CHANTRE XVII

passe par le ceiilre de gravite et par r la distance de l'axe parallèle, le moment d'inertie par rapport à celui-ci devient

MK* I- Mr* = M (K* -r r*).

Il résulte de là que , parmi toun les aies parallèles , relui qui passe par le centre de gravité a le plus petit moment d’inertie, et que tous les axes parallèles également distants de ce point, ont le même moment.

On peut aussi exprimer le moment d’inertie par rap[K>rt à une droite quelconque passant par l’origine , en fonction des moments d'inertie pris par rapport à trois axes rectangulaires, et des trois moments conjugués f xzdm , J~ xgdm , f yzdm , connaissant les angles que forme la droite avec les axes rectangulaires; en effet, si l’on désigne par x, y, z les coordonnées d’un point quelconque du corps par rapport h ces axes, et qu’on considère la droite donnée comme étant l’axe des Z' d’un nouveau système d'axes rectangulaires des (X'Y'Z') ayant la inéinc origine que le premier système, x', y', z’ étant les eoordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes, on sait que l’on a

x' =r a.r +- u'y -+- a"z , ÿ’ = 6x -H b'y ■+- b"z , i' = ex c'y ■+■ d'z ,

dans lesquelles {abc), (a'b'c'), (a"b"e") sont les cosinus des angles formés par les axes X', Y', Z' avec l’axe des .X, avec l’axe des Y et avec l'axe des Z, et comme le moment d’inertie par rapport à l'axe des Z' est représenté par J'{x* y'*) dm, ce moment est égal à

Ka'x* -T- a'*ÿ* a"*ï* -+- 2a a’xy ■+■ '2a a”xz -i- '2a'a"yz -4- b*x-

■+■ b'^y* -+- h"*z' ■+■ '2bb'xy ■+■ '2bb"xz -i- '2b'b"yz

On sait que les cosinus (a, a', a"), (6, b', b”), etc. ont entre eux les relations

a* -4- a'* -H a"* = 1 , O* -f- 6* -4- c* = 1 , aa' -4- bb' -4- ec' = O , qui donnent „t + à* = c'* -+- c"*, an’ -4- bb' =» — cc’,

aa" -4- bb" -4- cc" =0,

n’* -4- 6'* = c* -4- c’’*, aa" -4- bb" = — ce".

UVNAHIIjl’K.

L’ilitcgralc duvicnl uiusi

c' J'(y* + Z*) dm c'- f{x^ -+- z*)dm t- c'- J‘(x- -4- if-)dm

— icc' f xijdm — ’icc" fxzdm — 2f'c’' J'yzdm ;

si donc on représente par V le moment d’inertie cherché, par A, B, C les moments d’inertie par rapport aux trois axes rectangulaires des X, Y, Z, par P, Q, U les trois intégrales J'yzdm, J'xzdin, f xydm et par (a, j3, 7) les angles que forme la droite avec les axes des X, Y, Z, il viendra

V = A cos* a B cos* P -t- C eos’ 7 — 2R cos a cos p — 2Q cos a cos 7 — 2P cos P cos 7.

Cette équation fait connaître la loi suivant laquelle varie le moment d’inertie en passant d’un axe à un autre autour d’un point. Cette loi peut être rendue sensible par une construction géométrique; portons sur toutes les droites qui passent par l’origine et à partir de ce point, une longueur inversement proportionnelle à la racine carrée du moment d’inertie correspondant , c’est-à-dire , prenons sur la droite qui

fait avec les axes des angles *, S, 7, une longueur égale à >

n étant une constante quelconque ; les coordonnées x, y, z de l'extrémité de celte longueur, seront

x=— — cosa, l/=— — cosp, l=— — COS7,

et si l’on snhstitnc les valeurs de cosa, cosp, cos 7 tirées de celles-ci dans l’expression de V, il viendra pour l’équation de la surface formée par les extrémités de toutes ces droites,

n* = Ai* -+- By* -i- Ci* — 2Rii/ — 2Qii — 2Pyi ,

équation qui appartient à un ellipsoïde avant son centre placé à l’origine. D’on il résulte que les moments d'inertie d'un corps pur rapport aux différentes droites qui passent par un même point , sont inversement proportionnels aux carrés des rayons d'un certain ellipsoïde déterminé pour chaque point.

Cet ellipsoïde a été appelé ellipsoïde central des moments d'inertie. 148. Axes principaux d'inertie. — On sait que dans tout ellipsoïde il y a trois diamètres perpendiculaires entre eux qui sont tels que

CIIAI’ITIIK XVII.

si ou les prcml pour axes eoordonnés, réqiiatioii de la surlace se réduit fl la forme

H* = Ax* -t- 11^* -V- Ci*.

Ces trois diamètres, dans l’analyse géométrique, se nomment diamètres principaux de rellipsoïde. On sait aussi que si l'on clierelie les jdus grands et les plus petit-s rayons d’iin ellipsoïde, on trouve pour tri|)le solution les trois diamètres principaux. Il est visililc que, pour que les trois axes coordonnés auxquels l’ellipsoïde des moments d’inertie a été rapporté, deviennent les diamètres principaux, il faut et il suflil que les eocnieicnts P, Q, R soient nuis; A, B, C seront alors les inoments d’inertie du corps pris par rapport à ees trois diamètres qui prennent ici le nom d’axes principaux d'inertie, tandis que les inoinents seront des moments d'inertie principaux. On voit que ce qui caractérise ees trois axes |irincipaux relatifs à un point d’un corps, à l’exclusion de tout autre système d’axes rt'clangulaires passant [lar ce point, c’est que les trois intégrales P, Q et R ou

J'xydm, J'xzdm, J'xjzdm

étendues au corps entier, sont nullcs relativement à ces axes. Pour un point donné, il ne peut y avoir plus d’un .système de trois axes principaux d'inertie, parce que dans un ellipsoïde, il n’y a qu’un système de diamètres principaux rectangulaires, et ces moments d’inertie principaux jouissent de 1a propriété d’étre les plus grands ou les plus |ictits possibles pour un même point.

■ On démontre dans l’analy.sc géométri(]uc que lorsque l’équation de rellipsoïde se réduit à la forme

U* = Ax* -I- Ci* — 2Rxÿ ,

celte surface se trouve rapportée à trois axes, parmi lesquels Taxe des Z est un diamètre principal; or, pour que l’équation générale du 147 prenne la forme précédente, il faut que Q et P soient nuis, c’est-à-dire, que l’on ait

J'xzdm =r-0, J'yzdm=0;

d’où il résulte que les deux équations précédentes indiquent que l’axe des Z est un axe principal d'inertie relativement à l’origitic.

Connaissant les valeurs des trois moments d’inertie A, B, C d'un corps i>ar rapport à trois axes rectangulaires quelconques passant par un point, ainsi que les trois intégrales que nous avons désignées par

DYNAMMjt’E.

l’> Q> 1') il est facile de déterminer les directions des trois axes d’inertie principaux passant |ior ce point et les valeurs des inuineiits d’inertie qui s’y ra|iportcnt; il suftit pour cela de trouver, en grandeur et en position, les trois diamètres prineipaux de l’ellipsoïde dont on a trouve l’équation au numéro précédent, prohlème qui est du ressort de la géométrie analytique.

Puisque les trois intégrales P, Q , K sont nulles lorsque le corps est rajqKirté aux trois axes |>rincipaux d’inertie passant [lar un point quelconque, il résulte de la valeur de V trouvée plus haut, (pi’en représentant par A, H, C les moments d’inertie principaux relatifs à un point quelconque , et par (a, 7) les angles que /ait avec ces axes

une droite quelconque passant par le même point, le moment d’inertie par rajiport à cette droite est

= A eos* a B cos’ p C eos’ 7.

Cette formule, jointe à celle démontrée au commcnecmcnt du X“ H7, snllit pour calculer le moment d’inertie par rapiiorl à une droite quelconque donnée, connaissant les trois moments d’inertie princijuiux ])ar rapport au centre de gravité <lu corps et la position de la droite par rapjiorl à ces trois axes prineipaux; car la formule

V = A cos’ a B cos’ -s- C cos* 7

fera connaître le moment d’inertie par rapport à une parallèle à la droite donnée, passant par le centre de gravité et l’expression

V + Mr’

dans la(|uclle .M est la masse du corps et r la distance entre les deux parallèles, ou entre la droite ilonnce et le centre de gravité, donnera le moment il’inertie cherché.

14!l. ThéorvmeH sur les muineiils coDjtujités. — On peut aussi trouver immédiatement les valeurs des trois intégrales

/'xytim, J'xzâm, J'yzdm,

prises par rapport à trois axes rectangulaires quelconques donnes, connaissant les moments d’inertie prineipaux relativement au centre de gravité et les positions de ces axes principaux par rapport aux axes rectangulaires donnés; en effet, en désignant par x', y\ z’ les coordonnées d’un point quelconque par rapport aux axes principaux du centre de gravite, par x, y, z les coordonnées ilu même point par rapport aux axes rectangulaires donnés et par /, m, n leseoordon-

tllAPITIlE wir.

nées du eeiilre de gravité ]>ar rapport à ces derniers, on sait que l’on passe d'un syslc?ne d'axes rectangulaires à l’autre, par les formules

X = l + ax' ■+ hij -4- cz'

IJ = m -h a'x' h’y' + c'z Z — Il -h a"x' -4- f>"y' ■+■ r"z

dans lesquelles a, b, c, a\ b', e', eUr. ont la signification indiquée au N° 147 ; si donc on substitue a x, y, z ecs valeurs , en observant que les axes des X', V, Z' étant principaux, on doit avoir

J'x'y’dm = 0 , J'x'z’ilm = 0 , J'y'z'dm = 0 ,

et que les plans des X'Y', X'Z' et Y'Z' contenant le centre de gravité du corps, il faut que l’on ait

l'x'ilm = ü , f — 0 > f z' dm = 0 ,

on trouvera, toutes réductions faites,

/'xydm = MIm -4- aa' J'x'*dm ■+- bb’ J'y'^dm -4- cc' J'z'*dm,

on bien , en reinplarant les produits ou', bb', ec' par leur valeur tirée de la relation

00' -4- bh' -4- ce' = 0,

J'xydm = Mim — aa' J' {y'* -4- r'*) dm — bb' f{x'^ -4- i'*) dm — ee'y'(i'* ■+■ y'*) dm.

Les trois intégrales du second membre ne sont autre chose que les moments principaux d’inertie A, B, C relatifs au centre de gravité; on a donc

J'xydm = M/ni — Aoa' — Wbb' — Ccc’,

on plutôt, (a, p, 7) et (a. S', 7') étant les angles formés par les axes des X', Y', Z' avec X et avec Y,

fxydm = M/m — A eus a cos a' — B cos p cos p' — C cos 7 cos 7’ (1)

Une marche semblable conduira aux valeurs suivantes de J' xzdm et de fyzdm ,

y xzdm — M/h — A cos a cos a ' — B cos p cos p" — C cos 7 cos 7" fyzdm = Mmn — A cosa'cosa" — Bcosp'cosp" — Ccos7'cos7"

Ces trois intégrales prennent une forme très simple, lorsque les trois

|)>.>akh;ük.

iiionienlü d’incrlic principaux du ccnlrc de gravité sont égaux; elles SC réduisent alors à

fxijilm = M/«i , J'xzdni = M/« , /'i/zdin = à eaiise des relations

aa' H- bh' 4- rc'= 0, ete.

e’est-inlirc,

eus t eos a' -4- eos S eus -s- ros 7 cos 7' = 0 eos a eos a" H- eos eos cos 7 cos 7" = 0 cos a' eos a" -t- cos^' e0S|V' 4- cos 7' eos 7" — 0.

Os valeurs coïncident avec celles ijiie nous avons trouvées (X” I4(i) pour la splière, dans laquelle les trois inoinents d’iuertic principaux du centre sont eu elfet égaux.

Ku égalant à zéro les valeurs générales qu’on vient de trouver pour J'xydm, J'xzdm, /'ijzdm, ou est conduit à trois é<]ualions (pii servent h résoudre ce proldème : une droite riant donnée de position pur rapport aux trois axes prinripaux du rentre de i/ravilé, trouver le point de cette droite pour leifuel elle est axe d'inertie principal, et trouver la condition ü lariurlle elle doit satisfaire pour (iii'un semblable point puisse exister sur cette droite.

On trouve ainsi que les seules droites qui jouissent de la propriété d’élrc axes d’inertie |irincipaux relalivcmcnl à l’un de leurs points, sont les paralUMes à un des ravons de l’ellipsoïde ceniral du centre de gravité, renferniées dans le plan qui projette ce rayon ortiiogonaicnicut sur son plan diamétral conjugué.

Sans nous arrêter a celle rcclicrche , remanpions que dans le cas où les trois luonients priuci|>au\ du centre de gravité sont égaux, si on altaisse une jierpendiculaire du centre de gravité sur la droite donnée, celle-ci, ainsi que la perpendiculaire, seront des axes principaux relativement an pied, puisqu’en prenant la droite donnée pour axe des Z et la pei'pendieulaire ))our axe des .\, les deux coordonnées ni et H du centre de gravité seront milles et par conséquent, les trois intégrales (2).

Si les nouveaux axes coordonnés étaient parallèles aux axes princi-

'U Voir un mi^inoirc sur ce .sujet ilniis le recueil des Mémoires de l’Acadé’inie royale des Seienres de Belgique, loine XXI.

tllAI'ITHE Wll.

|)iiux (iii rpijlrc lie gravité, les angles (i, y, a', y’, a", p” seraient ilroils et il viendrait eiicnre

J'xÿdm = Mhn , /'xzdm y\ln , f ;/zdm — Minii.

Il résulte de ces valeurs, i|iie trois axes parallèles aux axes prineipaux du centre de gravité ne peuvent être eux-niênies jirineipaux, à moins que deux des trois coordonnées (/, w, n) ne soient milles, auquel cas l’iin des trois axes se eonfond avec un des axes principaux du eentre de gravité. On voit par là qu’un axe iirineipal du centre de gravité est toujours axe principal pour tous les points placés dans su direction, et que, pour chacun de ces points, les deux autres axes principaux sont parallèles aux deux autres axes principaux du eentre de gravité. Quant aux valeurs des moments d'inertie principaux correspondant à ces points, en su|q)osant ceux-ci placés sur l'axe C, à une distance r du centre de gravité, on trouvera, à cause du théorème démontré 147,

A Mr*, H -4- Mr«, ('..

On a vu plus haut (X“ 148) qu’eu désignant pai' A, H, f. les trois inoinenis d'inertie prinrijiaux d'un point quelconque d’un corps et par (a, p, y) les angles formés avec les axes principaux par une droite passant par ce iioint, le moment d'inertie pour celle droite est donné par

Y = A cos- a -V- R cos* P -t- (’ cos* y.

Il résulte de celte valeur que si les trois moments d'inertie principaux sont égaux entre eux, toutes les droites passant par le meme |)oint ont le meme moment d’inertie, puisque l’équation précédente se réduit alors à

V = A (cos* « -4- eos* P -4- eus* y) = A.

Celte propriété est d’ailleurs une conséquence de ce que, dans ce las, l'ellipsoïde des moments d’inertie se transforme en une sphère, laiimne dans une sphère tout diamètre peut être considéré eonimc axe principal, on voit que lorsque les trois moments d’inertie principaux sont égaux jiour un point, tout axe passant par ce point est un axe ])rincipal et par conséquent [loiir trois axi's rectangulaires ipiciconqncs, on doit avoir

/'j:iy(/m = 0, /'xzdm —l), J'yzdm — i).

DV.WMKjrt.

Lc's points d'un corps (pii ont les nioinonls d'incrlie principaux i‘)tanx entre eux , jouissent en ni(‘caniipic de propriétés imporlantcs ; proposons-nous donc de délerininer les eondilions pour qu'un corps donné présente de senililables points et clierclions ensuite leur position. Si l'on fait passer jiar le point cherché trois axes rectangulaires, ils devront, d’après ce qu’on vient de voir, former un système d'axes principaux quelle que suit leur direction, et par conséquent lorsqu'ils sont menés parallèlement aux axes principaux du centre de gravité; or, on vient de voir que ces axes parallèles ne peuvent être principaux h moins ipie l’origine ne se trouve sur l'un des axes principaux du centre de gravité ; c’est donc dans l’iin de ces derniers axes que doivent se trouver les |ioinls cherchés.

En représentant par r su distance an centre de gravité, on vient de voir que les trois moments d’inertie sont pour ces axes parallèles,

et (aimine ils doivent être égaux par hypothèse, on doit avoir

ipii expriment qu’un seinhiahie point n’existe dans un corps que si deux des trois moments d’inertie principaux du contre de gravité sont égaux entre eux cl que, dans ce cas, le point se trouve sur le troisième axe principal à une distance du centre de graviUi représenté par

• Il y aura dune deux points jouissant de la propriété

d'avoir ses moments d’inertie principaux égaux entre eux, pourvu (lue C — A soit positif, ou pourvu (|ue le moment inégal soit le plus grand des trois.

l.’iO. l'ropriété des flllpsuides centnuix d'inertie. — On a vu (|iie l’ellipsoïde des moments d’inertie autour de l'origine des eiiordonnéos a pour é(|ualioii

\x^ -(- Hi/’ -(- Cî* — — "2Qxz — 211x1/ == /d

et la géométrie analytique apprend que ré(|uation du plan diamétral (conjugué à l'axe des Z est

C: = l'i/ -V- <Jx ou hien z J'{x* -t- y-) dm — <J f yzdm -r- x J'xzdin.

CIUI'IIHK XVII.

si on ti'iins|iortP l'origine en iin point tie l’iixc des Z placé à une distance rdc l’origine, il famlra changer z en ; — c et réipiation dn plan diamétral conjugué à l'axe des Z dans l'ellipsoïde correspondant à cette nouvelle origine devient

{z — c) /(x* -4- </*) dm = y f y (z — r) dm -h x /x (z — c) dm , c’est-à-dire,

y) !/*) U fU'dm — ry fydm

-t- X J'xzdm — ex J'xdm

qui, en représentant par x, et y, les eoordonnées du centre de gravité, peut s’écrire ainsi

Ce — Pÿ — Qx — c (C — M.y,ÿ — Mx,x) = 0.

Celte équation est satisfaite pour toute valeur de c, c’est-à-dire, pour les plans diamétraux correspondant à tous les points de l’axe des Z, en posant les deux é(|uatious