rt
surface de la terre, puisque, en rciirésentant par K le facteur —
qu’on vient de voir être invariable jiour toutes les planètes, rallractioii
1 , I ■ < ■ • K Moi
du soleil sur la planète d( ueiil — ■
Il est à remar([iier, 1“ que les lois de Kepler s’étendent au mouvement des comètes autour du soleil et au muiiveinent des satellites autour des planètes ; 2" que l'on n’a pu rendre eoniple de certaines
KV.NAMiyl'K.
piTliirltations observées dans le moiivcinenl. îles planètes, qu’en les supposant soiiinises entre elles à des allraelions inntiiclles do même jîcnre ipie celle (pi’excrce le soleil sur les planètes; et 5“ que rex[iéricnee a l'ail reeouuailre (pic deux corps placés à lu surface de la terre s’attirent aussi niutuellcment avec une intensité proportionnelle il leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance. On est ainsi conduit à considérer tons les corps qui existent dans l’univers comme doués d’une force d’attraction sur les autres corps , dont la pesantcur n’est qu’un cas particulier et dont l’intensité est proportionnelle à la niasse attirée et inversement proportionnelle au carré de sa distance.
Telle est la force qui régit le mouvement des astres comme celui du moindre corps terrestre, et en soumettant son action au calcul, toutes les lois du système du monde ne sont plus que des conséquences du principe (rattractinn ou tic Iti ijravilation univerxelle.
IÔ8. Miiuremenl tics sitlelliles autour des jilanètes. — Nous avons dit que le mouvement d’un satellite autour de sa planète suit les mêmes lois que le mouvement d’une ]ilanèle autour du soleil. Cela serait rigoureusement vrai si le satellite n’était soumis qu’a la seule attraction de sa planète; mais outre cette force attractive, il éprouve, ainsi ([uc la planète, l’action du soleil (|ui altère plus on moins son mouvement clli]itiquc. Les équations différentielles du mouvement du satellite s'obtiennent de la manière suivante :
Soient M, ni, ni' (lig. 117) les masses du soleil S, de la planète P et du satellite s, concentrées au centre de res sphères, R, R', r les distances de la planète au soleil, du satellite au soleil et du satellite à la planète. Par les centres du soleil et de la planète faisons passer des axes rectangulaires parallèles et de direction invariable, quoique mobiles, et désignons par x, tj, z et x', y', z' les ciiordonnées de la planète cl du satellite par rapport an soleil; x' — x, 1/ ■ — y, z’ — z seront les coordonnées du satellite par rapport à la planète. Les actions mutuelles du soleil et de la planète, du soleil et du satellite
, , . ... KMui KMui'
seront, d apres le numéro precedent, cl ■ 1 les forces
relatives qui agissent sur la |)lanètc et sur le satellite deviendront (lin
. ». . . .. ^1 ■+■ KMm M -t- m' K Mm' , dn Mb) — ■ et - — et les composantes sui-
vant les axes de ces forces auront pour valeurs
Km (M
CIUPITUE XV.
■ Kwi' (M + w') ’ - Km'(M-4-»H')|r,> — >'w'(M + w')p
D’un milrt: côlc, les nclions iniiltielles «lu salollile « sur la planète I* et (le la planète P sur le satellite s sont dont les eoniposanles
parallèles aux axes sont
x' — I K»im' : — 1
K mm
K mm' -
K»im'
— Kmm
■ Km»«'-
on a donc pour les équations du inouvemcnl relatif de la planète et du satellite pur rapport au soleil ,
m -7-^ = — km (M m) — -t- Kmm : — >
m ~ 7 = — Km (M + "*) K/«m''^ — —
dt*
- Km (M m)~^ K»i»«’ - (1)
III — 7-r ■
m' —/ lit*
Km' (.M -V — Kwiwr' — -- — >
K m (M -t m ) K mot »
— Km' (M t- m') — — Kmm' ■
'Jl'S
Ces six équations, lors(|u’clles seront intégrées, feront eonnaitre X, y, 2, x', y, z' en fonction de f, c’est-à-dire, qu’elles fixeront à eliaquc instant lu position de la planète et de son satellite par rapport au s(deil. Ce problème est connu sous le nom de proUème des trois rorps. Ces intégrations , qui ne peuvent d’ailleui’s se faire (pie par approximation, nous écarteraient trop de notre but pour que nous puissions nous y arrêter; nous nous bornerons à tirer quelques eonsé- (]ucnees géiuTalcs des équations différentielles memes.
Remanpions d’abord (pie la pn-senee du satellite altère le inoiiveineiit
DVNAMIQITE. !2ü*>
cIc la planèu^ autour du soleil; car les équations du mouvement de la planète privée de satellite seraient :
d*x X d^tf y
m — = — Km(M -4- m) -, ni ^ — Km (M -4- m)^,
m — =-Km (M-4-m)^;
iiiiiis celle allérnlioii csl forl petite , puisque le terme qui a disparu il*x
dans la valeur de ni » etc., eontient le facteur ni' et que la masse
d’un satellite est exlrdmciiicnt petite en comparaison des masses M
et m du soleil et de la planète ; de sorte que la présence du satellite
ne fera dévier la planète que très peu de son orbite elliptique.
Pour ec qui concerne le satellite, remarquons que s’il n’avait été
„ „ . Kmm' . , . ,
soumis qu a I attraction — ^ — de sa planète, comme les composantes
iTlatives de cette force sont — Km' (m + m') — etc., etc., les
équations de son monvcmcnl relatif auraient été, attendu que x' — x, y' — y , z' — Z, sont les coordonnées du satellite rapportées au centre d’altraetion qui est la planète,
tn — r- = — Km (»? -4- m ) »
dt* ^
V) Km' (m -H «0 ,
m' — — - = — Km' (m -4- m') ,
lU* ' ' r’
ou bien ,
il*x d‘x , ^x'—x d*y' dhj
dt* dt* ' ' r* d/* dl* ' ' r’
Si on retranche membre à membre les équations (I) de (2) après avoir supprimé les facteurs m et m', il vient
CIIAPITIIi; \v.
JY
dt‘-
dï*
= cir....(4)
i|iii (liir<’Tciil ossmlu'llpnii'nt (les pircédeiites (5); le iiiunvemoiit du sjilellile iiuldiir de la plaiièle esl donc alUw par rnltraclion du soleil, ce <pii du resie devait évidciniiicnl arriver; mais il est facile de voir rpie cette altciration n’est aussi (pie fort [letite; car la distance Ps étant [lonr tons les satellites connus, fort petite relativement aux distances PS et sS, l'atlraetion relative exercée par le soleil sur rnnité de masse (In satellite se confond en grandeur et en direction avec (;ellc qui est exercée sur l’unité de masse de la planète, c’est-à-dire que les composantes suivant les axes de ces deux forces sont scnsildcmcnt égales; or ces deux forces relatives ont, d’après ce qn’on vient de voir, pour composantes rapportées aux unités de masse des deux corps,
K (M -I ”0 jp; équations (4)
ne dilfèrent donc (pic très peu des équations (3); d’où il résulte que le mouvement relatif du satellite autour de sa planète ne diffère que Irè's peu de ce (pie serait ce mouvement si la planète et son satellite existaient seuls dans l’espace, c’est-à-dire, que ce dernier décrit, à fort peu près, une ellipse dont la planète occupe un des foyers.
I.es différentes planètes, comme on l’a déjà dit, exercent aussi les unes sur les autres et sur les satellites, des attractions qui se comliinent avec celle du soleil. Ces actions sont constatées par les perturbations (pi’clles produisent dans le mouvement elliptique; de sorte que le mouvement elliptique des planètes et des satellites ne doit être considéré que (*omme une i»remière approximation, (|ui devra subir ensuite des corrections nombreuses, mais en général assez petites, dont la détermination, analogue à celle que nous venons (riiidi(pier pour un satellite, fait un des principaux objeLs de la mécanique céleste.
lôit. .1/a.s.sc des planètes. .Masse du tu terru. — La tliéorie de la gravitation universelle conduit facilement à In détermination des rapports entre les masses des planètes et eelle du s(deil ; en elbq, on a vu (N" lil) ipic dans le mouvement elliptique relatif d’une planète m autour du soleil .M, la diiriie d’une révolution, a étant lu demi grand axe de l’ellipse, esl exprimée par
I»Y>\ MKjl’b.
'’iy.i
On lire de Iîi
Ou a VII niiK.si ijiic le snlellilo se meut uuluur île la planète à l'oi'l peu près eoiiiiiie 1a planète autour ilii soleil, et cpie par eoiiséqueiit, en repréiuiitaiit par a' et T' le demi grand axe de l’orhitc du satellite et la durée de sa révolution, on doit avoir
Ces deux éipiations doiiiient
M -4- IH ll’T’*
III 4- m' n’’
et, eomme la masse d’nnc planète est fort [ictitc relativement à celle du soleil, ainsi que celle du satellite relativement ?i sa planète, l’équation précédente se réduit sensiblement à
ipii donne le rapport clicrrlié.
Cette mélliode est peu exacte pour délcniiiner la masse de la terre, parce que la masse de la lune est trop considérable pour «pi’on puisse négliger ni' devant m. La eonnaissancc de lu pesanteur à la siirfaec île la terre fournit un autre moyen plus exact pour mesurer sa masse; en désignant par r le rayon de la terre siqiposée spliériqiie et liomogène, rattraelion ipic su masse ni qu’on peut coneevoir conecntréc dans son eentia-, exerce ii la distance r du rentre sur l’unité de masse, est, eomme on sait, repi-éscntéc par
Km
or, cette attraction <|ui n’est autre cliosc ipic la gravité à la surface lie la ti-rre, est donnée par rexpérience (N" I2f>); si donc on la désigne pur G, on aura
K Ml
d'un autre côté, la révolution de la terre anloiir du soleil étant sensi
CIIAPITIIK XV.
bicmcnl la iiicmc que si lu lune n’existait pas, ainsi qu’on l’a vu au N° 158, conduit à lu relation
on a donc en éliminant K,
On U trouvé de cette manière,
Connaissant le rapport de la musse de la terre ù celle du soleil, il est facile de trouver le rapport de la masse d’une planète quelconque à celle de la terre; eur pour une planète quelconque m' on a
et en remplaçant K par sa valeur tirée de l’expression précédente de G,
ni Gr* T'* ni
La masse de la lune se déduit de son action sur les eaux de la mer dans les marées.
14Ü. Deimté innijeniie (le lu terre. Méthode de lioiiguer. Méthode de Caveiidisch. — Cette formule donnerait les masses de toutes les planètes, si celle de la terre était connue. Cette dernière a été déterminée en observant les déviations qu’un lil .à plomb éprouve dans le voisinage d'une haute montagne, par suite de l’attraction que 1a masse de la montagne exerce sur la masse du fd Ji plomb. Soit uBO (fig. 98) la verticale élevée en un point B de la surface de la terre, au pied d’une montagne .M ; si au point a on suspend un lil à plomb, ce fd qui, sans le voisinage de la montagne, suivrait la verticale aB, s’inclinera vers la montagne et prendra la position uni, à cause de l’attraction que la montagne exerce sur la masse de plomb mi, attraction qui, d’après ce qu’on a vu en statique, (N” 101) est dirigée vers son centre de gravité G. Connaissant par l’observation l’angle île déviation Bam,
OU en iléiluit le rapport de la masse de la terre à la masse donnée par rol)scr\atimi, de la montagne; en elTct, si l'on conroitlc point ni joint an eeiilre de 1a terre par la verticale »iO et au centre de gravité G de la nionlagne, par la droite; »iG, la résultante des deux attractions dirigées suivant mO et wG devra, dans l'éUtt d'éi|uilil)rc du fil à plomb, être dirigée suivant am; en représentant dont; par M la masse ilc lu terre, par m celle de la monUigne, par u lu masse de plomb placée en m, pur r le rayon »iO de la terre et par l lu disUince mG du lieu d’observation au centre de gravité de la montagne, les attractions sui-
^ , KeiM Kum
vaut mü et mG seront — 7- et — 1
et l'on aura
Kum KuM . . » . .
: = sin AmO : sin AmG ,
d’où l’on tire, en représentant par a l’angle omG qu’on détermine par l'observation, et pars l’angle AmO qui, ti cause de la longueur de mO, est égal à l’angle de déviation AnO ,
M r* sin «
m l* sin £
Cette équation fait cunnaitre la masse de la terre, connaissant la niasse de la montagne. On déduit de là la densité moyenne de la terre ; car en la désignant par 1), par d celle de lu montagne dont on connait la cunstitntion, et pur V et v les volumes de ces deux musses, il vient
et par conséquent
M = VI), m=i!d,
1) - r-v sin a 5 r sin a
d /* V sin £ 4 7r/*r sin £
On a trouvé de celte manière que la densité moyenne de la terre est égale à environ îi fois celle de l’cnu.
I.a densité moyenne de la terre a été déterminée avec une plus grande précision par nn autre procédé dû à Cavcinisch. A un fil vertical très délié, suspendons par le milieu A (fig. ’J!I) et dans une position horizontale, une verge IIB' terminée par deux sphères métalliques identiques B et B'; cette verge abandonnée à ellc-mémc et n’obéissant qu’à la force de torsion du fil, s’arrêtera dans une certaine position BB', cl si on l’en écarte, elle y reviendra en faisant une suite
CIIAI'ITIIK XV.
<roscilli)(ions dues à l'uetioii de la torsion qu’aura éprouvé le lil de suspension. Concevons que l’on place deux sphères inéudlicpies égales cl de inèincs matières D cl D' dans des positions identiques, de manière (|uc les centres soient placés h des distances égales BD et B'D’ prises sur les perpendiculaires horizontales élevées aux deux extrémités B cl B' de la verge BB' ; les attractions exercées par les masses tii de CCS sphères sur les masses f» placées en B et B', feront dévier la verge BB' qui tournera autour du point A cl s’arrêtera dans une position voisine CC', pour laquelle ratlraction de I) cl D' fera équilibre h la force de torsion du fil de suspension, force qui, quand elle agissait seule tendait à raiiieiicr la verge CC dans la position BB'; cl si l’on replace la verge CC dans la position BB' et qu’on l'ahnndoniie ensuite è ellc-iiiémc, elle fera une suite d’oscillations dont la durée cl ramplitudc vont nous (aire connaitre le rapport de la masse m à la masse de la terre; en effet, considérons le moiivciiicnt de l’un des deux points B ou B', de B par exemple, et supposons que ce point se meuve dans la jicrpendiculaire BD, ce qui est permis, vu la petitesse des oscillations, lin représentant par x la dislanee du centre de la masse p au point fixe B à une époque quelconque du niouvemcnl et par a la distance BD, raltraclion de fz sur m seia à une époque quelconque,
KttW
si donc U est l’effort que fait 1a force de torsion du lil pour ramener la ' masse u a sa position B, un aura pour l’équation du mouvemeiil de la ninssc P,
d*x Kpm
l’ai traction de la sphère I) sur la sphère B' est ici négligée comme n’ayant qu’un effet inscnsihle.
L’expérience apprend que la force a) est proportionnelle à l’angle de torsion, en sorte que si H est la force nécessaire pour faire tourner la verge d’un arc égal a 1 , et si « est l’angle que fait à une é|ioque quelconque la verge avec BB', la force de torsion ca sera e. D’un autre cèté, on a évidemment, r étant la distance CA,
X = re ;
IIVNAMUll.'E.
réi|iinliim <lii iiimiu'inoiit dcviciil clone
c/’« Km lis lit* (a — rs)* fl
uu, en ilêu‘lon|)anl en série In rrncliuii , — î— et en se burnanl mix
(a — re)*
(leux ]treniiers ternies, parce que rs est très jielil en eoniparnison (le a ,
(/*« Km / SI 2Km\
dl* a^r \^[xr o’ J
Le raeteiir binàinc qui niniliplic e, est toujours positif; car il est visible (pie la valeur de l’angle e correspondant h la position ou la force de torsion fait équilibre à la force d'attraction, s’obtient en ('galant à zéro In force motrice totale ou en posant
Km /si 2Km
a*r Vur ri’
et coinine cette valeur de; doit être visiblement positive, il en résulte (pie le bim'iine ne peut être que positif ; l'équation est donc de la furine
'üf
L’inl('gralc de celte (tf)uation différentielle du premier degre et du seeond ordre, à coeflicients constants, est
c = — C sin tjl -I- C' cos (ft.
Si on détermine les eonstantes C et C' par la condition (pie lors(pie le
temps l commence, c’est-à-dire, à l’époque initiale, l'angle variable e et la vitcsse-j-ou -j-sont nuis, il viendra
f = — — L cos (fl = -r(1 — COS (jt)
qui fait coniiaiire la lui du mouvement de la verge IIIV. Il est visible (pieeelle-ei prend un mouvement oscillatoire qui s’étend dejiiiis £ = 0
