grale pri’-eédente (pie les oseillations verticales sur eette surface sont isochrones (picllc (pic soit l'amplitude, puisque, après des inter-
valles de temps égaux à
— la valeur de z redevient la même et
que par conséquent le point moliilc revient a la même hauteur au-dessus du point le plus lias.
Si le point matériel pesant se meut sur une surface ipieleonquc donnée i< = 0, en prenant l’axe des X vertical, les composantes Y et Z de la force motrice seront milles, .\ sera égal à — mg et la seconde des équations différentielles de la trajectoire du N” 127 deviendra
c’est-à-dire,
d indiquant une différentiation totale. Or le principe des forces vives donne, en représentant par h l’x du point de départ,
ds , — — , ds
-p = 1/ 2(1 1/ /( — T ou (U=- Z — : ;
l’équation jirécédente devient donc
du
ctcnrcmplaçantc/nii -ppar y tinV de l’équation de la surface, elle
dz
jirend la forme
du /dij .
''(jy*-*
En dévelop|>ant les deux différentielles, on est conduit a réqiialioii suivante, citée au N" 524 du traité, d'analyse.
du ,fdy\ du ./dz\ dx [du dg du dzi
dz ' \ds / dtj * \ds ) 2 (/i — x) ( (/z ds dg ds j ~
Si » = 0 représente un plan donné par l’équation X -I- 01/ liz + r — 0,
UYXAMlylîK.
du du
— L‘t-^ soroiil l'uniix il II dif dz
la foriiu’
i‘t II, nt l'rqunlioii «lin'érciitii-llc mise sous
lui
ilz
du
dx
, du dz ‘2 (h — a:)
cl inU'-f'pcc, iloiuic
La constante arbitraire C se dctcrininc en remarquant qu’au point «le «bipart |//i — X est nul, ce qui exige que C le soit aussi. Il vient «loue
luh/ — adz = 0
d’oii
1)1/ — az = n
qui est r(i<[uatiun de 1a projection de la trajectoire dans le plan horizontal. Elle repre^sente une perpendiculaire à la trace horizontale du plan donne.
1 3(>. Mouvetiieiit relutif sur une. courbe en mouvemenl. — Si pendant qu’un point niati-riel glisse le long il’iinc courbe donnée, en vertu de certaines forces motrices, cette courbe est mise elle-même en mouvement, les eirconstanecs du mouvement du point matériel le long de la courbe ou le mouvemenl relatif se «létcrininent comme il suit ; concevons la courbe rapportée à deux systèmes d’axes rectangulaires, l’un Ixyz) fixe dans l’espace et l’autre (x'i/'z') mobile et invariablement lié h la courbe dont la forme est donnée par les équations
x'r=fz’, i/' = Fz’....(l)
et dont la position dans l’espace est donnée au moyen de la position des axes X', Y', Z' relativement aux axes immobiles X, Y, Z.
Dans les relations connues entre li‘s deux sysb'unes de «■oordonnées d’un meme point, savoir
X — I -I- nx' bif -I- rz y = m + n'x' v- h';/' e'ï'....(;J)
ciivpmii: XIV.
nvxAMiyri;.
les eocflicienls a, b, c, a'... t, m, n qui fixent cette (josition d’un système d’axes par rapport à l’antre, sont donc des Ibnctiuiis données ilu temps I. Dérivons deux fois ces équations par rapport à t. Comme les forces qui agissent sur le point sont les forces inotriecs X, Y, Z et les composanles de la pression de la eourlie inoliile, les équations du mouvement absolu sont
= X t- X cos X, m — = Y -t-
.> eos (* ,
dans lesquelles )., fi, s fixent la direction de cette pression, et l’on aura
— eos / m
X , fl-ii' il^z' (la dx' dh du'
m dr- dl-‘ dt‘ dl dt (U dl
de dz' d*a ,
dt dl dl*
dT*y ’^'dT*^
— eos fl = etc., — eos > = etc i.v)
auxquelles il faut joindre la eondilion que pour eliaque instant la pression est normale h la courbe mobile, condition qui est exprimée par
d’x cos X -t- d’y eos f* -c- d'z cos v = 0 — (4)
d' désignant les différenlicllcs de i, y, z prises dans (2) en supposant le temps I constant, c'est-à-dire, a, b, c, a' restant invariables.
Si l’on multiplie les équations (3) respectivement par d'x, d'y, d'z et qu’on les ajoute, X' disparait à cause de l’équation (4) cl après avoir remplacé x', y’ et d'x, d'y, d'z par leurs valeurs tirées de (I) et (2) et
