C:— P^ — Qr = 0 C — àly — Mx,x

qui représentent une ligne droite; d’où résulte ce théorème : Lfn corp» étant traversé par an axe, si l’on construit les ellipsoïdes des moments d'inertie pour tous les points de celte droite, tes ]ilans diamétraux conjugués à cet axe dans tous ces ellipsoïdes passeront tous pur une même droite.

Kn éliminant successivement y et x, ces éi|uations peuvent se mettre sous 1a forme ordinaire

Q^,-Px,* M(0.y,-Px,)’

Cx, QC

^ Qy,-Px/ '*'M(Qy,-Px,)

Si on fait passer le plan des XZ par le centre de gravité, sera nul et ces deux équations de la droite deviennent

Cette propriété nous sera d’une grande utilité dans la théorie du centre de percussion.

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as'j

lî)!. MourvmenX siins forces motrices, li'ii» corps solide autour d'tiii axe fixe. Vitesse angulaire. Pression sur l uxe. — lU'pri;iioiis les six ti(|uutinns (Ij ii (0) dii N" lit, relatives au iiiuiivciiienl d’un corps solide autour d’un axe lixe cl luisons dilTcreiiles h) jio thèses sur la nature des lorces motrices. Siipposons-les d’ulmrd uulles; le corps ne se mouvra f|u’en vertu d’une vitesse de rotation initiale qui lui aura été imprimée, les <|uantités U, U', U" seront milles et les six équations deviendront :

- sin rij' ipzplin -t- eos ViJ'x^zplm ^ y\l cos <1 ’

-f- sin >î J'x,z/lm -r- cos q dm M/ sin q

Lu première de ces équations donne en intégrant, dvi

-77=--C, >! = Ct + l).

dt

Comme vi est l’angle formé pur le plan des (X,Z ) passant par l’axe lixe cl par le centre de gravité tlu corps, avec le plan arbitraire mais lixe des (XZ), on peut aussi considérer vj emmne l’arc de cercle décrit pendant le temps I par un point du corps placé à l’unité de distance de Taxe; la constante arbitraire I) est donc la valeur initiale de q ou la distance angulaire du centre de gravité au plan des (XZ) à l'instant où le temps t commence à compter; quant à C, on voit que cette constante représente la valeur invariable de c’est-à-dire, de la vitesse

<pii anime un point du corps placé à l’unité de distance de l'axe de rotation. Cette dérivée prend le nom ilc vitesse angulaire et sert de mesure à la vitesse de rotation du corps. Nous représenterons dorenuvant lu vitesse angulaire par le. La première des deux intégrales

CHAPmiK Wll.

‘i'.to

l)r<'c(i(lcntcs cviirhnc donc que le corps njaiit reçu priiiiitivemciil une certaine vitesse de rotation , 1a ia»nscrvc iiidëliniincnt. La seconde exprime que l’angle q augmente pro|iortionnellement ou temps t.

l'onr ce qui est des pressions 1’ et y i|ue Taxe lixe fait éproincr au corps, et qu’on mettra sous la forme

P = — M/(c* cos ■') , y = — M/ie* sin y, ,

a])pliqnées à des distances OA et OU de l’origine O données par /i et »/, si on les décompose chacune en deux antres r, r' et s, s' (lig. lût) parallèles aux axes des X, et des Y, , et qu’on prenne les résultantes de r, s cl r', s', on trouve que l’axe fixe fait éprouver au corps une pression ])arallèlc à X, représentée par — Mlw* et applicpiée en un point de Taxe , distant de l’origine d’une quantité

, fx,z,Aw.

l’axe fixe éprouve donc à son tour une pression égale à Mtw*. yuanl aux composantes parallèles à Y,, elles forment un couple dont le moment est égal à

de sorte que la pression éprouvée par l’axe fixe est, en général, représentée par une force M/ir* renfermée dans le plan qui contient l’axe et le centre de gravité, et par un con|de conli'iiu dans un plan perpendiculaire au précédent. Ohservons que si la masse du corps était concentrée dans son centre de gravité, ce point matériel décrirait une circonférence de rayon l et aurait une force centrifuge représentée par

Ihc*

paifc que la vitesse du centre de gravité est Iw, celte force centrifuge produirait donc sur l’axe une pression égale fi celle que nous avons trouvée i)lus haut; mais il y a, entre ces deux cas , cette dilférence (|uc, si la masse était concentrée dans son l entre de gravité, la pression serait unique et serait appliquée au pied de 1a perpendiculaii'c abaissée du eciilrc de gravité sur l’axe, tandis qu’en réalité cette pression est en général appliquée à une distance d de l’origine jusqu'ici arbitraire, cl il y a en outre un couple jicrjtendicidairc à la direction de celle force.

(’.uinme jusqu'ici l’origine des coordonnées C'i restée indéterminée.

riiMi n'cmpiVlio (lu'on la j>lo(r an point (rapplinilion ilc ('cUo prrshioii; alors d sera nul et l’on aura pour ce point

y X, J, dm = 0.

Pour (|iie le eonjile disparaisse, il l'aut que l’on ait aussi

f<J,:,dm =0.

Il résnile de ces deux équations que, pour i/iteles pressions éprouvées par l'axe par suite d' line roldlinii se réduisent à une force unique, il faut que l'ttxe de rotation soit un axe d’inertie principal par rapport à l'un de ses points, lequel sera alors le point d'application de, la force. M/ic*. Réciproqnenieul , si l’axe de rolation est nu axe d'inertie principal par rapport à l’un de ses points, en y plaçant l’orijjinc des coordonnées, les deux intégrales ,fy,:,dm seront milles, ce qui

(era disparailre le couple et rendra nulle la distance d. D’où il suit que dans ce ras, l’axe éprouve toujours une pression unique, a[qdiquéenu point pour lequel celui-ci est axe d'inertie principal.

I i>2. .Ixes permanents de rotation. Lorsque les pressions qu’éprouve en fténéral un axe de rotation, sont réduclildes à une seule, il suflit de rendre fixe le ])oint d’ap|ilieation pour que l’axe reste Ini-inéuie iinniolnlc, puisque la force sera détruite. En rapprochant relie oliservalion du tliéorèuie précédent, et en remarquant qu’en chaque point d'un corps il passe toujours trois axes principaux rectaujtulaires, on est conduit à celte propriété : (Juand un point quelconque d’un corps sans forces motrices est rendu fixe, il ij pusse «éressaircment trois droites rectanqulaires qui sont telles, que si le corps commence à tourner autour de l’une d'elles , lu rotation continuera indéfiniment autour (le cette même droite. Les trois axes principaux joiiùssenl .seuls de cette propriété qui leur a fait douuer le nom d’oxe.s permanents de rotation.

Si le point fixe est le centre de gravité lui-rnêmc, la pression uniipie Al/ic* disparait, |>uisque / sera nul; d’où il résulte que .si un corps sans pesanteur commence d tourner autour de l'un des trois axes prineipaiix du rentre de gravité rendu fixe , ces axes n'éprouveront aucune pression ; ils ne ces.seront donc jias d'elre axes permanents de rotation quand le centre de gravité .sera entièrement litire.

Si on renil fixe le point pour lequel les trois moments d’inertie sont égaux entre eux et (|u’on commence à faire tourner le corps autour d'iiue droite queirouque passant par le point fixe, le corps tournera indéfiniment autour <le cette droite, piiisi|ue l’on a vu que

CIIAI'ITIIt XVII.

loiilesces ilroilcs soiil <Ios axes d’iiicrlie (iriiiripaiix |joiir le |M)iiit lixe.

Qiiaiiil la (Iroile csl axe principal d’inertie relativement an pied de la perpendienlaire abaissée iln centre de pravité sur sa direction, la pression sc confond identiqucincnt , pour la grandeur et la position, avec la force centrifuge cpii résulterait du inouvenient de rotation du centre de gravité dans lecpicl tonte la masse du corps serait concentrée; car on sait que la rotation fait naître une pression uni(|uc M/ir* appli()uéc au point pour lequel la droite est axe principal, c’està-dire, au pied de la perpendiculaire et renfermée dans le plan qui contient le centre de gravité et la droite; cette pression est donc dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du centre de gravité.

Cette circonstance se présente toujours, d'après ce qu’on a vu N° H!t, loi’sqtic les trois moiuents d'inertie principaux du centre de gravité sont égaux entre eux, puisque dans ce cas, la droite est toujours un axe principal relativement au pied de la perjrcndiculairc.

Ibô. ri/esse de roUilion due u une pri rusgiun. Directitm el mesure de la percussion. — Les six équations du N" Hi font aussi connaître toutes les circonstances du mouvement d'un corps solide autour d’un axe lixe, par suite d’une percussion ; il sullil pour cela de tenir eonqite du mode particulier d'action de la force à bupiellc la percussion <lonne naissance. On a vu (N“ 108) que, lorsque deux corps viennent se choquer, la percussion donne naissance à une force de pression agissant sur le corps choqué pendant un certain tein|is, inconnu à la vérité, mais que l’on sait être assez court pour (pie l’on puisse admettre que le déplacement du corps et le eliangement de direction de la force sont nuis |icndant la durée de l’action.

La direction de cette force sc confond avec ce que nous appellerons In direction de la percussion. Elle est visiblement la même que celle suivant laquelle est lancé le point matériel choquant, lorsipic celui-ci s’attache au corps choqué. Si le point matériel vient frapper le corps ohliquemciit à la surface sans s’y attacher, 1a direction de la pression, et par conséquent celle de la percussion, sera dirigée normalement à la surface au point de contact. Si cette force F nous était connue, on introduirait sa valeur dans les six équations (pii feraient alors connaitre toutes les circonstances du mouvement du corps. .Mais la loi suivant laquelle varie cette pression nous est totulciuent inconnue; on sait seidciiienl (pi’elle n’agil que pendant un temps extrêmement court pendant lequel elle prend naissance et s’évanouit en passant par une valeur considérable. Puisque cette force ne nous est pas connue, ‘

DYNAMlylE.

c’est par les effets qu'elle prixliiit qu’il faut chercher h l’upiiréeicr. Nous appellerons mesure de la percussion , la quantiti‘ de mouvement jiV qu’une percussion fait naitre dans un point materiel d’une masse ji auquel elle communique la vitesse v.

Il existe entre cette quantité de momement et la force inconnue et variable T que la percussion fait naitre, une relation qui permet d’éliminer cette force, en y introduisant la mesure ue que l’un parvient à déterminer dans chaque cas; en effet, puisque T désigne la force motrice inconnue avec laquelle un point matériel d’une masse ^ est pressé à une époque quelconque de la percussion , si on représente par r la vitesse acquise par u à cette époque, on sait qu'il existe entre ji, v etT la relation

qui n’est autre (|ue l'équation du mouvement de n; d’où l'on lire, en intégrant pendant la durée r de la pereussion ,

or, av est la quantité de mouvement engendrée pendant la percussion

à laquelle elle sert par conséquent de mesure ; on voit donc que l Td(

JO

que nous désignerons par u, est aussi la mesure de la percussion. Si la percussion, au lieu d’élre exercée contre un point matériel p isolé, était produite contre un corps de dimension finie , on concevrait cette percussion agissant sur un point matériel p, appartenant au corps choqué et placé au point de contact; u sera alors la quantité de mouvement reçue par u et par conséquent la quantité de mouvement que la percussion introduit dans le corps choqué. Nous verrons plus loin (N“* IS4 et 133) comment on trouve la valeur de cette intégrale m.

Cela posé, si on désigne par ^ l’inclinaison de la direction de la pereussion sur l’axe et par f la plus courte distance de ces deux droites, T sin i sera la composante de T estimée normalement h l’axe et Tf sin ^ son moment. L’équation (4) du N“ 144 deviendra donc, à cause de la signification de l'".

^T/'sin J

d’où

f/*>i fün '} ^ ,

-Tdt.

dt linr*

CIIU'ITiiK XVII.

Or, si on admet que |iendant la durée très petite r de raetioii de la forte T, les quaiililés /'et S restent sensiblement euiislantcs, il viendra, en intégrant depuis le commencement de la p<-rcussinn jusqu'à la fin , et en désignant par v et w les vitesses de relation après et avant la percussion ,

— — O) ir — O. =

f sin i

imr*

, , Tsin a ■ . . , . . ,

«' — 01, c est-a-dire, ^ h est dont la vitesse de rotation engendree

ïmr ”

par la percussion ii.

Si une nouvelle percussion venait agir sur le corps, il est visible

que la vitesse engendrée devrait être ajoutée à la précédente, de

même que la vitesse primitive oi doit être ajoutée à la vitesse engen-

, , uf sin i .....

dree — en sorte que I on aurait pour vitesse totale.

itf sin a' u'f sin (?'

et, en général, après un nombre quelconque de percussions successives, vf sin i + u'r sin u"f" >in 3” h- etc.

ï.inn

Cette valeur, qui est indé|>endante du temps écoulé entre ebaque percussion, resterait évidemment la même si elles étaient simultanées.

On est conduit immédiatement à la valeur précédente de la vitesse angulaire engendrée, en observant que, d’après le princi[iedc D’Alembert, modifié pour le cas d'une jierciissinn , les forces développées par les percussions doivent faire équilibre autour de l'axe fixe, aux résistances dues à l’inertie et engendrées pendant ces percussions; or si le corps choqué prend un accroissement de vitesse angulaire «■ — ai, un point matériel dm placé à la distance r de l’axe, pix-ndra instantanément une vitesse r (ir — ta) et une quantité de mouvement mr (w — «) qui, comme on sait, mesure la résistance due à l’inertie; le moment de cette résistance par rapport à Taxe est donc — ai) et la somme de ces moments ï«ir* (le — ai) ou plutôt (it — u) imr-, parce que la v itesse angulaire te — ai est la même pour tous les points. D’un autre côté, les forces engendrées pendant la durée des per-

DY.NAHIQUË. 2'Jj

eussions sont u, »' dont les muincnls par rapport à l'axe sont

u/'siu (?, «'/’ sin ’i" ; on a doue

(w — td) imi-'—uf sin J -t- u'f sin o'' + etc.,

d’où l'on tire pour w — co la valeur trouvée plus haut.

lî)4. Cas où les corps choquatits s'attachent au corps choqué. — Les mesures des percussions sont imuiédiatcracnt eoiinucs lorsque des corps choquants m, m’, m".... animes des vitesses v, v’, v''.... s’attachent simultanément au corps choqué supposé immobile, et ne s’en séparent plus après la percussion ; car on peut, sans changer le mouvement de rotation, considérer m, m', m".... eomme des parties intégrantes du corps choqué , auxquelles des percussions idéales auraient communiqué les quantités de mouvement me, m'v'...; ees produits doivent donc être substitués à u, u'.... dans l’expression de la vitesse de rotation, et de plus , comme le dénominateur représente le moment d'inertie du corps choqué entier, comprenant les masses fictives tn, m', m".... qui reçoivent les percussions, il faudra, dans le cas actuel, prendre pour dénominateur non-seulement le moment d’inertie .MK* du corps choqué proprement dit, mais encore les moments d’inertie des masses m, m'.... ; c.i désignant donc par /, /’.... leurs distances ii l’axe de rotation , on a pour expression de la vitesse angulaire engendrée,

mv/" sin o' -t- m'v'f sin ^ -4- etc.

MK* -4- m/* -4- mT* -4- etc.

f, f.... étant les distances des directions des vitesses o, à l’axe de rotation et i, i',... les inclinaisons de ces vitesses sur l’axe. Si les percussions étaient successives, il faudrait déterminer la vitesse de rotation après chaque percussion pour l’ajouter à la vitesse engendrée par la percussion suivante.

Si le corps choqué avait une vitesse angulaire eo antérieure, il est visible que lorsque la masse m sera attachée au corps, la vitesse u sera MK*

réduite a to — — ^ ==&> , et m aura avant la percussion idéale, une

MK* -4- ml'

vitesse /u' perpendiculaire au plan qui contient l’axe et le point m. En décomposant cette vitesse en deux autres dirigées l’une dans le plan précédent, et l’autre dans le sens de la percussion, la première sera détruite par l’axe si , comme on le suppose, le corps ne peut