ou bien , dt ■■ dt

(n -4- o') dv

ty'ia —a')g 1 ^/(o — n'j ÿ

: (a -4- a') log -

On voit qu’après un certain temps, la vitesse est sensiblement uniforme et égale à j/(a — a') g.

Dans les problèmes précédents , ou n’a pus tenu compte de l’inertie de la poulie.

ClfAPITUK XVI!.

Mouvenieiil ci'uii système de forme itivariahlc autour d'un a\e fixe. Pressions supportées par Taxe. — Calcul des moments d’inertie. — Caleiil des moments eonjugnés. — Théorèmes sur les moments d'inertie. Ellipsoïde central. — Axes principaux d'inertie. — Théorèmes sur les moments conjugués. — Propriété des ellipsoïdes centraux d'inertie. — .Mouvement sans forces motrices d'un corps solide autour d’un axe fixe. Vitesse angulaire. Pression sur l’axe. — .Axes permanents de rotation. — Vitesse de rotation duc à une percussion. Ilireclion et mesure de la percussion. — Cas où le corps choquant s'attache an corps choqué.

— Cas où le corps choquant se sépare du corps choqué. — Percussion eprousée par l'axe. — Centre de percussion normale .à l’axe fixe. — Centre de percussion ohlique à l'axe fixe. Théorème général sur ces centres. — Mouvement d'un corps pesant autour d’un axe horizontal. — Oscillations d’un pendule composé.

— Centre d’oscillations. Propriété de ce point. — Moments d'inertie déterminés expérimentalement. .Application au ptmdulc halistiquc. — .Application ou mouvement du treuil.

144. .Uouvemi-nt d'un syntème, de forme invariahle autour d'un axe fixe. Pressions supportées par l'axe. — Pour déterminer le monvcnicnt autour d’un axe fixe, d’un système de points matériels liés eutre eux d’une manière invarialde et soumis aux actions de forces motrices quelcotKjues, représentons par m la masse de l’un de ees points, par X, y, z ses coordonnées, par X, Y, Z les forces motrices i|ui y sont appliquées parallèlement aux axes, et cmplovons les mêmes lettres accentuées pour représenter les quantités analogues pour les autres points. L’axe de rotation, que nous prendrons pour axe des Z, peut être rendu immobile en fixant deux quelconques de ses points ; ces

iiY> VMigL'i:.

(leux points fixes dproim-roiil alors îles pressions dans certaines direetions inconnues, et si on les décompose en trois autres parallèleincnt aux axes, il est visible ipi’on aura deux pressions parallèles à eliaque axe, lesquelles pourront être composées deux à deux eu une seule, de sorte que les pressions éprouvées par l’axe fixe et pur eonséquent les réaetions de l’axe fixe contre le système pourront généralement être représentées par trois forces P, (J et R appliquées à l’axe de rotation et [larallèles aux axes des X, Y et Z, cette dernière R étant renfermée dans l’axe même et les deux autres étant appliquées en des points de l’axe des Z plaeés à des distances inconnues de l’origine, représentées par P et (/. En introduisant ces trois forces dans le système, on peut supprimer l’axe fixe et le considérer comme entièrement libre. Or, d’après le prinei|ie de D’Alembert, il y a équilibre entre les forces d’inertie des différents points et les forces motrices extérieures, en eomprenaiit parmi ces dernières les trois forces P, Q, R. Pour un des points m du système, les forces motrices sont X, Y et Z, et les forces

d inertie parallèlement aux axes sont m -j^t d '»

en sens inverse; puisque ces forces jointes à P, Q cl R, se font équilibre dans le système, elles doivent satisfaire aux six équations d’équilibre trouvées en statique; si donc on emploie le signe 2 pour désigner une somme de quantités de même nature et relatives aux différents points du système, on doit avoir :

2 I" (x - .« X J -I- Pp = ü ,

lestpiclles, jointes aux conditions qui expriment que le système est de forme invariable, feront connaître toutes les circonstanees du mouvement ainsi que les pressions P, O et R supportées par l’axe.

CIIAPITHE XVII.

Pour fxpriliUT que le système est de forme invariable, par l’axe de rotation et un point détermine du système, le rentre de gravité, par exemple, faisons passer un plan que nous prendrons pour eelui des (.\Z,); un plan perpendieiilaire h celui-ei et jinssant par l’axe, sera le plan roordonne des (Y^ Z,) et l’aneien plan des (-XY) qui jusqu'ici est arbitraire, sera le plan des (X, Y,). Si (x, , y,, z,) sont les coordonnées du point m relativement à ces nouveaux axes, (x/, y/, z,’) les coordonnées de m' etc., il faudra pour indiquer l’invariabilité du svstèuic, exprimer que ces nouvelles coordonnées sont invariables par rapport au temps; à cet effet remarquons que comme l'origine et l’axe des Z n’a pas change, on a

1 = 1^, z' = z/, etc.

Quant aux coordonnées i, et ly, , en désignant par l’angle formé par le plan des (.\Z) avec le plan des (X, Z,) ou l’angle formé par l’axe de X, avec l’ancien axe des X, on sait qu’il existe entre les anciennes coordonnées et les nouvelles les relations

X = X, cos 11 — y, si II •/ y = X, sin >1 -t- y, cos >) ;

d’où l’on tire, en diiïércntiant par rapport au temps et en remarquant que (x, , y^, z,) etc. doivent être invariables, tandis que l’angle >I varie avec le temps,

ill^

il*X

cos »)

(/* sin >î

il fi""

■'J'-fifi-

il*y

sin >)

d* eus 11

dfi^

dt'-

Si l’on substitue ces valeurs dans les six équations du mouvement, , d-sinii d*cosv)

eu observant que — — — et — ; > etc. sont sous les signes ï des

‘ f/t* fil* ^

facteurs communs constants pour tous les points du système, et qu’on

représente par r, r', etc. les distances des points tu, ni', etc. à l’axe

des Z, ces équations ilcviendront :

<1* eos 11 sin il

,x H- - -rfTT--'».'/-

I» .N i MIQI K.

tl* sia M d* cos vj

U = — ïZ ,

(/■*>l (a-Y — yX)

dt-

luir^

'.(yZ-rY)-^

rf* sin <1 (/* Kos i)

. (/*COS>î <i*SIII»1

— ï (i\ - • jZ) ■*• — i ; - ïHira", — — linzv,

) ,lii ■ ■ ,l,i :/<

Les \aleurs df 1* et d<‘ ij sc siiii|)lilii‘iit, si l’on observe que ïmx^ et ïHiy, étiiiil les soinnies des moments des poiiils matériels par rapport aux plans des (Y’, Z,) etdcs(X^Z,), la seeondc somme est nulle, puisque le centre de gravité est renfei'iné dans le second plan, et la première somme devient M/ eu représentant jiar M la masse totale dii système et par / la distance de son centre de grav ité à l'axe. Les trois premières équations se réfloisent donc à

-- iX -( M/

d- cos •»}

Quant aux trois dernières, remarquons que les somines S (a Y' — yX), ï (rX — iZ) et 1 (yZ — jY‘) qui y entrent, ne sont autre chose que les sommes des moments des forces motrices par laipport aux axes des Z, des Y' et des X, c’est-à-dire, les sommes des |>rodnits des composantes des forces estimées noniialemcut a l’axe, par leur distance à l’axe ; en les désignant donc par lî", U', U, les trois dernières équations deviennent, en tenant compte des réductions faites dans les valeurs de P et de Q ,

V" i III r-

(/* cou yi d* sin yi

^ ïoi'.x -V- — , ^ d,t ■ • lit*

ïX

d* cos 7, dl*

r.llAmilK Wll.

d* «iii (5 'dl*

— ïY h Ml