U = MV
La rotation se faisant invariablement autour de la droite des pôles de la terre, il faut en conclure que cette droite est axe d’inertie principal par rapport au centre de gravité; or, d’après le théorème démontré (N" 171), l’axe instantané doit être conjugué dans l’ellipsoïde central, au plan diamétral passant par le centre de gravité et par la direction de la percussion , et comme dans un ellipsoïde un diamètre principal est perpendiculaire à son plan conjugué, on voit que la direction de la percussion doit avoir été renfermée dans un plan perpendiculaire à l’axe de la terre et passant par son centre, c’est-à-dire, que la percussion doit avoir eu lieu dans le plan de l’équateur.
11 reste encore à trouver la distance à laquelle 1)^ direction de la percussion a passé, du centre de la terre; désignons cette distance par f, par r la vitesse connue de rotation et par Ml:’ le moment d’inertie par rapport à l’axe de la terre pris pour axe des Z. On a vu (N“ 170; que l’on a, U" étant le moment de la percussion par rapport à cet axe,
Cr = V"
qui revient à
Cr = /-«,
d’où l’on tire, en remplaçant u par sa valeur MV et C par Uk-,
On trouve ainsi que f est égal à du ra^on de la terre environ.
180. Axe gponlané de rotation. — On a vu que le mouvement d’un corps dans l’esiiacc |)cut toujours être décomposé en un mouvement de translation du centre de gravité et en un mouvement de rotation autour d’une droite passant par ce centre et changeant continuellement de position. On peut aussi concevoir le mouvement réel comme produit par un mouvciuenl de rotation du corps autour d’un certain point, combiné avec un mouvement de translation de ce point; en effet, v étant la vitesse du centre de gravité, (a, p, y) les angles formés par la direction de cette vitesse avec les trois axes d'inertie
DÏ.'SASIIQIK.
principutix de ce cciilrc et (p, q, r) les vitesses yiiguliiircs du eorps autour de ces axes ; comme la vitesse absolue d'un point se compose de la vitesse commune de translation et de la vitesse provenant de la rotation autour de ce centre considéré comme lise, les composantes de la vitesse absolue d’un point qui a pour coordonnées (x, y, :) seront
V cos a -t- (f/z — ry), e cos p -4- (rx — pz) et c cos y (py — yx).
Si on transporte l’origine en un point ayant pour coordonnées («, 6, c), en conservant le parallélisme des axes, on aura pour ces mêmes composantes, (x’j y', s') étant les nouvelles coordonnées du même |mint,
t’ cos a + yc — rh ■+■ (yz' — ry'), etc., etc. à cause des relations
Or, ces dernières vitesses peuvent être considérées comme provenant d’une rotation autour de la nouvelle origine, engendrant suivant les axes des vitesses représentées par (yz' — ry’), (rx' — pz'), (py' — yx'), et d’une vitesse de translation de cette nouvelle origine, cette dernière vitesse étant telle que scs composantes soient v cos a -t- (çc — r6), ete. On voit que la nouvelle vitesse de rotation aura encore (p, y, r) pour composantes autour des nouveaux axes, c’est-à-dire, qu’elles sont les memes qu’autour des axes parallèles passant j)ar le centre de gravité. Il résulte de ce qu’on vient de voir qu’il y a un nombre infini de doubles mouvements qui produisent le mouvement effectif. Parmi eux se trouve un système remarquable; c’est celui où la direction de la vitesse de translation de l’origine se confond avec la direction de l’axe de rotation ; comme cet axe fait avec les (X, Y, Z) des angles dont les cosinus p
sont — ^ etc. J 1j, circonstance qu’on vient d’indiquer
arrivera lorsque l’on aura
4' cos a -4- oc - rb p
— ■ ■ = ' . etc., etc.,
f/ (v cos a -h y r — rb)’ -4- ( )’ -4- ( )’ ^ r* -4- q’ -4- r’
qui serviront à déterminer les valeurs de a, b, c ou la position de la nouvelle origine relativement aux axes principaux du centre de gravité. 11 est facile de s’assurer que deux de ces équations renferment 1a troisième ; au lieu des valeurs de a, b, c, on ne trouve donc que deux relations entre a, b, c, que l’on rend linéaires en les divisant deux à
CIIAPITHE Wlll.
5‘)li
tienx, niptnbre à incniLrp, cVsl-n-dire, que celte |)ro|iri(5lc existe pour une suite de |>oints situés sur une ligne droite dont les équations sont
— ra = r I cos ,6 — ' —
= e ^eos V. ■
cos a -+- q cos P -H r cos y)
rb — qc
P {p cos TL + ij eos ji r cos y)
et qui n’est autre que la droite autour de laquelle s’cITceluc le niouveinenl de rotation. Cette droite se nomme axe spontané de rotation. Elle est parallèle à l’axe instantané qui passe par le centre de gravité, puisque l’un et l’autre font avec les axes (X, Y, Z) des angles qui ont
par
pour cosinus — » — — - ^ — > — - et
p/ p^ -4- q* -4- r* y P* -4- q* -4- r’ (/jw* -4- q* -4- r* la distance entre ces deux axes nu la distance entre l’axe spontané et le centre de graviui, est représentée par
j/p* .4- q* -4- r* — (p cos a + q cos p -4- r cos y)* l' siu S P* -4- q* H- r* ir
IC étant la vitesse de rotation ou |/;>* -4- q* -4- r* et S l’angle formé par lu direction de la vitesse ti du centre de gravité avec Taxe instantané, angle qui est visiblement donné par
, n cos ot -4- </ cos S -4- r cos y cos J = — — — 1
puisque cos «, — — ‘ — •••■ sont les cosinus des angles for-
més par ces deux droites avec les axes coordonnés.
Quand on aura remplacé dans les deux équations de l’axe spontané, V, a, p, y, p, q, r par leur valeur en fonction du tcmjts, celles-ci ne seront plus que des relations entre a, b, cet I, et elles seront à chaque instant les équations de l’axe spontané rapporté aux axes principaux du centre de gravité. Comme on peut déterminer à cliaqiie instant la position du centre de gravité et la direction de ces axes mobiles relativement à trois axes fixes { 4 du N" 164), on connaitra la position de l’axe spontané par rapport à ces derniers axes.
Ce qu’on vient de voir est vrai, soit que le mouvement du corps résulte de l’action de certaines forces motriees, soit qu’il résulte d’une
UYMAMIQUE.
tr =
percussion. Dans le premier cas, les valeurs de p, q, r seront données au N° 1G5; dans le second, elles le seront au N° 170.
Comme les composantes de la vitesse de l’origine sont
V cos a qc — rb, etc., etc.,
la vitesse avec laquelle le corps glisse le long de l’axe spontané est visiblement représentée par
cos a-i- qc — rb)* ■+■ (v cos ^ ra — pc)* -+- ( v cos 7 -v- — qa)*
qui, nu moyen des équations précédentes, se réduit à
» cos * -4- q cos B -V- r cos 7 t! ' ‘ — L= V cos i.
181. Axe spontané à lui suite d'une percussion. — Si la vitesse de translation v du centre de gravité et les vitesses de rotation te, p, q, r autour de l’axe instantané et autour des axes d’inertie principaux du centre de gravité, étaient ducs à une percussion u, il faudrait donner à ces quantités les valeurs suivantes :
Müycosc — îcos6) u(:cosa — xcosc) ulxeosb — «cosnl
(2 cos a — icosc)* (xcos6 — ycoso)*
et on aura les équations de l’axe spontané apres la percussion , rapporté aux axes d'inertie principaux du centre de gravité, en substituant ces valeurs dans les équations du numéro précédent et remarquant que les angles a, 7 se confondent avec a, b, c, parce que l’on sait (N° 177) que la direction que prend le centre de gravité représente la direction de la percussion.
Ce qui distingue l’axe spontané , c’est qu'il reste immobile pendant l’instant qui suit la percussion et que par conséquent pendant cet instant celle-ci est sans action sur lui. Il résulte de celte remarque que l'axe spontané représente la droite qui n’éprouve pas de choc et qui reste par conséquent immobile pendant que le corps éprouve une percussion appliquée au point (x, y, r) et dirigée suivant les angles (a, b, c).
Les équations de cet axe donnent visiblement la solution du problème inverse de celui du centre de percussion , c’est-à-dire , qu’elles font
r.llAFITRK XVIII.
cniinaitrc Taxe sans jicrcussion , connaissant la direction de la percussion exercée sur le corps.
Appliquons les formules précédentes à la sphère sup|Miscc homogène. Par la direction AB (fig. 1 16) de In percussion et le centre de gravité G, faisons passer un plan et prenons pour axes principaux du centre de gravité une parallèle GX, une perpendiculaire GY à AB et une perpendiculaire GZ au plan .\Y. Il est évident qu’en considérant le point B comme étant le point d’application de la percussion, il faudra faire
X = 0, y = BG=/, î = 0, a=a=0, ^ = 6 = -, •/ =
Comme dans la sphère homogène les trois moments d'inertie sont égaux, on a aussi
et il vient
ul
d’où l’on conclut que l’axe instantané et par conséquent Taxe spontané est parallèle à l’axe des Z. Les deux équations de l’axe spontané deviennent
n = 0 et
qui apprennent que cet axe passe par un point C situé dans l’axe
des Y, à une distance GC = ^ du centre. Le point B est visiblement
le centre de percussion relatif à un axe de siis]tension passant par C et iierpendiculairc au plan des XY'. La vitesse de glissement le long de l’axe est nulle.
ISrJ. Théorèwcx sur la force vive d’un corps solide en mouvement. — On a vu (X“ 180) qu’en désignant par v la vitesse du centre de gravité d’un corps, par a, p, y les angles formés par la direction de cette vitesse avec trois axes rectangulaires passant par le centre de gravité et fixes dans le corps, par p, q, r les vitesses angulaires du corps autour de ces axes, et par x, y, z les coordonnées d’nn point du corps, les composantes de la vitesse totale de ce point peuvent être représentées par
i’ cos a -V- (qz — ry), t) cos j3 -f- (r j — pz) , « cos •/-+-( — qx) ;
nVSAMIQDE.
ôa!)
la force vive du corps est donc représcntcc par yKvcosa -t- qz — ryY {v cosp ■+■ rx — pzY eosy -t-py — qjY\dm, c’csl-à-<iirc, par
fv*dm -f- f\{qz — »y)‘ + (rx — pz)* (py — yxj* j dm — 2i’ cos «r f ydm + 2c ens a q f zdm etc.
Or les sommes f xdm, f ydm , / zdin sont nullcs et y v^dm est égal à V* J'dm ou Mc*; le moiiiciil d’inertie du corps se réduit donc à
•''J»* — ''jY — v'Y {py — y^Y i
Mc’ est la force vive du corps concentré dans son centre de gravité cl comme ry — qz, pz — rx, qx — py sont les vitesses du point (x, y, z) parallèles aux trois axes coordonnés, pntvcnaiil de la rotation du (airps autour de l’axe instantané, il est visible que y’j {qz -- ryY -t-(rx — pzY ipy — l-’-Y i force vive du corps due à ce nioiiveinent
de rotation. De là résulte ce théorème : la force vice d'un corps solide en mouvement se compose de la force vive du centre de yravité et de la force vice du corps tournant autour du centre de gravité.
En dévelo|q)ant les carrés des binômes et en prenant pour axes coordonnés les trois axes principaux d’inertie du centre de gravité, il est facile de reeonuaitre ([uc cette dernière force vive se réduit à
A/)’ -E- Bq* -H Cr*.
Si on décomjiosc le mouvement d’un corps en un mouvement de rotation autour de Taxe spontané et un glissement le long de cet axe, il est facile de voir que sa force vive est aussi représentée par la force vive due à cette rotation, plus la force vixe due au glissement; en clfet, on a vu au meme numéro, <iue la vitesse d’un point (x', y', z') peut se décomposer dans les trois suivantes :
c cos a -t- qc — rh {qz' — ry') , c cos P -r- ra — pc ■+■ (rx' —
V cos y -t- pl) — qa -V- {py — qx'), et par conséquent la force vive peut être représentée par y j (u cos a + qc — rfc)* (e cos p -t-ra— pc)* -t- {v cos y -t- ph — qn)’ | dm
CIIAPITnE Wlll.
2y j (« cos « -4- — rb) {qz’ — ry') -t- (f cos p ra — pc) (rx' — pz!)
+ [v cos y pb — qa) {py' — qx") j dm.
La première ligne représente visiblement la force vive provenant du glissement le long de Taxe spontané; la deuxième représente la force vive due à la rotation autour de cet axe , puisque qz' — ry', rx' — pz', py' — qx' sont les composantes de la vitesse du point (x', y', z') provenant de cette rotation , et la troisième ligne est nulle, ce dont on peut s’assurer en remplaçant qc — rb, ra — pc et pb — qa par leur valeur donnée par les équations de Taxe spontané.
Enfin, si le corps a un point fixe, sa force vive est re|)réscnlée par
et en développant les carrés des binèmes et prenant pour axes coordonnés les trois axes principaux d’inertie, cette expression se réduit à
ApS -4- Br/‘ -4- CrK
