V -1- V' = mul

e E — AN , L = / -♦- [//«( (g sin a — H — N).

l’roposons-nous encore de déterminer le muiivcment des deux points matériels précédents en tenant compte de lu masse de la chainc w\m' sujiposéc paiTniteinenI flexible et inextensible. Soit / lu loiij^ueur mAm' de lu chaine su|>posée unifurme, p la masse comprise dans l'unité de longueur, x la dislance Am et r la vitesse du point m supposée dirigée dans le sens AB. D'après le principe de D’Alcmberl, il y a équilibre entre tontes les forees intérieures qui naissent des liaisons des points matériels; ees forces se eoinposent des actions et réaelions réciproques des éléments de lu ebuine contenus dans Am et Am' y compris la tension au point A, et eoinnie ees actions et réaelions entre ebaque élément .se détruisent, il sullira pour l'équilibre d’exprimer (|uc la tension au point .4 dans le .sens Am est égale à lu tension dans le sens Am', c’est-à-dire, que les forces dirigées suivant Am .sont égales aux forces dirigées suivant Am'. Les premières se composent du jioids du point ni et de. la cliuine Am estimée dans le sens AB, ou (mq -t- px^) sin 5t, diminué de la force d'inertie de cette masse Am, dv

qui est (m h- (tx) — - La force qui agit suivant Am' est

[m'q -H p(/on a donc l’équation

• x) 17] sin fi -t- [m' -t p (/ — x)]

dv

dv

Tl’

(»></ + pxg) sin a — (m -4- px) =

[m'ÿ -4- P (/ — x) 9] sin j5 -4- [m'

d'où l’on tire

dv d*x m sin w — m' sin 0 — p/ sin S -4- px (sin a -4- sin S) dt dt* m -4- m -4- p/

Si l'on représente par P, P' et p les poids des masses m,m' et de l’unité de longueur de la chaîne, celle valeur deviendra, en supposant

DÏ.N.UIKil'E.

les deux droites verticales, c’est-à-dire, lors(|iie les deux poids pendront lilircment aux extrémités d’une ehaîne passant sur nne poulie,

f/*x P — P' — pl ‘ipx P -t- P' t pl

En multipliant les deux meinlires par 2dr et intégrant, on connaîtra la vitesse et une seconde intégration conduira à la valeur de x en fonction de l.

Résohons encore le problème suivant : aux deux exlréniités B et II' (lig. 102) d'un cordon inextensible et supposé son* pesanteur BAA'B' passant sur une poulie, sont suspendus deux corps de forme prismatif/ue BD et B'D' d'une densité connue, et ces corps plongent en partie dans des rases remplis de liquide dont les niveaux constants sont C et C; on demande de déterminer les lois du mouvement de ces corps.

Soit X la distance variable AB, l la longueur BAA'B', a la bauteur constante AC, A la longueur Bl), u la base de ce cylindre, m la masse de l'unité de longueur, p le poids de l'unité de volume du liquide, cl employons les mêmes lettres accentuées pour représenter les qiiantitées analogues du cété B'I)'. Pour exprimer qu’il y a équilibre entre les forces qui proviennent des liaisons ou entre les tensions, il faudra égaler les forces qui agissent sur le point B à celles qui agissent en B'; or la tension en R se compose du poids du cylindre BD, diminué ilu poids que lui fait perdre la pression de l’eau et diminué de la force d’inertie; cette tension sera donc, en remarquant qu’un corps perd dans l’eau une partie de son poids égale an poids du volume d'eau déplacé,

tngli — (h — a -\-x)up — mil -jj = m'gh' — (A' — a' -t- x') u'p' -e m'h'-~^ »

d’où l'on lire, en remarquant que x-*-x' = /,

dv d’x mgh — m'gh' -t- (A' — a' -t- / — x) up' — (A — o -t- x) up

dt dt’ mh m'h'

que l’on intégrera complètement comme dans l’exemple j)récédenl; le inouvernenl est donc de la même nature.

Si on tenait compte de la résistance que le fluide oppose à la descente de BD, il faudrait considérer celle résistance comme une force motrice extérieure agissant dans le sens DB et par conséquent la retrancher des autres forces qui agissent en B. En supposant la résistance pro-

CHAPITHE XVI.

porlioniicllc au carré de la vitesse, elle aura iir* pour expression et réqiiatioD précédente deviendra

mgh — {h — o^-x)i«;6 — — iiv^=m'(jh'—{h' —

dv

Tl

On intégrera cette équation différentielle qui contient trois variables x, r et t, en remarquant que

dx

d'on

, dx

dl^—,

dont la substitution fera prendre à l’équation différentielle la forme (mh -4- m'h') vdv -h nv*dx — (A Bx) dx,

qui deviendra une équalioii linéaire du premier ordre après qu’on aura remplacé r* par une nouvelle variable u.

Nous terminerons ces applications par le problème qui suit : Déterminer le mouvement que prennent deux chaînes BCD et B'C'D' (fig. iÜ3) suspendues aux deux extrémités B et B' d’un cordon sans pesanteur passant sur une poulie, les extrémités de ces chaînes se reposant sur des plans horizontaux (M) et C'D'.

Posons AB==x, AC = o, A'B' — x', A'C' = «’, AB-+-A'B' = /, m et m' étant les masses de l’unité de longueur des deux chaînes. Supposons que ce soit la chaîne BC qui descende; il est visible qu’à chaque instant un élément de la chaîne d’une longueur dx se détachera du plan C'D' et prendra une vitesse r ou une quantité de mouvement m'vdx dans le temps dt; cet élément acquerrait donc, dans

l’unité de temps, la quantité de mouvement

m'vdx

~dT

Telle est la me-

sure de l’effort exercé au point C' pour soulever un élément de C'D'

lie la chaîne. Par suite de la réaction de cet effort, la chaîne B'C’

, , dx

éprouve une tension dirigée de haut en bas cl égalé a m c ^ ; or

d’après le principe de D’Alcmbcrt, il y a équilibre entre les tensions intérieures, c'est-à-dire, que les forces qui agissent en B sont égales à celles qui agissent en B'. La force appliquée en B est le jioids de BC diminué de sa force d’inertie. En B' c’est le poids de B'C' augmenté

dx

de son inertie et de la réaction de m'v

dt

on a donc

~TÎ

DYNAMIQUE

OU bien, en rcmarquaiil que

vdv

o = et i=/-x,

, , dx

ma -+- fn'o' — m’I — (»n — ni) i

dx.

Quand on aura remplacé e* par une nouvelle variable u, cette équation différentielle sera du premier degré et du premier ordre et son intégration sera ramenée à une quadrature.

Si les deux chaînes avaient un poids uniforme et qu'elles formassent les extrémités d’une chaîne continue passant sur la poulie que nous réduirons à son axe , on trouverait en désignant par x la distance

, dx

d’un chainon quelconque B au point A et en remplaçant -- par o,

dv

ag

dt ^9 • "fil ’ ~,ii' ^

qui a pour intégrales, en faisant commencer « et x avec le temps,

,dv dx , , ,