TT
dans laquelle le premier membre est le moment d’inertie cherché et l la distance du centre de gravité à l’axe de suspension, distance qu’il est facile de déterininer par expérience.
Ce procède est en défaut lorsque l’axe ilc suspension contient le centre de gra\ ité , ])arce que si / est nul , r est inlitii et les oscillations n’auront pas lieu. Il faut, dans ce cas, observer le moment d’inertie pour un axe jiarallèlc au |)remicr et distant d’une quantité connue l cl calculer ensuite le moment d’inertie cherché par la formule
Appliquons les principes qu’on vient d’exposer à la théorie du pendule balisti(|uc. On donne le nom de pendule balistique nu pendule de Itobyns à un appareil composé d’une niasse eonsidcrable en bois AlîCD (lig. IH), avant la forme d’un parallélipipède, cerclé en fer en KF et II K, et lié par des barres de fer FO et KO ù un axe hurizonlal projeté en O et autour duquel ce corps peut osciller c.uinmc un pendule. Cet appareil, en usage dans l'artillerie, sert à mesurer la
DYNAMIQUE
vitesse de projcelioii d’un boulet au moyen de l'étendue des oscillations qu’il fait faire au pendule, lorsqu’il est lance dans le bloc de bois suivant une direction LM parallèle li la longueur III) du massif. Soit m la masse du boulet, v sa vitesse de projection, w la vitesse angulaiiY! que prend le pendule immédiatement après la {wreussion , MA- le moment d'inertie du pendule, y compris le boulet m, relativement à un axe parallèle à l’axe de suspension O, passant par le centre de gravité G, l la distance GO du centre de gravité à l’axe, f la distance OX de la direction du eboe à l’axe. Comme le boulet, anime de la quantité, de mouvement niv, reste attaché au pendule, nw est la mesure de la percussion (N” I34) et l’on a, d’après ce qu’on a vu au N" lîiô,
mv/"
Comme cette vitesse angulaire n’est autre chose que la vite.sse d’un point du corps placé à l’unité de distance de l'axe, il est clair que la
vitesse d'un point placé à la distance l -j^ et par conséquent, du centre d’oscillation, est
On sait que ce point oscille de la même manière qu’un pendule mathé-
malique d’une longueur égale à f -4--^; on connaitra donc toutes les
circonstances du mouvement du pendule balistique, en déterminant les
o.scillations que prend un pendule simple d’une longueur 011 = / -t- -j- j
dont le point matériel H aurait reçu, étant immobile, une vitesse
initiale Or on a vu dans la théorie du mouvement d’un point
Mt
matériel pesant sur une courbe, que cette vitesse initiale v' du point H (fig. 112) le fait monter le long du cercle HH' Ji une hauteur HL 1 /mvfy
égale à — ou ) > et si on représente par a l’angle HOH'
2ÿ '2g\f,lt J
dont le pendule s’écarte de la verticale, on aura
Hl
, = HO — OL = HO — Oir cos « = ('.4)0 — cos a)
iO
fl par suite
CFUPITRR XVII.
(1 — cos a) ( / -♦- -r ) = — ( —7 ) )
d’où
Celle équation fait connaître la vitesse i’ du boulet ; car dans le second membre, tous les facteurs peuvent être détermines d’avance ou observés; en effet 1“ les masses M cl m s’obtiennent en divisant par g le poids dn pendule balistique, y compris le boulet et le poids du boulet seul ; 2" la valeur de fou ON peut s’observer sur le pendule au moyen du trou qu’y a fait le boulet; 3“ la valeur de l ou la distance OG du centre de gravité à l’axe, s’observe directement ou peut être déterminé par expérience; 4° la valeur de k* ou plutùl celle de M {/* -t- k*) qui est le moment d’inertie du pendule, y compris le boulet, peut être déterminé comme on vient de le voir; et enfin 5", l’angle a ou l’angle dont le pendule est écarté de la position d’équilibre, peut s’observer dircelemcnl de plusieurs manières.
Si le pendule a une forme symétrique, l’axe des Z est axe principal d’inertie par rapport au centre de suspension, les intégrales et imy^z^ sont donc nulles cl les formules (6) au N“ 156 apprennent que l’axe de suspension n’épronve qu’une seule percussion qui est horizontale et égale à
\ imr*/ \ l* + k*J
appliquée en un point distant du centre de suspension de
valeur dans laquelle c est la distance de la direction LM de la percussion à la verticale passant par le centre de gravité.
162. Application au mouvement du treuil. ■ — Nous terminerons ce chapitre, en déterminant le mouvement que prend un treuil portant deux poids suspendus aux extrémités de deux cordons inextensibles enroulés sur 1a roue et sur l’arbre, en tenant compte de l’inertie de la matière qui compose le treuil, ün a vu que la lui du mouvement de rotation
DYSAMIQIIE. 511
d'un corps pesant autour d’un axe horizontal , est donnée par l'équation
dt* ïmr*
dans laquelle le niAnératcur est la somme des moments de toutes les forces luolriees par rapport à l'axe, et le dénominateur la somme des moments d’inertie de toutes les masses en mouvement; or, si on suppose le treuil symétrique autour de l’axe, la somme des moments des poids de toutes scs parties sera nulle et il restera pour U'' les moments de P et de Q, c'est-à-dire, Vp — Qq , p et q étant les rayons OA et OB (fig. il 3); quant à imr*, cette somme se compose du moment d’inertie du treuil , que nous désignerons par MA*’, et des
moments d’inertie de P et de Q qui sont - p* et — q*, parce que l’on
peut, sans rien changer, concevoir ces poids comme concentrés aux points A et B; l’équation devient donc
d’où
rf*>1
lï'
Pp-Qq P Q
MA* H — P* H — g’ 9 9
Pp— Qg O î!
dl gMk* Pp* -t- Qq* MÿA* -+- Pp* Qq* ■’ 2
On détermine les pressions que supportent à chaque instant les deux tourillons, en calculant par les formules du N” 144 les pressions que supporte l’axe fixe, ainsi que leurs points d’application, et en décomposant ensuite chacune de ces deux pressions en deux autres appliquées aux tourillons.
Si on tenait compte du poids et de l’inertie des deux cordons, il faudrait aux poids P et Q du numérateur, joindre les poids variables de CCS deux cordons, lesquels sont représentés par gm {I p^) et gn (/' — q>)) , m et n étant les masses des unités de longueur des deux cordons et l, /'leurs longueurs initiales. Quant au moment d’inertie, comme les poids des deux cordons peuvent être considérés comme concentrés en totalité en A et B, il est visible qu’en représentant par L et V leur longueur totale , y compris la partie enroulée sur l’arbre et la roue, le moment d’inertie sera nUq*, qu’il
faudra ajouter au dénominateur.
CllAPITUE XVIII.
Mouvement d^uii corps solide autour d*un point fi.\r. Axe instantané de rotation.
— Vitesse angulaire. Décomposition d"uuc vitesse angulaire. — l^i(ualtons géiié* raies du mouvement d*un corps solide autour d'un point fixe. ~ Mouvement d'un corps qui se meut autour d'un point fixe sans forces motrices. — Oscillations autour de l'un des axes d'inertie principaux. — Conditions pour que l'axe instantané ne change pas de place dans un corps qui se meut sans forces motrices. — Stabilité des inouTcmcnIs de rotation autour des axes principaux.
— xMoiivcment d'un corp.s autour d’un point fixe, provenant d'une percussion.
— Tliéorème sur l'axe instantané de rotation. — Oscillations coniques d'uu corps pesant. — Coordonnées polaires. Formules d'Kuler. — Cas où le corps se meut sans forces motrices. — Applications diverses. — Mouvement d'un corps solide libre. — .Mouvement d'un corps libre par suite d'une percussion. — Mesure d'une percussion contre un corp.s libre. — Me.-»ure d'une percussion contre un corps qui a un point fi.xe. — Axe spontané de rotation. — Axe spontuné il la suite d’une percussion. — Théort’mrs sur la force vive d'un corps solide en mouvement.
i 05. Mouvement d’un corps solide autour d'un point fixe. Axe instantané de rotation, — l'n corps solide ou un système materiel de forme invariable dans Icqtiel iin point est rendu fixe, étant mis en niouvenienl d’une manière quclcomiue , prend ù chaque instant tine vitesse de rotation autour d’une eerUiine droite, passitnl par le point fixe et changeant a chaque iustaiit de position dans le corps cl dans l’espace. Celle proposition qui, du reste, est presqu’évidente par die-méme, se démontre complèlemonl par les considérations suivantes : un eorps de forme invariable et cntièrcmenl libre, est donné de position lorsqu’on fixe le lien de trois de ses points non situés en ligne droite.
DYNAMIQUE
Il suit de lii <|tic si lo corps ;i un point fixe, à un certniu mode de dé|»lacemcnt de deux de ses |iniuts, ne peut correspondre qu’un seul mode de déplacement du corps entier, et réciproquement. Cela posé, supjiosons que par suite d’un déplacement quelconque, deux points m et m' se mcinent simultanément suivant des droites ma et m's‘. Élevons sur ees droites en m et m' deux plans normaux , ecux-ei viendront passer par le point fixe, car les différents points du corps ne pouvant sortir des surfaees sphériques qui ont pour rayon les droites menées du point fixe à chacun d'eux, il est visible que les droites ms et Mi’s' sont des tangentes à ces surfaces et par conséquent des perpendiculaires aux rayons, lesquels sont donc renfermés dans les plans normaux dont l’intersection ne peut être qu’une droite au' passant par le point fixe. Or si l’on imprime au corps un petit mouvement de rotation autour de aa’, les diiïércnts points de chacun de ees deux plans décriront de petits arcs perpendiculaires à ees plans ; d’où il suit que ce mode de déplacement du corps imprime aux deux points m et in' leurs déplacements effectifs suivant ms et in's' et que jiar conséquent ce mouvement de rotation autour de la droite est celui qui a effectivement eu lieu. Cette droite a été nomince axe inslaulanc de rotation.
104. Vitesse angulaire. Décomposition d'une vitesse angulaire. — La vitesse de rotation du corps autour de l’axe instantané est donnée par la vitesse angulaire; nous avons déjà donné ce nom à la vitesse qui anime un point du corps [ilacé à l’uiiité de distance de l'axe de rotation. Il est visible que, pour un meme corps, les vitesses elTectivcs des différents poinLs sont proportionnelles aux distances de ces points a Taxe instantané; d’où il suit que pour une vitesse angulaire tr, la vitesse effective d’un point distant de f de l’axe, est fie.
Le mouvement de rotation d’un corps retenu par un point fixe (lig. 114) autour d’un axe instantané AB, peut cire remplacé par des mouvements de rotation simultanés autour d’autant de droites que l’on voudra, passant par le point A et fixes dans le corps , c’est-à-dire, qu’une vitesse angulaire autour d’un axe AH peut être décomposée en plusieurs autres vitesses angulaires autour d’axes donnés dans le corps, et on reconnaît une analogie parfaite entre les lois de cette décomposition et celles de la décomposition des forces nu des vitesses ; ainsi , si l’on mène par le point .A trois axes rectangulaires des X, Y, Z fixes dans le corps et mobiles avec lui, et qu’on désigne par (a, 7) les
angles que forme AB avec eux , une vitesse angulaire ie autour de celle dernière pourra être remplacée par trois vitesses angulaires
CUAPITHE XVIII.
siniultances autour de X, Y cl Z, égales respectivement à te cos a, tücosp, te cos v; en effet, si m est un point du corps distant de AB d’une quantité fei ayant pour coordonnées (x, y, z), une vitesse angulaire w autour de AB communiquera au point m une vitesse effective fw évidemment perpendiculaire au plan passant par AB et m; les trois composantes de cette vitesse dans le sens des axes sont donc. fw cos a, fw cos 6, fw cos c, en représentant |)ar ( a, b, c) les angles formés par le plan AB»i avec les trois plans coordonnés; or l’équation de ce plan est de la forme
(2 cos P — y cos 7) x* -+- (x cos 7 — 2 cos a) y' (y cos « — x cos p) z' — 0,
(x', y, 2') étant ses coordonnées courantes ; et l’on trouve pour la distance f et pour les angles (a, 6, c) les valeurs suivantes :
/■= j/(2 cos P — y cos 7)* -4- (x cos 7 — 2 cos a)* -4- (y cos a — X cos P)*
X cos 7 — 2 cos a
2 cos s — y cos 7 ,
cos a = i > cos 6 :
cos c
y cos œ — X cos P
les trois composantes de la vitesse du point »i, suivant X, Y, Z, résultant d’une rotation autour de l’axe AB, sont donc
te (2 cos (3 — y cos 7), ie(xcos7 — 2cosa), te (y cos a — x cos p) (1)
Imprimons maintenant au meme corps trois vitesses angulaires simultanées p, q, r autour de X, Y, Z; pour avoir les vitesses que chaque rotation communiquera à m parallèlement à X, Y, Z, il suffit de faire successivement dans ces expressions.
“ = 2’ V=-0, to=r,
ce ipii fait coïncider successivement AB avec X, Y et Z; on est ainsi conduit aux cxjircssioiis suivantes des trois composantes ;
— pz.
— qx. .
r<Jy
