III — 1 . , . , ?» -4- I

. . sin r I « -4- I ) t -I sin r lu — 1 ; I

'«"oV — r ?» -4- 1 r

qui fait connaître 1a lui suivant laquelle l’axe d’inertie C tourne autour de l’axe fixe Z'. La valeur trouvée pour a apprend que l’axe d'inertie A qui reste scnsiMemenl perpendiculaire à l’axe fixe des Z', tourne uniformément autour de lui, puisque si l’on désigne par â l'angle variable formé pur X’ et A, il vient

O = eos !? = cos r (/ — e) d’où a' = rt — ri.

I C8. Conililions pour que l'axe instantané ne rhamje pas de place dans

CIIAI’ITIIE XVIII.

UH corps ijiii SC meut sans forces motrices. — Pr(i|iüsoiis-noiis de Iroiiv cr l.v condition pour <|iic l’axe instantané de rotation conserve conslaminent la ineme position dans le corps; il est visible qu'il faut et qu'il siillit

pour cela que les cosinus » — - — ^ > —

soient constants; il raiil donc que l'on ait

a, h, C étant ces cosinus constants. Si dans l’une des intégrales (10) on remplace deux des trois lettres q, r par leur valeur précédente, on trouve que ji, q et r doivent être eux-méines invariables; d’où il résulte que pour que l’axe de rotation soit fixe dans le corps, il faut que tip, dq et dr soient nuis, et en remontant aux trois équations dilférentielles du mouvement (0), on voit que cette condition ne peut être satisfaite à siioins que l’on n’ait

lyr = 0 , pr — O et pq = O ,

ce qui exige que deux des trois facteurs p, q, r soient nuis, c’est-à-dire, que l’axe de rotation doit se confondre avec l’un des trois axe.s principaux, lesquels jouissent donc seuls de la propriété d’élre des axes permiinents de rotation. C’est ce (|ue nous avions déjà vu (N“ 152).

ICI). Stabilité des mouvements de rotation autour des axes principaux. — Les deux intégrales (10) font coniiaitre une propriété générale des axes instantanés, qui est liée à celle que nous venons de démontrer. Soient (x, y, z) les coordonnées d’un point tic l’axe instantané, distant de l’origine d’une quantité égale à /. Les cosinus des angles ' formés par cet axe avec les axes coordonnés, pouri'out être repn-sentés

par on aura donc, en désignant y‘'p* -v- q* -t- r* par w,

X P ;/ q Z r l~ïr' l"~u' l^Vr'

Si l’on tire de là les valeurs de p, q, r, pour les substituer dans (10) et ([u’on divise ensuite ces deux intégrales membre à membre, te et I disparaîtront et on trouvera pour équation de la surface ilécrite par l’axe inslantaiié,

Ax* -t- liy -H C?" “IF ’

ou liirii

A (AD* — D'*) X* ^ B (BD* — ü'*) t/* t- C (CD* — U’*) s* = 0.

Celte ('quation a|)partienl évideininent à une surface conique du second degré, dont on reconnaîtra la forme et la position en la coupant par trois plans parallèles au\ plans coordonm^ et distants de ceux-ci d’une quantité h. Les équations des trois sections sont :

B (BD* — D'*) <f + C (CD* — D'*) :* = — A (AD* — D'*) /i*,

C (CD* — D'*) s* A (AD* — D'*; x* = — B (BD* — D'*) h-,

A (AD* — D'*) X* -+- B (BD* — 1)'*) y* = — C (CD* — D'*) A* ;

elles appartiennent visildcnient à des ellipses ou à des hyperboles ayant respectivement leur centre dans l’axe A, B ou C, cl ayant chacune leurs diarnètn's principaux parallèles aux deux autres axes d'inertie. De h’i résulte celte proposition : l'axe instantané île rotation ilécrit autour de l’un des axes principaux, un cime droit ayant pour base une ellipse ou une. hyperbole dont le centre est placé dans cet axe et dont les diamètres principaux sont parallèles aux deux autres axes principaux d' inertie.

Pour reconnaître la forme du c(hie, supposons les moments d’inertie principaux rangés suivant l’ordre de grandeur A> B > C. Le coeflicieiil AD* — D'* est nécessairement positif; car s’il était négatif, les coeflicients BD* — D'* cl CD* — D'* seraient négatifs à plus forte raison, ce qui rendrait la première des trois équations impossible, puisque le premier membre serait entièrement négatif et le second membre positif. D’un autre cfité le cocflicienl CD* — D'* est toujours négatif ; en ciïct s’il était positif, BD* — D'* le serait aussi et la première équation ne pourrait pas subsister. On voit donc que les circonstances initiales du mouvcinent ne peuvent influer que sur le signe du coefficient BD* — D’’; si celui-ci est positif, la troisième équation appartiendra à une ellipse et les deux autres à des hyperboles; si BD* — D * est négatif, la première sera une. ellipse cl les deux autres des hyperboles. Il suit de lè que l’axe instantané tourne nécessairement autour de l’axe du plus grand ou du plus petit moment d’inertie A ou C, de manière à décrire un cène à base elliptique, mais que, dans aucun cas, il ne tourne autour de Taxe moyen B, cl jiar conséquent si l'axe instantané est écarté très peu de Taxe du plus grand ou du

r.llAPETHE XVIll.

pins pelil iiiomeiil d’incrlie, il UmiH indéfininieiit ù y revenir en eiTeetmint autour de l'un d’eux une suite d'oscillations coniques, ce qui n'a pas lieu autour de l'axe d’inertie inoycn. On sait (N“ 152) que si le corps avait eomnicnec à tourner autour de l’un des trois axes principaux, il aurait eontinud indéliniinent coniinc si l'axe avait été lixc , et il rt^ultc de ce qu’on vient de voir et de ce qu'un a vu N" 107, qu’il y a entre les trois axes cette diirérencc, que si l’axe de rotation est infiniment pou éloignée de l’axe d’inertie maximum ou minimum, il oscillera autour de ces axes sans s’en éloigner, tandis que , s’il s’écarte tant soit peu de l’axe d’inertie moyen, il l’abandonne aussitôt et s’en éloigne de plus en plus. On exprime celle propriété en disant que le mouxement de rotation autour des deux premiers axes d'inertie est stable, tandis qu’il est instable autour de Taxe moyen.

170. Mouvement d’un corps autour d’un point fixe, provenant d’une percussion. — Les équations générales (8) du N" 105 du mouvement d’un corps .solide autour d’un point fixe , peuvent servir à déterminer la position de l’axe instantané autour duquel il commence à tourner au moment où il reçoit une percussion , ainsi que la vitesse de rotation qu’il prend à cet instant ; en ellet, mettons ces trois équations sous la forme suivante , en supposant qu’une seule force de percussion \, Y, Z agisse sur le corps,

A^(B-C),r = .7Z-iY

B ^ (f, — A) rp = rX — xZ (I )

C ^ — (A — B) pq = xY — yX.

On a vu (N” 153) que, X, Y, Z étant les composantes suivant les axes principaux, de la force motrice ({ni naît de 1a percussion, les intégrales

l Xdl, 1 Ydl, 1 Zdt sont les composantes de cette percussion,

-O ^ Jo

c’est-à-dire, les composantes de la quantité de mouvement que la percussion est capable de communi({uer au cnr|>s dans la direction du choc. Si donc on représente {lar u cette quantité de mouvement ou

DVNAJIIVI’E. 5ÔÂ

l.'i mesure de la percussion, cl par «, h, r les angles que l’orme sa direction a\ec les a\cs, on aura

U cos /) ,

l Zd( = «cosf.

Cela posé, supposons (pi’au moment où la percussion commence, le eorps ait des vitesses de rotation quelconques mais finies; les ternies (B — C)7r, (C — A)rp et (A — B) pi/ seront aussi finis pour eel instant et pendant la durée de la percussion, ils sont négligcahles de- (/(/ dr

vaut

, X, Z ; car les plus grandes valeurs de p, q , r

sont les vitesses angulaires primitives jointes à celles qui sont acquises pendant la duree de la percussion, tandis que X, Y', Z sont les composantes de la force qui naît de la percussion, force que l'on sait être très

... , , dp du dr ^ . , . , .

eonsiileralde el-f- J —-i -p- sont les vitesses angulaires qui seraient dl dt dt ° ’

engendrées si la percussion durait runilé de temps. Si on multiplie les deux meinbres des équations (I) par dt cl qu’on intègre en négligeant ces termes et en remarquant que le point d'application de la percussion restant sensiblement invariable pendant la durée du phénomène, X, I/, Z sont constants pendant rintégralion, il viendra

\p == tt (y cos r — r ims h) ,

Hf/ = Il (i eos a — a' cos c) ,

Cr = Il (,T cos h — y eos n]

dans lesquelles les seconds membres sont évideinment les moments statiques de la percussion ii par rapport aux trois axes rectangulaires (|ui ici se confondent avec les trois axes d’inertie princi|>aux. Ces équations serviront à déterminer les valeurs de p, q, r et par suite, celle de la vitesse angulaire j/ p* q* r* ainsi que les cosinus des

angles formés par l’axe instantané immédiatement après la percussion, avec les trois axes coordonnés, cosinus que nous savons être représentés par — — , etc. Quant au mouvement subséquent, on j/p* -t- q- -+- r*

le déterminera par les formules générales du X" IC’», en considérant

CHAPITHF. XVm.

.Mi

la vitesse de rotation duc à la percussion comme étant le mouvement initial du corps.

Si on désigne par U, T', l'" les moments de la percussion u par rapport h ces trois axes, il vient

et, en représentant par (a, p, 7) les angles formés par l’axe instantané avec les axes d’inertie principaux et par te la vitesse de rotation, on trouve

Il est visiltic que 1/ ipii entre dans U, lî', U" disparait <lcs valeurs de cos «, cos p, cos 7; la direction de l’axe insUintané est donc indépendante de l’intensité de la |)crcussion; mais la vitesse angulaire te ne sera entièrement déterminée que lorsqu’on connaitra la valeur de u. Si la percussion provient d’une masse »« animée d’une vitesse e et s’attachant au corps choqué après la percussion, on a vu au N’” IHôqiie cette valeur de « est mv. Si au contraire, la masse m se sépare du corps après l’avoir choqué, la valeur du u sera difTércntc de mv et se trouve déterminée plus loin an N" 179.

Quant aux pressions ou plutôt aux percussions qu’éprouve le point fixe et qui sont reprcsenlces par y'nrft, /'n'fti, on les

déduit des valeurs île II, n', ri' du N” Ifiîi, en suivant la même marche que plus haut, c’est-à-dire, en négligeant les termes , prï,, (r’ -4- y*) x,, etc. On trouve ainsi

UY>.«NIUl)E.

Les sccniicls termes de ees trois valeurs, mis sous lu forme M (f/z — ry^), M (ijfX, — pz,), ^ {py, — f/x,) ne sont visiblement (N“ 164) que les composantes de lu quantité de mouvement que prend le centre de gravité. Ces trois équations ne font donc qu’exprimer <]tie la percussion éitrouvée par le point fixe est éyale à la résultante de la percussion exercée sur le corps et de la réaction de son centre de gravité.

171. Théorème sur l’axe instantané de rotation. — Ces valeurs conduisent à une détermination géométrique très simple de Taxe instantané. Si pur l’origine et pur lu direction de la percussion on fait passer un plan, on trouve pour son équation, en désignant par x', y', i' les coordonnées courantes cl en observant que lu direction de la percussion passe par le point (x, y, z) cl fait avec les axes des angles (a, b, c),

(z cos// — y cos c) x' h- (x cos c — z cos a) y’ \ y cos a — x cos bj z' = it, c’est-à-dire ,

t’x' -+- ü'y' -t- ll"z' = 0.

Ce plan vient couper l'ellipsoïde des inoinents d’inertie relatif à l’ori ginc, suivnnt un de scs plans diamétraux, cl si on clierche les équations du diamètre de cet ellipsoïde, conjugué au ])lan diamétral précédent, en observant que l'ellipsoïde a pour équation

Ax * -4- Dy'* + Ci'* = «*,

on trouve

cl on reconnaît que cette droite fait avec les axes ,\, Y, /, des angles qui ont pour cosinus

eu cu;

AU" ÏÏL" 1

Ces valeurs sont évidemment les mêmes que celles que nous venons de trouver pour l’axe instantané; on est donc conduit à ce théorème : Taxe instantané de rotation d'un corps gui, étant retenu par un jyoint fixe, reçoit une percussion, est le diamètre de l'ellipsoïde central, conjugué au )üan diamétral gui passe par la direction de la percussion.

c.iiAi’irni; xviii.

r>ôfl

On rcc4)niinil de la même mimièrc que la vitesse ir de rulalion est donnée j)iir

en désignant par R le 1x1)011 de l’ellipsoïde autour duquel tourne le eorps et jiarV le moment de lu pereussion pur rapi>ort ù ce rayon. On voit donc que la vitesse de rotation, due ù une pereussion, est jiroporlionncllc au carré du rayon de l'ellipsoïde central autour duquel tourne inslnntaiiémciit le eorps cl au moment de la percussion |tar rapport à ce rayon.

M'I. Oscillations coniques d'un corps pesant. — Lorsque des forces motrices agissent sur le corps, l’intégration complète des équations du mouvement cl des équations (4) du N” 1C4 n’csl possible ipie dans un petit nombre de cas, par exemple, lorsque le corps, soumis à la seule action de la pesanteur, ne s’écarte que très peu de la position d’éipiilibrc et qu’il ne prend que des mouvements de rotation très peu rapides autour des axes jirincipaiix. Alors, si on sup|)ose que la verticale, quand le corps est en étiuilibre, soit un axe d’inertie principal C, en prenant les trois axes principaux dans celte position |iour axes coordonnés fixes X', Y', Z', les cosinus c, c', o", h" resteront infiniment petits, c" ne dilTérera de runilé que d’un infinitncnl jietil du second ordre, les produits rq, pr cl pq seront négligeables dans les équations (8) (N“ Itiii) cl en concevant le corps réduit à un poids Mg suspendu au centre de gravité qui a 0, 0 et r, pour coordonnées, les seconds membres sc réduiront ù — yigz,h", Mgz/t" et 0, et ces trois équations deviendront ....(m)

A = — Mqz.b", n yiqz a", — = O ou r == eoust. = r.

Les éipiations (4) (X" KIV) deviennent aussi, eu reiuanpiaul que les produits, tels que a'q, li’p, cq, c'p... sont négligeables coiiime étant du second ordre.

dl,

= aq — bp.

Jl "

da'

db’

^ — a V, dl

dl "

da"

db"

DY.NAMigUË.

Si l’on l’cinpiaee dans (lu) — et par leur ' ' ' dt dt '

tirées (le ees dernières, il vient

valeur -, — et

dr-

d*ir

'^~dF

dt*^

<|ui ont pour intégrales, en supposant liorizontale la position primitive de l’axe A et en plu(‘nnl dans le plan liC l’axe instantané de rotulion an conimeneenicnt du temps.

/ Moï

h" — — S eus I % / — ^ ' » o" = H sin

d’où l’on lire

: — on

,, = av/^'COSlv/-|f

dl/' / Moi

-rr ü" /' = ? % / ^r- sin

Lcsipiatre premières éipialions («) se transforment dans les suivantes, f/‘n dV,

— = - , -^f , = r *t, , etc., etc.

(pii ont pour intégrales

a = cos (r't s) , h = — sin (r'f -t- s) ,

U = sin (r7 v) , b' = cos (r'I -h v).

Les constantes arbitraires sont déterminées jiar les valeurs initiales de a, b, a, b' et |»ar les conditions (2) N" lût

iib -i- U b' +- a'b" — I), au' bb' -t- cc' = 0, a* -+- Id r* = I ,

ipii se modifient dans les suivantes

ab -i- a’b' = 0, aa' ■+■ bb' = 0, a* -H 6^ = 1 , a'- I>* = I ,

en remanpianl (pie a"b”, ce', c* et c'* sont négligeables. Enlin les

CHAmTIIE XVIII,

autres équations (n) donnent, en développant sin(r'tH-v) et eos(i-'t-Hv) et négligeant les termes du second ordre,

en déterminant les constantes par les conditions (2) du N° Ifii,

ac -+- a'c -t- a"c" = 0 , hc + b'c' ■+■ b"c'' = 0 et négligeant les quantités du second ordre.

.Si on désigne par x', y' les coordonnées du centre de gravité , les équations (.3) du N” 1C4 donnent

X =j c = *r, cos ï sin ( , y =z,r =f5i, cos v cos < y/ — ^

et une élimination de t donnera réquation de la courbe sensiblement linrizonlalc décrite jiar le centre de gravité. Lorsque .\ = B, cette courbe est une ellipse, comme pour le pendule simple (N“ 153), et l’axe vertical C oscille alors de la même nianicrc qu’un pendule

conique simple ou matliémuliquc d’une longueur r égale à — • En

menant jiar le centre de gravite une hurizuntalc quelconque et désignant par .MA* le moment d’inertie par rapport à cette droite, on sait qu’on n

MA* +- Mz,* ;

il vient ainsi

Si les muments d’inertie principaux A et B n’étaient pas égaux entre eux, l’axe principal d’inertie C n’elTcctucrnit plus des oscillations elliptiques comme préeédeinment, mais des oscillations ondulées dont la l'orme s’obtiendrait en éliminant le temps l entre les valeurs dex’ et de y'. En appelant encore ]iar analogie, durée d'une oscillai ton conique, rintcrvalle entre deux retours consécutifs de Taxe C ou Z dans un même plan vertical et du meme côté de la verticale, cette durée s’obtiendra en remarquant que l’angle r, formé a un instant

l)\M.\MigUK.

qiiuIcuiHiuc (Kir 1<! |ilaii({ui cuiUienl C ou Z el Z' avoc lo |>l»ii X'Z’, psi (Inni)p par

lang q =t^, = '- X a

COS t

sin t

qui, en posant

(Icvicnl

lang il.

cos l

= i- I eus

sin / '

eus et . col t

Cl comme lang ^ passe visiblement par la même valeur - toutes les

fois que si devient égal à - augmenté de 2 k multiplié par un nonilire

entier, il en résulte que l'intervalle entre deux retours consécutifs, ou la durée d’une nscillation conique entière, est donnée par

fT = 2îT , ll’üÙ T :

473. Formules (VEuhr, Coordonnées polaires. Les équations différentielles (4) du N" 164 que nous avons eu à intégrer dans les numéros précédents, pour déterminer en fonction du temps les valeurs des

neuf variables a, 6, e, o' étaient au nombre de 9; mais il suffisait

d'intégrer trois d’entre clics, parce que ces trois intégrales jointes aux six équations (2) déterminent complètement ces «piantités. Euler, au lieu d'employer les 9 angles n, h, c, a'.... pour fixer la position des trois axes mobiles par ra[)port aux axes fixes, ne fait usage que de trois angles, savoir l'inclinaison 0 des plans XY et X'Y' et les inclinaisons y et .Ji de rintcrscclioii de ces deux plans sur les axes X et X', ce qui réduit le noiiibre d’inconnues et par conséquent le nombre

ciiAi'iTiii: xvm.

r)iO

ir('i]iiulioiis il trois. Dans les traitiis ilc gcoinotrie analytique on déinoiilre (|u’il existe entre les anriuns angles et les nouveaux les relations suivantes :

U — cos y eos — sin f sin •{< eos 0 ,

«' = eos y sin ^ -h sin f cos •{< cos 0 ,

h = — sin » ros Ji — cos » sin !i cos 0 ,

ft' = — sin <f sin ■{/ -f- eos » ros |/ eos 0 ,

a" — sin y sin 0, («)

h" ~ cos y sin 0, e" = cos 0 , e !=• sin ■]/ sin 0 , r' = — eos •{/ sin 0.

Si on snhstitne ces valeurs dans les !t équations (4), celles-ci se réduisent à trois é(|untions diiréirnliclles distinctes auxquelles on ])cnt donner la forme suivante :

sin f) sin Ÿ cos H — </ cos ^ cos 0 -+- r sin 0 ,

= — (/ sin y -t- P cos

sin 0

= P sin y r/ cos y.

Après avoir remplacé ;i, (/, r par leurs valeurs en t tirées de (8), il faudra intégrer ecs trois équations dilférenticlles siniultanées pour en tirer les valeurs de y, -j(, Ci.

174. Cas où le corps se meut sans forces motrices. ■ — Dans le cas particulier où le corps sc meut sans forces motrices, les trois équations (13) que l’on sait ne rc|)réscnter que deux équations distinctes, sont deux intégrales des dilférenticlles (4) du .N" 1(14 et par conséquent,

(') Kn ilésignanl par II l'intersection du plan X'Y par le plan XY, les quatre prefuicres cqiialinns résultent de la considéralion des triangles sphériques XIIX', XKY', YllX', YllY'; les deux suivantes s'olitirunenl en considérant les triangles rectangles ,XIIZ' et YItZ'. I.a septième est évidente, puisque l’angle compris entre Z et Z' est égal à rnngic formé par les plans XY cl X' Y'. Knfiii les deux dernières s'ohliennenl en résolvant les deux équations

ac -t- ne' -t- o''e'' =r O , hc b' -I- 4' V’ = d.

DV.'IAIIIQL'B.

(les différentielles (6) du numéro précédent. En remplaçant h'', e" par leurs valeurs (o), ces intégrales deviennent donc

Ap = D' sin Ÿ sin 0

ÿtf = D' (;os '(I sin 6 (c)

Cr = D' cos 0

et il suHit d’obtenir encore une lroisi(!me intégrale pour que f, •}, 0 soient entièrement déterminés. Or, ces équations donnent les valeurs de 0 et Ÿ qui étant substituées dans la troisième équation différentielle [b), lui font prendre la forme suivante

f/J- D* — Cr* lï~~ ® D'* — C‘r* ’

en tenant compte des deux iiilcgralcs (10) du N” lf»6. Do plus ou a vu au N” 166 que l’on a

, Cl/À B (ir

(Il = = — ^ . ;

|/i)'* — BD* — C (C — B) r* j/aD* — D'* + C (C — A) r*

Il vient donc, en multipliant ces deux équations membre à membre,

D* — Cr* ,

(/; = DC/ÀB . . - .... (e)

^D'*— BD*— C (C— B) r* (/ AD*— D'»-+-C{C— A)r*

dans laquelle les variables •(> et r sont séparées. La solution complète de la question est ainsi ramenée à une intégrale elliptique.

17Î). Applicalions diverses. — Si deux des moments d’inertie principaux A et B sont égaux, toutes les intégrations deviennent possibles sans fonctions elliptiques; car on a vu au N° 166 que dans ce cas r est constant; les intégrales (c) et [d) deviennent donc

Cr = D cos 0 , — - = const.

’ dt

d’où l’on conclut que i|i est proportionnel au temps, c’est-à-dire, que l’intersection du plan fixe X'Y' par le plan des deux axes d’inortie égaux tourne uniformément autour de l’axe Z' et que l’inclinaison 0