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d- siii >1 ^dl*~
L’cqiiation (4) ptanl inlrgroe, fera connnilrc à chaque instant l’angle vi et en subslilnnnt sa valeur dans les cinq autres, on aura ü chaque inslant les trois pressions P, Q et R, ainsi que p et (/ en fonction du temps.
Si le systcnic, au lieu d'être compose de points matériels isoles et liés entre eux, formait un corps solide continu, on diviserait ce corps en éléments inriniment petits, cl en rcpréscnlanl par (x, i/, ï,) les coordonnées de l’un quelconque dm de ces élétnciits et par r .sa distance à Taxe de rotation, les proiluiLs inr'‘, mz,x,, w:, y, seraient remplacés par r*(/ia , z^xplin, dm , les sommes ir*dm, lz,x,dm, lz^y,dm qui seraient alors de vérilahlcs intégrales délinics s’étendant au corps entier, «Icvraicnt être désignées par J'r*dm, J'z^x^dm, fz^y^dm et il faudrait commencer par déterminer les valeurs de ces trois intégrales ()ui dépendent de la forme et de la nature du rorps en mouvement.
145. C.ulcul dfH mome)ilii d'iiifrlie. — La liremière des trois intégrales délinics précédentes représente la somme des produits
de tous les éléments du corps par le carré de leur distance à l'axe de rotation cl a été nommée moment d’inertie du corjm pur rapport (i rel axe parce qu’il est le coellicient de la somme des moments des forces d’inertie par rapport a l’axe. Pour calculer sa valeur, coneevons la masse partagée en parallélipipèdes inliniment petits, par des plans parallèles aux jilans coordonnés et distants les uns des autres de dx, dy cl dz; le volume de l'un de ces paralléli|iipèdcs est représenté pur dx.dy.dz, sa masse dm l’est jiar pdxdydz, en appelant p la densité <lc cet élément, et le moment d’inertie du corps, par J'pr* dx dy dz, ou plutêt par l’intégrale triple
ff/t-f-iixdydz.
celte intégrale étant étendue aux trois dimensions du corps entier. .Si la densité est la même |jartout et que l’on prenne le moment d’inertie
par rapport à l’ave des Z, lu distance r est égale à y* et l'expres-
sion précédente devient
p///(^* ;/-) = p/dzfdy f(x- y*) dx,
nvxASiiOïK.
les limites de chacune de ces intégrales devant être prises de manière à étendre la somme au corps entier. La marche à suivre pour intégrer est, du reste, la même que pour déterminer le volume ou la surface d’un corps donné (N“‘ 489 et 19ô du traité d’analyse).
Si le corps est un parallélipipèdc rectangle homogène et qu’on veuille avoir le moment d'inertie pur rapport à l’une des trois arêtes, en désignant par a, b, c les trois dimensions, les trois intégrales devront être prises entre les limites 0 et a, 0 et &, O et c, cl l’on trouve , en désignant par A, B, C les moments d’inertie par rapport aux trois arêtes,
abc,, „ abc, „
abc
nu bien, M étant la masse du corps,
Pour le moment d’inertie d’un ellipsoïde homogène par rapport à l'un de scs trois diamètres principaux 2a, et 2c, on trouve :
A s= P -r abc (b*
ih
‘ P TT abc (a’ -t- c*), C = etc., 1 d
nu bien, en désignant par M la masse de l’ellipsoïde,
A = ^(6* -t- c*) , B=ele.
Le moment d’inertie d’un cercle de rayon r et d’une épaisseur s, par rapport à tine perpendiculaire h son plan passant par le centre, est égal à
Si le corps est de révolution, une seule intéjjration fait connaître le moment d’inertie par rapport A l’axe, comme dans la recherche du volume des corps de révolution ; car si on le divise en tranches circulaires , le moment d'inertie de ces tranches est, d’après ce qui pré-
cède, égal à - prr*f/x= -pn-{/x)*dx et le moment d’inertie total sera
l’intégrale définie de eetlc dilTcrenlielle. On trouve ainsi pour le
r.iiAmiiE XVII.
inonicnl d'inertie d’un cône droit à base circiilfiire, par rapport ii son axe, % et h élniil l’angle au soinincl et lu hauteur,
a/i* tnng a* tang* *.
140. Calent (les momeiils cimjuijués. — Les deux autres iiilégraies fxzdm et J'zijdm, ainsi que J'xydm, qui se présentera plus loin et que nous noinincrons inomenis cotijaejués par rapport aux plans (XZ), ete., s’obtiennent ]iar des moyens analogues; ainsi un mettra la première sous la forme
et les intégrations seront elTectuécs, roiume pour les eubatiires, de manière à les étendre à tous les éléments du eorps. Si eeliii-ei est un parallélipipèdc rectangle homogène et que les plans eoordonnés soient ses trois faces contiguës, les limites des trois intégrales seront évideinmcnl 0 et c, 0 et h, 0 et a, et ou trouvera |iour intégrale nualc,
fxzdm = ff faxz dx dy dz = p — ^
Les deux autres intégrales sont ;
et
On trouvera de même pour une sphère homogène ayant son centre placé en un point qui a |iuur coordonnées a, b, c,
f xzdm ~ - pcacr’’ s== Mac , Jyzdm = Mbc, fxydm~Mab.
On obtiendrait, comme plus haut, les valeurs de ces intégrales dans l’ellipsoïde rapporté h son centre et îi ses diamètres |irincipnux 2o, '2b, 2r; mais il est facile de rceonnaitre sans calcul que ccllcs-ei sont milles; en effet il est visible que, à cause de la symétrie de l'ellipsoïde par rajqiort au jilan des (XZ) , chaque élément ayant pour coordonnées (j, y, z) sera symétrique avec un autre élément ayant |)our coordonnées (x, — y, z), de sorte que si les différentielles yzdm et yxdm sont positives pour l’iin , elles seront négatives pour l'autre; les sommes f yzdm et fijxdm se composeront donc de suites infinies de ternies qui se détruiront deux à deux. En faisant la meme remarque sur riin des plans des (YZ) ou des (XY) , on rccunnait que la troisième
ÜÏXAMIQLE.
intégnilo est missi nulle. On voit pnr l.'i i|uc les iloiix intégrales /xyibn et J'ijzdin sont nulles si le pliin (XZ) divise le corps en deux parties syinéli'iiiues , et que les trois intégrales sont nulles quand deux des trois plans eoordonnés divisent le corps en deux parties symétriques.
H7. Théorèmes sur les moinents d'inertie. Ktlipso'ide central. — La reelicrehc des moments d’inertie par rapport à un axe donné peut être facilitée au nioven de quelques théorèmes que nous allons démontrer.
Connaissant le moment d'inertie par rapport un axe passant par le centre de gravité d’un corps, on connait immédiatement le inomenl par rapport à un axe parallèle au premier; en effet, si on suppose que ces deux droites soient les axes des Z et des Z’ dans deux systèmes d’axes coordonnés rectangulaires (.XYZ) et (.X'Y’Z') parallèles entre eux, en représentant par (a, b, c) les coordonnées de la (U'emière origine par rapport aux seconds axes, on a pour un point (picicoiiquc du corps,
et pour le moment d'inertie par rapport à l’axe Z' ou y(x'*
/ (■»'* ÿ'*) = /[(•'-*- «)* in !>)*] = */*) '/'«
-H (o* b*) J' dm -r- '2a f xdm -h 2b f ydm,
ou hicu, en désignant par .X, Y' les distances du centre de gravité aux ]dans des Y’Z et des XZ, cl par M la masse du corps,
/(x'* !/'*) dm = /(x* -t- if) dm -i- .Al (a* + Id) + 2nMX h- 2è.MY.
Comme l’axe des Z contient, par hypothèse, le centre de gravité, les distances .X et Y sont nulles cl celte valeur se réduit à
y’(x'* -t- y'*) dm = f (x* h- y*) dm -h (o* Id) M ;
or les deux intégrales de celle équation sont les moments d’inertie par rapport aux axes des Z' et Z cl si on siqqiose la masse entière concentrée dans son centre de gravité , le troisième terme reiirésenle le moment d’inertie de ce point matériel par rapport à l’axe Z'. De là résulte ce théorème : le moment d'inertie par' rapport à un axe yuelcunque est égal au moment d'inertie par rapport à une parallèle passant par le centre de gravité, augmenté du moment d'inertie par rapport d l'axe donné, du corps entier supposé concentré en ce point. En représentant par -AlK* le moment d’inertie par rapport à l’axe <pii
