KM R

si l’on tire de là 1a valeur de K pour la subslitui+ dans l’équalion préeédenle, il viendra enlin

m r:*a‘ra.

M""2GR*t'-’

ipii fait eunnaitre le rapport entre la niasse m et 1a masse de la lerir, et par suite, le rapport entre les densités. Cavendiseli a trouvé ainsi que la densité de la terre est ('{çale à S fois celle de l’eau.

ClIAPITUK XVI.

.Mmivemrnt d*un système de points matériels liés entre eux d'une manière i|Uclennqiie. — l’rinripe de li’.MeiniMM t. — Pi ineipe de D'.Meiiilierl iiioditié pour le ras d’une perrussimi. — .Spplieatinns à dilTérenls exemples.

141. Mouvement d'un système de points matériels liés d'une manière tinelcoixfue. l'rineipe de. D'Ahiflhert. — Le jirohlèmc géiiérnl de la dynamique consiste à déterminer le monxcmeni des dilTérenls points nialériels d’un système, eunnaissanl les forces dont cliaenn de CCS points est animé, ainsi que les liaisons inexlensihles ou varialdes qui existent entre eux. Il e.st visililc que le mnmement elfeclif de ehaque point est produit ]iar la résultante des forces motrices qui agissent sur lui et des forces intérieures qui naissent des liaisons; si donc on pouvait déterminer les valeurs et les direelions de ces forces inléricures, on pourrait considérer eliaque point matériel comme isolé et poser les éqtialions dilTérenliclles de son moiivcmenl comme on l'a vu aux eliapiires XIII et XIV. Cette inarelie a l’ineonvénient d'exiger le plus souvent une méthode dilTércntc pour la mi.se en équation de ehaque problème; mais une remarque fort simple conduit à une solution générale et uniforme [loiir toutes les queslions de dynamique. Considérons un système de jioints matériels m , ni', m", etc. .soumis à l’aelion de forces motrices et à eerlaincs actions mutuelles résultant soit des attractions entre ecs points, suit de leurs liaisons jiar des lils extensibles ou inextensibles. Appelons ces dernières forees intérieures du système pour les distinguer des forces motrices

IIIU’I'IIII. \M.

|iro|ir<‘incnl dites, que nous ii|i|ielleroi>s forces extérieures ; le iiimive- Mieiit lie elia(|iie )ioint miilériel résiillein de la eoinhinuison des liinTs inlérieiii’cs et extérieures auxquelles il est smiinis ; de sorte que sa véaetion sera toujours épale et o|>|iosée à la résultante de eelles-ei, et par eonséqiient il y aura à eliaqtic instant équilihre autour de chaque |ioiiit entre les forces extérieures, les forces intérieures et les réactions dues à l'inertie. Kn réunissant tous les systèmes de foree.s en équilibre autour de chaque point, on voit qu’tï y a équilibre au moyen des liaisons entre toutes les forces extérieures , les forces intérieures et les forces d'inertie, puisque la réunion de plusieurs ÿ^roupes de forces en équilihre forme évidemment un système en équilihre.

Si les liens qui unissent les points du système sont inextensibles, la relation précédente se simplilie, car les forees intérieures se préseutenl alors par coujiles de forci-s égales, opposées et agissant aux deux extrémités de droites inextensibles; elles se font doue équilibre deux il deux et l'on est alors conduit à celle proposition : dans un système f/c points tnatériels en inonreinent , à liens inextensibles, il y a (i cliaefue instant é(juilibre par l'intermédiaire des liaisons, entre les forces extérieures qui ayissent sur le système et tes réactions dues à l’inertie.

Si quelques uns des points matériels étaient assujettis à demeurer sur des surfaees ou sur des courbes données, ces surfaces ou ces courbes exerceraient contre les' points matériels des pressions normales qu’il faudrait ranger parmi les forees extérieures qui concourent à l'équilibre précédent.

On a vu plus haut que dans un système quelcon(|ue en mouvement, il > a iiéeessaireinenl éipiilibre entre les forees extérieures, les forces intérieures et les réactions, et l’on vient de voir i|uc dans un système dont les liens sont inextensibles, l’équilibre existe entre les forees extérieures et les réaelioiis. Kn rnp|irochant ces deux propositions, on est conduit h ce principe, du reste évident, qu’l’/ y a équilibre dans ces der/iiers systèmes, entre les forces intérieures qui naissent îles liaisons, r'esl-n-dire, entre les tensions inlérieure,s.

Ces conditions d’équilibre mises en équations et joinU-s à celles qui expriment les dixers modes île liaison, font connaitre toutes les cireonslances du inouxement de chaque partie du système.

Il est visible que les équations du mouxement d’un point niatériel unique, données aux eha|iitres XII et XIII ne sont qu’un cas particulier des précédentes. puis(|u’elles ne font (pi’exjirimer l’égalité de la

fore»! iiiolric)‘ et de la l'oi'ce il'iiicrtii* ap|>iii|iit'i‘'; à un n»‘nii‘ |)uiiil.

(i'est à D’Ali'iiilici'l i)uc l’un duit la rernurqiiu impurtanle i|iii prr- «■ùdc «I (|iii a l’avanlajîu de traiisldriner loiilc quusiion de iiimivfiiiriil cil lin probicinc d'cqiiilibrc ; on lui a doiiiu; le nom de piinclp<‘ ilf D'Aleinhei t. Ordiiiiiii'emenl ou le présciile sous une forme un peu diirérenle ; K étaiil la foire qui devrail agir sur un des puiiiK ni dclueiiê du système pour lui eommuniqiier le mouvement elfeetif ipi'il prend par suite de scs liaisons, on sait que la force d’inertie est égale et opposée à R cl si on nomme cette force R force effective, le premier énoncé du |irineipc pourra èire remplacé par le suivant : il ij a à clinr/ite instant éi/uilibre entre les forces motrices intérieures et extérieures et les forces ejfectives , ces dernières étant prises en sens inverse. boi-siiiic les liens intérieurs sont inextensibles, les forces intérieures disparaissent et alors il >j a éiiiiilibre entre les forces motrices extérieures et les forces elfectives prises en sens inverse. Kntin si dans le cas de liens inexteiisildes, on décompose autour de cliuque point, la force motrice extérieure en deux autres forces dont l'iiue soit la force elTcctive elle-même, et si on ajipelle force perdue la deuxième coinposaiite qui se trouve ainsi l■nlièrenlenl déterminée, la première eumposante sera détruite par la force elfectivc |irise en sens inverse et le dernier énoncé pourra être remplacé par celui-ci ; il if a éijuililirc u chaque instant entre toutes les forces perilues.

Ce dernier système de forces en équilibre est identique avec i;elui des forces intérieures |irovenanl des liaisons inextensibles, mentionné plus haut; car si P est la force motriee (lig. Mlll) qui agit sur le point M, 1' la force intérieure provenant de la liaison du point M à un autre point du système, R la résultante de P et T, R sera la force elfeelive et il est visible ipic si l'on décotuposc P en deux autres forces Mu, Me' <lonl l’une soit la force etfectivc R, la seconde composante Mc' -s i’, nommée force perdue, est égale et opposée à T et n’est par conséquent que la tension du cordon qui aboutit au point M. Il est donc iudilVérenl dédire (|uc les forces perdues ou que les forces intérieure^ proveuanl des tensions de liens inextensibles, se font é(piilibrc.

H i. l'rincipe de. l)' .Uernhert modifié pour le ras il une percussion . - la' prineipr- général énoncé plus liant si'rail encore vrai si pendant le niouvenieulil s'opérait des changements brusipies dans les vitesses par suite des percussions siinultanées soit entre les points matériels du système soit entre ceux-ci et des obstacles extérieurs; ou suit, en cITcl, (pie les |ierciissions développent de véritables forces motrice'.

cii.\t>rrnE xvi.

auxquelles s'applique par conséquent tout ce qui n été dit au numéro précédent et qui ne dilTcreiit des forces motrices ordinaires qu’eu ce qu’elles sont incomparablement plus considérables, ce qui est cause (ftac, quoique n’agissant que pendant un temps très court, que nous supposerons égal pour toutes, ce temps leur sullit pour engendrer des vitesses et par suite, des réactions finies. Pendant ces percussions tous les corps eboqués se compriment plus ou moins; il faut donc considérer le lieu fictif suivant lequel se transmet l’action mutuelle pendant la percussion, comme variable de longueur ou élastique et il y aura à ebaque instant équilibre entre les forces extérieures, les forces intérieures et les fori'es d’inertie, en rangeant parmi les forces extérieures celles qui résultent des percussions contre des obstacles extérieurs, e( parmi les forces intérieures celles qui naissent des percussions entre les corps du système ; or la durée extrêmement petite de l’aetion des forces provenant de« |tercussions permet de simplifier le système de ces forces en équilibre ; en elfct dans l’instant qui ]irécède le moment où commencent toutes les percussions, il y n équilibre entre les forces intérieures, les forces extérieures et les forces d’inertie telles «iii’ellcs sont à cet instant. Immédiatement après la percussion, il V a encore équilibre entre les forces de même nom; or pendant la durée extrêmement petite des percussions, les forces intérieures et extérieures et les forces d’inertie n’ont fait que s’accroître des forces engendrées par les percussions , sans que les forces motrices proprement dites, aient eu le temps de cbauger de grandeur; il est donc visible que le système en équilibre après les percussions, se composera du système tel qu’il était auparavant, augmenté des forces de percussion et des forces d’inertie engendrées par les percussions , et si on supprime dans ce second système les forces intérieures et extérieures et les forces d’inertie primitives, on voit qu’i7 y a éfiuilibre entre fc.s percussions ou plutôt, entre les forces motrices (fui servent de mesure à ces percussions et les forces d’inertie, c’est-àdire, les ijuantilés de mouvement tiii’elles ont emjendrées.

I4Ô. Applications à différents exemples. — Ap|tliquons les principes précédents à la solution de quelques problèmes de dynamiipic.

Proposons-nous de déterminer le mouvement de deux points matériels pesants ni et m' (lig. 101), liés par un fil ni\m' flexible, inextensible et sans pesanteur, ces points étant assujettis à ylisscr sur deux droites AU et AC renfermées dans un plan vertical et le fl devant ylisser sur une poulie placée au point de rencontre A des deux droites.

i>YSAJiigLr,.

Si m Kl ni' sont les musses de ees deux |iiiiii(s cl a el fi les iiieliiuiisuiis B el () des deux droites sur l’horizon BC, en désigmiiit |iiir v I» vitesse avec laquelle le point m descend le long de AB, sa force

d'inertie sera m ~r- agissant dans le sens B A el eouimc la vitesse de m' rff °

est la même que celle de ni, mais dirigée de C vers A, la force d’inertie de , ,

de lit' sera aussi ni' — dirigée dans le sens AC. D’nprcs le prinei]ic de

D’Aleinbert modifié pour les systèmes à liens inextensibles, il y a à ebaque instant équilibre entre les forces intérieures nu les tensions <pii naissent des liaisons; les tensions des cordons Ain' el Ain passant sur une poidie, doivent donc être égales; or la tension en ni est égale à la ennipusantc du poids iiiij dans le sens AB ou iii.q siti a diminuée de

de la force d’inertie •'* ’ parce que celle-ci agit en remonlaul; la

tension en ni est de meme ni 1/ uni p -h m ; on a donc pour condition d’équilibre des forces intérieures, ou ()our équation du inonvemeul du système,

lin , , do

niij sm * ni -yy = ni <j sut p -t- ni ~ >

'e / ni sin » — ni' sin S\

ft m -+■ m' J ’

el eu intégrant el représentant par x la distance Am ,

dx m sin a — m' sin S

0 ou -— = q l -t- C

al 111 in

1 m siii a — m' sin P ^ „

x = -</ — , ^ I- -4- Cf -I- I).

2 ni -4- lit

Ces valeurs comparées à celles obtenues (N“ 110) pour la ebute des corps pesauls, fout voir que les bus du mouvement du point ni sont les mêmes que celles d’un point matériel pesant tombant verticalemenl en vertu de la pesanteur, l’intensité ij de la gravité étant l’éduitc à

lit sin « — ni' sin p III ni'

On (d)lieut la tension du lil iiiAiii' en rcmplaeaiit |iar sa valeur

cim-niii. \M.

'JCHi

«l.iiis ri'\|iirssimi (liftV-rciiticllc nuj ^iii * — m de rcUc tnl^i(»ll «•( mi lnni\f

mm'

(siii üt -4- siii 3).

On Mtil i|iii' (rllc Iciisiiiu est eonstunle peiiiliint Imite I:i iliirée du iiioinemeiit.

Si les deux droites deviennent vertienles, le syslènie se rédnil ii ileiix points niiitêriels suspendus vertie.deinent mix exlréniitcs d'nn cordon pHssanl sur une poulie, el les inléfçrnles précédenles ileviennenl , en snpposinil milles In vitesse initiale el l.i Videur initiale de x ,

ipii appreiiiieiit ijue le point w descend vertiealenient di- la niéine manière ipie s'il idiéissait liliroinenl à la gravité, rinlensilé de

eelle-ei étant diiiiiiinue dans le rapport de y a y — — ,• On voit par

là fpi'en prenant les masses m et m’ peu diirérentes entre elles, on pourra ralentir autant tpie l’on voudra leur mouvement, ee ipii |ierinettra d'en observer toutes les eireonslnnees pour en déduire les lois de la chute des corps graves. C’est cette remaripic qui a donné lieu à la construction de la macliine d’Atvvood.

Si dans le problème précédent, le lil était extensible, l’équilibre devrait avoir lieu I" entre les forces extérieures, c’est •à-dii’e la gravité ma el la pression mli de la droite <’onlre le point, tj" les forces intérieures ou la tension T du cordon iii Am' et ô" les forces d’inertie; or la résultante du poids muet de la pression mb est md qui est

dv

égale à my sin o. et l’inertie est entaire

m ; les forces qui agissent

en m .sont donc my sin a, — m et T dirigées suivant Am. De même en désignant par c' la vitesse de. m’, la force i|ui agit en m' est aussi m'«y sin fi - -m' T', r" étant dill'éreni de r parce que le lil n'a plus

une longueur invariable. Comme un ressort tendu est également tiré

DVNXMIl.HI..

•jr.7

pm- Ids ilniN ImiiiIs, i-I ipir r(-(|iiililii-f ii'csl pi»siblc imiIit its «Iciin $;r(>ii|ics (le Ibrees li('Ts piii- un lil rj leiisililf , (lu'eii iiilinclliinl (pie i'(■qllilillre :i lieu daus elia(pie groupe, (iii doil avoir

... ilv . , . ilv'

I == I , iiKj sin « — m -- — I — 0 , III fl siu P — m —jj — '1 — 0.

Ou lire des deux dernières

clv , ■ , ,

my SIU a — 111 — =:: III y SI II P — III ~j- ;

mais d'un aiilre cùlé , si un désigne par a;' la dislanee ui'A et qii’iiii suppose la leusiou du lil proporliounelle à sou allougenient, l étaiil la longueur totale du lil quand il n'est pas tendu et p le coeflicienl de re.vteusiliilité ou rallongement de ruuilé de longueur du lil soumis à une Icnsiuu égale a l'unité, on aura aussi

x' = l -1- p/T = l + jlI

iiiy SIU a — III

Jt

d'où l'on lire eu diiréreuliuiit par rapport au teiu|isj

il-x il*x' , i/’k dr

-r—H “l'O-r-, ou — r-

ili‘ dt> ■ dr' dt

dv'

dv' , d^v

■ —r- = — uhn ~ —

dt dr

Si on élimine entre cette équation et la première, il vient

dv ufiiiin' d'’r dt ni +- ni' dr

iH siu « — «l'siiiS d’r

: (/ ■ - . L ou ,\

dr

dr dt

dont l'iuti'grale fera connaître r en ronetioii de t, et eu rem|daeaiit r dx

par une nouvelle iiil(‘gration donnera x en fonetion de t. Cette ('(piatiou liiu'-aire et à eoellieients constants a pour intégrali's

r - : Il t Ht -t- M y \ cos N (/.A siii — -

.r = K -t- lit ■+- Ht^ H- AM sin —— — AN eos ,

M, .N, I), K, étant i|iiatre eonstantes arbitraires que l’on détermine eu (de-ervaut (|uc si V, V', e et L sont les valeurs initiales de- vitesses

uivmiik \vi.

■J(iS

(les jHiints vi H ni', <ii‘ x rt de I» lon(|;uctir x -i- x' du lil , on n en f'iiiMinl I nul diins lu Mdriir de x, de r et dans celle de x x’ après

avoii' dérivé, aliii de IdriiuT la valeur de — h — — ==e -v- e',

lit