JJ
db"
•c n — an,
il vient aussi
A ' - b" = /c" - Cnc"* - An (1 - c "*)
et si on rcniplace o" et 6’’ par leur valeur sin y sin 0 (o) et cosifsiii 0, ecltc équation devient
A sin’ ® Cnc"* -h An (1 — c"*) — fc"
CHAPITHK XVIII.
et en miiUiplianl membre à membre par (A),
{feos 0 — C« cos* 6 — An sin’ 9) rfO
sin 9 j/ A’e — /"• -t- 2 (Almy Cfn) cos 9 — (A*c + C*n’j cos* 9 — ’iXtmg cos’ 9
dans laquelle les variables sont séparées et le second membre est une différentielle elliptique. Enfin en éliminant p et (/ entre et les deux suivantes (4, N" 164)
- = aq~bp, —==aq — bp,
en tenant compte des deux relations ,
o'a" -h b'b" -V- ce" — 0 , aa' + bb" -+- ce" = 0,
il vient,
et apri’s avoir remplacé a, b, c, «'.... jiar leur valeur (a) en 9, f, ij/, on trouve
A sin* 9 ^ = f — C/l cos 9
et en multipliant membre à membre par (A),
(C/l cos 9 — /^) dû
sin 0 j/a*c — /■* -4- 2 (Mmg -i- Cfn) eos 0 — (A*e -t- C*/i*) cos* 9 — ^AÏmg eus’ 0
dans laquelle les variables sont aussi séparées et le second membre est une différentielle elliptique. La solution complète du problème, c’està-dire, la détermination dey, •(/, 9 en fonction du temps, est ainsi ramenée à la rccberche de trois intégrales elliptiques (A), il), (m).
Connaissant y, t|>, 9, les équations (6) donnent immédiatement les valeurs de p, q et r ou n.
Comme le corps est quelconque, on peut le réduire à un point matériel m place à l’extrémité d’une droite sans pesanteur d'une longueur l. Dans ce cas, les trois équations (A), (/) et (m) se simplifient et font eonnaitre toutes les circonstances du mouvement d’un pendule conique simple d'une longueur /. Ces trois équations donnent aussi la solution complète du problème de la détermination du mouvement de la toupie.
Les formules de la fin du N" 165 font connaître les pressions exer-
DYNAMIQUE
cécs sur le point fixe dans le sens des trois axes d’inertie principaux. On trouve sans peine
Il = mga" — ml ( ~
\dt • P’) = ”* î sin 9 - £ «//,) .
U =mgb H- WïM J = wi I ^ ^ cos ? sin 0 — — ulg j i
n" = inge" -I- ml {p* -i- g*} = m ^ cos 9 cos 0 -t- lè^ •
176. Mouvement d'un corps solide libre. — Déterminons enfin le mouvement i|iic prend un corps solide entièrement libre et soumis à l’action de certaines forces; pour cela, rapportons le corps à trois axes rectangulaires fixes dans l’espace et désignons par (.\YZ) les trois composantes de la force accélératrice qui agit sur l’élément dm
du corps et par (x, g, z), scs trois coordonnées; —dm,
TT </'») T-r<ltn sont les forces d’inertie de dm dans le sens des
dt* dd
trois axes fixes, et comme il doit y avoir à cliaipie instant éi[uilibrc entre les forces motrices et les forces d’inertie, on est conduit aux six équations suivantes :
dm = ':iS.dm, dm = i\ dm , i^dm = iZdm,
dt* dt* ’ dl*
Soient (a, h, c) les coordonnées du centre de gravité du corps et (x', g', z') les coordonnées de l’éléincnt dm rapporté à des axes jiaral- Iclcs aux premiers et passant par le centre de gravité; on sait que que l’on a
CitMMTRE XVIII.
TF dF ' rfi* "" 7/«‘ ■*■ l/ïï ’ uF'^dF'^dF
Kii »ubs!iliiaiit ccs valeiii-s dans les six équations, et remarquant que les facteurs compris sous le signe sommatoirc 1, qui sc rapportent au centre de gravité, sont des facteurs communs et que l'on a par conséquent
d*a “ (il*
dm = 1 dm — M -f-r i
dt* dl*
etc.
Xa\dm — al\dm, etc.
on trouve toute réduction faite ,
d*x‘ il*a d^i/' d^h
ï -T-- dm M -p- = l\dm , S dm -t- M-p-r = ï ^ dm , dl‘‘ dl* ’ dti lit*
dl*
dl^
:dm M ’^'/Alm,
dt*
dt'
^ dt‘- ^ rfl* J
dm -H al^—'ldm — bl'--Fz dm '^Fr-x^'dm dt*
— ï II dm -+- Ma -r- — Mb — llx \ — y \) dm -t- a S ^ dm
dl^ •’ dt* dt* ^ ’
— bt\dm, etc., etc.
Comme le rentre de gravité est situé dans les plans des (X', Y'), (.X', Z'), (Y', Z'), on a aussi
ï xdm = 0 , ly'dm = 0, S z'dm = 0 ,
d’où l’un tire en dérivant deux fois,
ce qui réduit les trois premières équations aux suivantes :
M^^iXdm, M^ = .Ydm, M^=ii
DVSAMIQUK. rii/
Cl les trois (lernièrcs, en y l'einpliieiml l'idin, ^'Adm par les
valeurs précédentes, prennent la forme
dm = ï (:'X — x'A) dm ,
lîÇ) ~ ' ' ^
On voit que les trois premières sont identiquement les équations du mouvement d'un point matériel d'une masse M, ayant a, h, c pour coordonnées et mù par les forces motrices iXdm, lYdm, lA.dm; d’où il suit que le cenlre de grarilé du eorp.% se meut de la même manière t/ite si toute ta masse y était concentrée et que toutes les forces y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes. Quant aux trois dernières équations , elles sont identiquement celles que l’on trouverait en supposant fixe l’origine, c’est-à-dire, le centre de gravité; d’où il suit que pendant le mouvement de translation du cenlre de gravité, le corps se meut autour de ce point de la même manière que si ce point était rendu fixe.
Cette remarque fait évidemment dépendre la connaissance du mouvement d’un corps entièrement libre dans l’espace, de la délcrminalion du mouvement d’un point matériel et du mouvement d’un corps autour d’un point fixe. On voit, par exemple, que si un corps pesant de forme quelconque est lancé dans le vide suivant une direction quelconque , le centre de gravite décrira une parabole, tandis que le corps tournera autour de ce centre en suivant les luis que nous avons établies pour le inouvcment d'un corps pesant autour de son centre de gravité rendu fixe (>■” l(iG).
Pour ajipliqucr les deux principes précédents, proposons-nous de déterminer les lois du mouvement de la roulette dans la machine dite jeu des émigrés. On sait qu'il se compos^ de deux roues solidaires en bois séparées par un cylindre Oa(fig. 1 13) èlïfircntrique et plus petit. Sur ce cylindre s’enroule un fd suspendu verticalement en A et attaché nu cylindre à l’autre extrémité. Si on abandonne la roulette à l’action de la pesanteur, celle-ci descend en tournant cl lorsque le fil est entièrement déroulé, la roue , en vertu de la vitesse de rotation acquise, continue à tourner, enroule de iiouvcnu le fil et s’élève
