CHAPITRE XVIII
5 (fl
dans le premier cas et
«' (: cos ^ — y cos 7) , ic {x cos 7 — : cos a) , w (y cos a — x cos ,%) dans le second.
Quand les axes rectangulaires sont fixes dans l’espace cl que par conséquent le corps est moliilc relativement à eux , ces biiiùmcs ne sont plus les composantes de la vitesse du point (x, y, z), composantes
. . tlx dy dz
que l'on sait être alors représentées par —» — j — •
Si on fait passer par le point fixe deux systèmes d’axes rectangulaires, l’un X, Y, Z, fixe dans le corps et mobile avec lui et l’autre X', Y', Z' fixe dans l’cspaec, il est facile de déterminer les cireonslanecs du mouvement d’un point quelconque du corps relativement à CCS derniers axes, connaissant les vitesses de rotation du corps autour des premiers et les inclinaisons relatives des deux systèmes d’axes; en effet, en représentant pur (a, h, c), (a’, b', c'), (a", h", e") les cosinus des angles formés par cbaciin des axes ,\', Y', Z' avec X, Y, Z et par (x, y, ;) et (x', y', z') les coordonnées d’un même point dans les deux systèmes, on sait que les vitesses dans le sens des axes
„ , . fi'l’ clz . . , ,
fixes sont données par -T-» -r- et que les vitesses dans le sens
dt dt dt ‘
des axes mobiles X, Y, Z sont représentées par yz — ry, rx — pz, py — (]x; en décomposant donc cbaeune de ces dernières en trois autres dirigées suivant X', Y', Z' et réunissant les trois groupes de eomposantes, on trouve pour les vitesses suivant ces nouveaux axes,
, , . . , dx' dy’ dz'
eest-a-dire, pour les valeurs de — -f- > -7- >
’ ' dl dt dt
dx'
dt
ày'
dl
= a (7: — ry) -i- b (rx — pz) -t- c Q>y — t/x) ,
= u’(qz—ry) -v- b’(rx — pz) -t- c' (py — qx) (1)
dz^
— = o" (qz — ry) -i- b" (rx — pz) •+ c" (py — qx).
Outre les relations suivantes entre les cosines o, b, c, a', b', c', etc. a* -4- o'* -t- «”* = ( , a’ -H b* -V- c*= I, «a'-e 6b' -4- cc' = (), ab-+- a'b' -4- a"b"=0,
b* -4- b'* -4- b"* = 1 , a'*-4-b'*-4-e'*=l, ao"-4- bb"-4- cc" = 0, ac -t- a'c'-t- a'’e"=0 (2)
DYNAMUII'R.
qui résultent de ce que les deux systèmes d’axes sont rectangulaires, et qui, comme on l’a vu en gconictric analytique, se réduisent & six équations distinctes, il en existe encore d’autres entre les mêmes quantités et les vitesses angulaires p, q, r, résultant de ce que l’un des systèmes est attaché au corps et l’autre immobile dans l’espace; on sait, en effet, qu’il existe entre les coordonnées x, y, z et ac', y', z' d’un même point dans les deux systèmes, les relations
x' = ax hy -v- cz ,
Comme le corps se meut autour de l’origine, les quantités i”, y, z', a, b, c, a', b'..,, changent avec le temps, tandis que x, y, z qui se rapportent à des axes lixes dans le corps, restent invariables; on a donc, en dérivant par rajiport à t, les équations suivantes
dx'
lia
il b de
df
= x tll
'^'Jdi’^'dt'
da
db' de'
dt
dt
■’ dt dt
dz
du"
db" de"
dt
■' dt dt
, . , , . dx' du' dz' . ,,
et par conséquent, en égalant ces valeurs de — > —» a celles
trouvées plus haut, après avoir onlonné celles-ci suivant les facteurs
da
dh
de
dt
dt
' dt
du'
db'
dc^
dt
^'■>dt^
^dt
da"
db"
de'
dt~
> X (br — ■ cq) ~t- y (cp — ar) -i- z [aq — bp),
Comme ces relations existent quel que soit le point (x, y, z) et par
