IF

dt*

dô'

et, en remplaçant ces dérivées par leur valeur, dq dr

+'Pr—x (r* + q').

xrp yrp — z (q* -t- p«).

163. Equations générales du mouvement d'un corps solide autour d’un point fixe. — Ces formules étant établies, désignons par X, Y, Z les composantes de la force accélératrice qui agit sur l'élément dm placé en (i, y, z), et par il, n', n" les pressions qu’éprouve le point fixe dans le sens des axes. Comme il y a équilibre entre les forces

motrices, les forces de réaction du point fixe — n, — II', — ii" et

les forces d'inertie Ddm, Edin, Fdm, on a les six équations d'équilibre

iXdm — ïD(/m — n =0, lYdm — sEdm — ii' = 0, zZdin — V Fdm — n" — 0, l (yF — îE) dm — i (j/Z — lY) dm = 0,

l (zD — iF) dm — S (î.\ — jZ) dm = 0 (7)

I (xE — i/D) dm — ï (xY — yX) dm = 0.

Si on remplace D, E, F par leur valeur (6) du numéro précédent, en

remarquant que p, q, r restent pour un même instant les mêmes

pour tous les points du corps et sont par conséquent des facteurs communs sous les signes sommatoircs, la quatrième équation devient

^ 1 (y* -V- Z*) dm — ^ zxydm — ïxzdm -t- prïxydm

-4- rq Z (y’ — - Z*) dm (r* — q’) 1 yzdm = l{yZ — zY) dm .

r.HAPITHE XVIll.

On aura de même

^2(1- : X*) dm — cle. = ï (iX — x7.)dm, — S (ar* + t/*) dm — etc. = ï (æY — y\)dm.

ces deux dernières équations se déduisant de la précédente au moyen d’une permutation tournante.

Jusqu’ii-i le choix des axes X, Y, Z est reste entièrement arbitraire; on peut donc les faire coïncider avec les trois axes d’inertie pi-incipaux du corps pour le point fixe. Alors ixzdm, lyzdm, Sxyrfi/i sont nuis et en désignant par A, B, C les trois moments d’inertie principaux, c’est-à-dire, 1(1/* z*) dm, Z (i* -r- x*) dm, Z (x* -t- dm, les trois

équations dcxicnnent

A - (B - C) r<7 = '- (,./Z - zY) dm,

B (C - A);»- = ï (z\ - aZjr/m (8)

C — —(\—ïi)qp=^Z {x\ — yK) dm .

Ces trois équations différentielles, jointes aux neuf équations (4), donnent la solution complète du problème; car les valeurs de p, q, r en fonction du temps, tirées de ces trois équations, font connailre à chaque instant (N" 1G4) a, p, 7, e’esl-à-dire , la position de Taxe instantané relativement aux trois axes d'inertie principaux du corps, cl les valeurs de a, h, c, a', b', c', a", b'', c", tirées de (4), donnent à chaque instant la position de ces axes principaux rclativcmenl à trois axes fixes et donnés de position. Quant aux pressions 11, 11', n'' que supporte le point fixe, on les déduit des trois premières équations (7). En y remplaçant 1), E, F par leur valeur, on trouve

n=sX(/m —

Zzdm —pqZydm —

pr Zzdm (r* -i • y*) Zxd m .

Il' = etc., n" = etc.

ou bien, en désignant par x, , 1/,, i, les cooixlonnées du centre de

DYiNAMIQUE.

gravité relativement aux axes d’inertie principaux et en remarquant que izdm, ixdm, Zydin sont égaux à Mz , Mx,,

H = S X dm — M Z, — ^ y. H- pqy, prz, — (r* -e- y*) x, j .

n' = etc., n'' = etc.

dans lesquelles on remplacera p, y, r, ^ par leur valeur

trouvée comme on vient de le dire.

ICG. Mouvement d'un corps yui se meut autour d’un point fixe, sans forces motrices. — Examinons d’abord le cas où le corps se meut sans forces motrices, et celui où le corps étant pesant, le centre de gravité se confond avec le point fixe. Dans l’une et l’autre hypothèse, les seconds membres des trois équations du mouvement sont nuis et il vient

yr.

dr A — B

Aucune de ces équations n’est intégrable immédiatement; mais si on les multiplie respectivement par '2Ap, 2By, 2Cr, puis par 2A*p, 2B*y, 2C*r et qu’on les ajoute membre à membre , on trouve :

2A/)djo 2Bydy -+- 2Crdr = 0,

'iX^pdp + 2HV/dfy -e 2C*rdr = 0 ,

qui conduisent aux deux intégrales

An* -+- Bo* Cr* = D* i

D* et D'* étant deux constantes arbitraires visiblement positives. La troisième intégrale des trois équations différentielles (î>) s’obtient en remplaçant y et r par leur valeur tirée de (10), dans la première des trois équations différentielles (9), ce qui conduit à

^)'î __ CD* — A (A — C) P* i/lID* — IV* -t- A (A — B) p*

lUie quadrature donnera la valeur de p en fonction de t et en substituant dans (10), on connaîtra y, r et par suite les cosinus »

CnAPITRE xviir.

. — ? , -- — ■ des angles que fait à chaque instant

|/p* q* -t- r* Vh + r*

l’axe instantané avec les trois axes priuripaux, ainsi que la vitesse de

rotation ]/p* -t- q* + r*. On substituera ensuite les valeurs de p, q, r en funetion de t dans les équations (4) du N" 104 qui formeront un système de neuf équations dilTércnticllcs linéaires simultanées entre les variables a, l>, c, a', b', c\ a", b", c" et t, et qui serviront à fixer à chaque instant la position des axes d’inertie principaux relativement aux axes fixes. Trois de ces intégrales s’obtiennent immédiatement; car si on multiplie les trois équations (9) respectivement par Ao, B6, Ce, puis par Ao', Bl/, Ce' et Ao", B6", Ce" et qu’on les ajoute ensuite en tenant compte des équations (4), on trouve en intégrant :

Aop -f- B6^ Cer = /,

Aa'p-i- üb'q -+■ Ce'r= /' (12)

Ao'p-t-B6"q fCc"r=/",

dont l’une est comprise dans les deux autres, comme on peut s’en assurer en les élevant au carré et additionnant, en tenant compte de la seconde des équations (10) et des équations (2), et on reconnaît qu’il doit exister entre les constantes arbitraires /, l', f ', la relation

Deux de ces constantes l, l', l'' sont donc arbitraires et la troisième est donnée par cette dernière équation. Quant aux autres éi|uations différentielles (4), on verra plus loin (N“ 173) qu’on peut par une transformation de coordonnées , séparer les variables et les changer en différentielles elliptiques.

En mulli|)liant les équations (12) respectivement par a, a', a" et additionnant ensuite en tenant compte des relations (2) et répétant les mêmes calculs après avoir multiplié par b, b', b", puis par c, c', e", elles seront remplacées par les suivantes :

Ap = la -t- t’a' -t- /"a",

Bq = lb~h l'b' -t- l"b",

Cr — le -t- l'c -f- i'e“, auxquelles on peut donner la forme

Ap = Do", Bq = n'b”, Cr = D’c'-', (1 .3)

DVNAXIQrr..

en plaçant les axes fixes X'Y'Z' de manière que les eonstanles arbitraires l et l' soient nulles. Comme on a , en désignant par p', q\ r les valeurs initiales de p, q, r.

on voit que la position de l'axe fixe Z', par rapport aux axes prineipaux dans leur état initial, est déterminée; pour ce qui est des axes fixes X', Y', ils restent entièrement arbitraires.

Les équations (12) ex])riment une propriété importante du mouvement d’un corps autour d'un point fixe, sans forces motrices. Puisque p est la vitesse de rotation autour de l’axe principal A ou X, ap est la composante de cette vitesse (N° 1C4) autour de l’axe des X', c’est-à-dirc,«la vitesse d’un point placé à runité de distance de- iaxë)T, apd la vitesse d’un point placé à la distance rf, maptl sa quantité de mouvement et md^ap le moment de la quantité de mouvement de la masse élémentaire m et enfin aplmd* ou Aap le moment de la quantité de mouvement du corps entier par rapport à l’axe X', résultant d’une vitesse de rotation p autour de l’axe des .X. On , reconnaît de même que Bbq et Ccr sont les moments des quantités de mouvement du corps par rapport à X' résultant des vitesses q et r autour de Y et Z; d’où il suit que Xap -t- Ccr est la somme totale des moments

des quantités de mouvement du c.(irps par rapport à l’axe des X' qui est arbitraire, et la première équation (12) exprime que celte somme est invariable. Les deux autres expriment une propriété analogue pour les deux autres axes fixes. En faisant évanouir deux des trois constantes /, /’, l", on ne fait donc que choisir les axes fixes X', Y', Z' de manière que deux de ces sommes soient nulles, ce qui a lieu évidemment si l’on prend pour axe des Z' l’axe instantané dans la position initiale, puisque les vitesses autour de X' cl Y’ sont nulles à cet instant.

Quant aux équations (10), on reconnaît sans peine que la première exprime que la quantité de force vive du corps est invariable, car te étant la vitesse de rotation autour de Taxe instantané et V le moment d’inertie par rapport à cet axe, on a (N“ 148)

V = \ eos* « -t- B cos* S C cos* y =

Ap* -4- Bq* Cr*

et par conséquent

Vir* = D*

OUPITRK XVIIt.

dans laqiiclln Vir* est ectte quantilc de force vive. La seconde dit (jnc la somme des carrés des moments des quantités de mouvement par rapport auv troix axes principaux est invarialdc.

L’intégration de l’équation dilTércntielle (11) dépend en général de la théorie des intégrales elliptiques; mais elle peut se faire eomplèîeincnt avec les fonctions élémentaires dans certains cas particuliers; par excm|ile, si deux des trois moments d’inertie principaux sont égaux, ou bien si, à une certaine époque. Taxe instantané sc confond avec l’un des axes principaux. Dans le premier cas, la chose est évidente; dans le second, remarquons que B étant l’axe dont il s’agit, dans l’instant de la coïncidence les angles formés par l'axe instantané

avec les deux autres axes seront droits, les cosinus —

et •— seront nuis et j)ar conséquent p et r, ce qui réduit

jX P* -+- </’ r*

les deux équations (10) à Ihy* I)’, = Kn éliminant ij, on

trouve l’équation de condition