V (II
l'.ll.kl'ITItK xvm.
vcrlicaieiiK-iit [loiir descendre ensuite. Il est visible que les deux forces qui ngissenl sur In rmilettc sont le poids P de la roue et la tension T du cordon ciA. L’équation du mouvement du centre de gravité est
donc — = P — T. Quant h la rotation , si on conçoit le centre O !l
rendu fixe, le poids P sera détruit et la seule force motrice sera la tension T du lil; l’équation du mouvement de rr)lation est donc
TU
(ft imr*
dans laquelle 6 est la vitesse de roUttion , K le rayon Oo du cylindre et tmr* le moment d’inertie de la machine par rapport à l'axe O. Enfin, à cause de rinextcnsilnlité du fil, il est visible que si dz est la quantité dont le centre de gravité descend pendant dt, on doit avoir
(/ï = R0(ft.
On conclut de ces trois équations que le mouvement du centre de gravité O obéit aux lois de la chute des corps graves et que la vitesse de rotation croît pendant la descente et décroît en montant proportionnellement on temps.
177. Mouvement d'un corps libre par suite d'une percussion. — On peut, en partant de la jiropriété énoncée plus haut, déterminer les lois du niouvemcnt d'nn corps libre qui reçoit une percussion; en effet, si U est l’intensité de cette percussion, c’est-à-dirc, 1a ((uantité de mouvement qu’elle est capable d'engendrer, en la lrans|iortant au centre de gravité, elle agira sur un point matériel d'une masse .M à laquelle elle communiquera parallèlement à sa direction une certaine vitesse U on une quantité de mouvement Ml? ipii sera 1a mesure de la percussion u; la vitesse du centre de gravité engendrée sera donc
représentée par -- qu’il faudra composer avec la vitesse antérieure de
ce point. Quant au mouvement de rotation autour du centre de gravité, comme il est le même que si cc point était fixe, on le déterminera comme on l’a fait plus haut ; ainsi , en désignant par (x, ty, z) les coordonnées du point d’application de «, rapportées aux trois axes principaux du corps choqué relatifs au centre de gravité, par (a, b, c) les angles formés pur u avec ces axes, par A, B, C les trois moments d’inertie principaux et paryj, q, r les composantes des vites.ses angu-
llYNAyiQlIB. 349
laires autour tics axes, cngcmlrccs pendant la pcmission, on a vu (N“ 170) que l’on a
U (y eos r — z cos 6) = Ap, ti (z cos a — x cos c) — Biy,
U (x eos h — y cos a) = Cr.
Ces trois équations font connaître les valeurs de p, q, r et en les ajoutant aux vitesses de rotation antérieures, on aura la position de l’axe instantané et la vitesse de rotation immédiatement après la perrussion, pourvu que u soit connu, et le I6G donne le moyen de déterminer ce mouvement au-delà de cet instant.
Il résulte de ce qu’on a vu aux N'" 108 et 109 que si le corps est primitivement en repos et si l’axe instantané de rotation après la percussion est un des trois axes d’inertie principaux du centre de gravité, il conservera, outre le mouvement de translation de son centre de gravité, un mouvement de rotation uniforme iiidéllni autour de cet axe d’inertie. Réciproquement, si le corps tourne constamment autour de la même droite, on doit en conclure que celle-ci est un axe principal relativement au centre de gravité. Quand la direction de la percussion passe par le centre de gravité du corps, les moments de u par rapport aux axes sont nuis et l’on a
y cos r — Z cos à = 0, z cos a — x cos c = 0,
X cos h — y cos 0 = 0.
Os équations, rapprochées des précédentes, font voir que les vitesses angulaires engendrées p, q, r sont nulles et que dans ce (Mis la percussion ne change rien à la vitesse de rotation primitive.
178. Mesure d'une percussion contre un corps libre. — 11 nous reste à trouver la mesure u d’une percussion contre un corps libre ou avant un point fixe, comme nous l’avons déjà trouvée (N"" 154 et 155) lorsque le corps est traversé par un axe fixe. Si le corps choquant est un point matériel m animé d’une vitesse e et qui reste attaché après la percussion au corps choqué supposé immobile, sa quantité de mouvement mv sera la valeur de u, comme on l’a vu au 154, pourvu que dans les moments d’inertie on considère le corps choqué comme composé du corps primitif et du corps choquant réunis.
Quand la masse m $c sépare du corps après la percussion, la valeur de tt n’est plus mv, mais on l’obtient en remarquant comme au N“ 155, que la pression des deux corps persiste jusqu’à ce qu’il se soit cITcctué
entre eux un ëeliange de vitesse tel que celle-ci devienne la même dans les deux corps, c'est-à-dire, tel qu'au inomcnl où finit la percussion, il y ait égalité entre les vitesses des deux corps estimées dans la direction de la percussion. Or, pour le corps choque, cette vitesse est la résultante de la vitesse de translation commune du centre de gravité et de la vitesse provenant de la rotation. Représentons par U, U', U'' les trois composantes de la première suivant trois axes rectangulaires représentés par les axes d’inertie principaux du centre de gravité du corps. Les vitesses suivant ces axes provenant de la rotation sont <fz—r>j, — ;),ï, p y — ç,x, (fin du N° 164) q,,
représentant les sommes des vitesses angulaires antérieures à la percussion que nous désignerons par p, q, r et des vitesses angulaires gagnées par l’circt de la percussion, vitesses qui sont données par.... (4)
« ( (/ cos c — Z cos /> ) M ( Z cos O — X cos c) « (x cos 6 — y cos a )
La vitesse dans le sens de la percussion, e'est-à-dirc , estimée suivant une droite qui fait avec les axes des angles (a, b, c), est donc
( U H- qz — rij ) cos O -t- ( f' -4- rx — pz) cûs b -4- ( U" P, y — qx) cos c ,
et comme U, l”, IJ" sont les sommes des composantes suivant les axes de la vitesse du eenlre de gravité, antérieure à la percussion et de la
vitesse engendrée » en désignant les premières par V cos l, V cos ni,
V cos n, on a aussi (2)
l! = V cos f -t- —cos a , U' = V cos m -v- -Ir cos h ,
U" = y eos ” ^
et l’expression précédente <le la vitesse suivant la droite (a, b, c) devient (iî)
— j (qz — r y) eus a (r,i — p,z) eos b + (py — qx) cos cl M ' '
-+- V (cos / eos a eos ni eos b -t- cos ti eos c).
DYNAMIgllE.
Quant au corps choquant m, comme sa vitesse avant la percussion est V faisant avec les axes des angles (a, p, •/) et que pendant la percussion, une force u a agi sur sa masse m dans une direction directement opposée à (a, b, c), cette force aura fait naître une vitesse— dans cette
direction , et la vitesse totale après le phénomène , sera la résultante
des deux vitesses I-®* composantes suivant les axes de la pre-
mière sont V cos a, f cos p, v cos y; les composantes de la seconde
sont — cos O, — cos b, - cos c, ou plutôt, cos o , eos t»,
«i iH ni m m
cos c, parce que cette force m est directement opposée à celle qui
in
agit sur le corps choqué; les vitesses totales suivant les axes sont donc
vcosa cos a, ccosS cos 6, vcosy cos c et la vitesse
wi m m
dans le sens de la percussion est par conséquent
(e cos a — — cos a I cos O -I- I v l'Os 9 — — cos 6 i cos &
■+■ I V cos 7 cos c I cos c
ou bien
V (cos a cos a ■+■ cos 3 cos b -i- cos y cos c)
'ni
qu'il faut, d’après ce qu’on a vu, égaler i la vitesse analogue trouvée plus haut pour le corps choqué. Si l’on remplace ensuite p, q, r, par leur valeur indiquée plus haut, l’équation finale donnera la valeur de H. On trouve, toute réduction faite,
^ t’(cosacosa-i-cos6cos9-t-cosccos7) — V (coso cos /-+-cosfc cosm-i-cosccos«)
I 1 (îcos/j — ycosc)* (xcosc — leoso)*
M m A li
— [qz — nj) cos a — (rx — pz) cos b — (py — qx) cos c (v cos n — X cos bl*
En désignant par W' la vitesse du corps choquant, estimée dans la direction de la percussion et représentée pur le premier terme du
CUAPITHE XVIII.
numérateur, et par W la vitesse totale primitive du corps choque au point où a lieu la pereussion , estimée aussi dans le sens de cette pereussion, c'est-à-dire, le deuxième, troisième, quiitrièmc et cinquième terme du numérateur réunis , il vient aussi
■I i (zcosh — t/cosc)* (arcosc — zcosa)* (y cos a — xcosb)*
Quand la pci-cussion a lieu entre deux corps de forme quelconque , en désignant encore par « sa mesure, on trouve pour la vitesse du corps choquant dans le sens de la percussion , une expression en tout point semblable à (3) , en marquant d'un accent toutes les lettres qui SC rapportciitàcc deuxième corps et en ebangeant dans (l)ctdans (2) les signes de eosa, cos 6, cosc, attendu que la percussion qui agit ici est opposée à celle qui agit sur le corps choqué. Cette vitesse est ainsi
— j {'/'/ — cos a’ -t- (r'x' — //ï') cos // -v- (//y — i/'x’) cosc' j
V' (ens (' cos a' -+- cos m' eos b' -e- cos n' cos c").
Si on égale ces deux vitesses, en remplaçant q, , r, par
wcosc — zcosb , . , , y’ cosc' — z'cosb'
P r . etc. et p, , 7,, r, par p — tr ,
etc., puis, qu'on tire la valeur de u en représentant comme plus haut
par W et W' les vitesses suivant la percussion, du corps choqué et du
corps choquant au point de contact, on trouve
