CHAPITRE XIX
Exemple du mouvciiiciil d’un système donné de forme variable. — Théorie des cordes vibrantes. Durée d’une vibration transversale. — Nœuds de vibration. Vibrations longitudinales.
183. Théorie des cordes vibrantes. Durée d’une vibration transversale. — Nous prendrons pour exemple du mouvcmcnl d’un corps de forme variable, la théorie des vibrations d’une corde flexible et tendue entre deux points fixes , que l’on écarte très peu de la direction rectiligne et qu’on abandonne ensuite à cllc-mcmc, en imprimant à quelques-uns de ses points des vitesses initiales. Désignons par u la masse de l’unité de longueur de lu corde au point (xijz). La réaction
due a 1 inertie de cette unité de longueur est — — ^ It*’ d*z
— ^ 7t*’ forces extérieures et les forces d’inertie qui agissent l’élément ds sont donc — n^^\ds, f y — fs—'^'\ds,
\ dt*J \ ^ dt^ J
ds et si l’on suppose In corde sans élasticité, comme il y a
alors équilibre entre les forces précédentes (N” 141), on aura, en snbstict^x
tuant X — » -r; > etc. à .\, etc. dans les trois équations d’équilibre
dt*
d’un fil soumis aux actions des fon;cs X — ’ cb- (N" f>9)
dt*
T cos « -1- ^X — ft ds -H t
. dx ils
ClIANTHt: \IX.
Tcosc-h
(lui voiil nous faire cunuailrc toutes les circonstances du mouvement (le In corde.
Si on la suppose (icarU'c très peu de la position recliligne et soustraite h l’action de toute force motrice, X, Y, Z seront nuis, a, b, c seront constants, la tension t sera sensiblement la mtbnc (pie dans l'état d’éciuilibre, par conséquent égale à une constante a et ces trois équations étant dérivées par rapport à l’arc s, deviennent en remarquant que les trois intégrales sont prises par rapport à cette variable,
^dïi^^d?’
Ces trois équations aux dérivées partielles du second ordre donnent les valeurs de x, de y et de x en fonction de l’arc s et du temps t. En prenant pour axe des Z la droite qui joint les deux points fixes (fig. H 7) et pour origine l’un des deux points , les variables s et z se confondent sensiblement ainsi que ds et dz-, les deux premières équations de-
viennent alors , en représentant - par a*,
rf'x
rf(*
dy
Quant k la troisième, qui représente les lois du mouvement d’un point de la corde dans le sens de l’axe des Z ou dans le sens de sa longueur, elle est étrangère à la question qui nous occupe.
Pour intégrer l’une des équations (I), nous supposerons la corde unifurinémcnl épaisse, ce qui rend p et o‘ constants. La première est satisfaite en posant (Traité d’analyse, N" 265)
X = Ae"*'
A, m, H étant des constantes quelconques, pourvu que met n vériiienl l’équation
MU pourvu quu l’on ait
DYNAMIQUE
n = am ou n — — am ;
d’où l’on conclut que l’intcgralc generale est
X = Ac"‘+ -A- -t- + -h + clc.,
-A- De~"- + “"' -A- -a- 4- etc.
A, B, C, D.... m, étant des constantes arliitmircs, c’est-n-dirc,
des quantités indépendantes de r cl de I , dont la valeur dépend de la forme et des vitcs.scs initiales données aux düTércnls points de la eortic. Celte intégrale peut être écrite de celle manière
x = c"=(Ae“"' -A- Be-”"') -a- e“"' (Ce"-"' -a- De"”') -a- ele....(2)
et comme m, m', etc. sont arbitniircs, si on les remplace |)ar m — I,
tn' |/ — 1, etc. cl qu’on substitue ensuite aux quantités exponentielles leur valeur Irigonomélriquc , il viendra , en réunissant les termes semblables ,
X = P cos ami . cos mr 4- Q sin ami . sin ?iiz -a- R cos ami . sin mz -A- S sin ami . cos tnz -a- etc.
P, Q, R, S, m, etc. étant des constantes dont les valeurs dépendent du dérangement initial de la corde. Comme les deux extrémités sont des point.s fixes , si on désigne par l la longueur de la corde, il est visible que pour i = 0 et i = f, il faut que x soit nul indépendamment de toute valeur de t; or pour z nul, x devient
P cos ami -A- S sin ami -a- P' cos am't -a- S' sin am'l -a- clc. = 0,
équation qui ne peut être satisfaite pour toute valeur du temps l cl pour toute valeur constante de m, m'...., qu’en faisant évanouir les coellicicnts P, S, P' etc. Quand z est égal à /, on a aussi [lour x, en tenant compte des valeurs de P, P', S, etc.
sinm/(Qsinoiii(-A-Rcosamt)-A-sinm7(Q'siiiom'(4-R'cosa»i’t)-f-clc. =0,
équation qui n’csl satisfaite quel que soit I, que si sin ml, sin m'I, etc. sont égaux à zéro, c’est-à-dire, si ml, m'I sont des nombres entiers de
CIIAPITHK XIX.
«Icnii-circonfcrcnces , c’cst-à-dirc , si m, m', m", etc. sont égaux à -JJ -J- de. L’intégrale générale a donc la forme
. t:Z f . a-rt aj:t\
X = sin y I V sin 1- « cos -j-j
in — ^ - I y sm — 2 1- H cos — j — I -t- etc.
Pour déterminer les coelRcicnts Q, K, Q', R'.... d’après l’étal initial de la corde, observons que cet état, qui correspond à f = 0, est donné par l’équation
X = Il sin -+- R' sin —J- -i- R" sin — ^ — i- etc. ;
si donc on représente par x = fZ la projection connue de la courbe dans le plan XZ au mouient de l’ébranlement, ces deux dernières
