VS

équations devront s’aeeorder identiquement; or, en remplaçant

par z' et en développant yr' suivant les sinus des arcs multiples de z' (Traité d’analyse, N" 177), l’équation x = fc' est remidacée par

X = a -(- /) sin i' -I- c sin SJz' -i- d sin 3z' -v- etc.

dans laquelle a, h, c, d ... sont connus; il faudra donc égaler ces coellicicnts à 0, R, R', R''.... qui seront ainsi déterminés. D’un autre côté, si on dérive par rapport à t la valeur générale de x et qu’on fasse ensuite t = 0 pour se placer à l'instant initial, on trouve

dx

Tl

Q sin

-I- etc.

qui indique la vitesse initiale du point de la corde correspondant à z; or ce mode d'ébranlement doit cire connu. En le représentant par o= j<z et en développant, comme plus haut, cette fonction suivant les sinus des arcs multiples de z', on calculera de la même manière les cocITicicnts Q , Q", Q”

On peut, sans fixer les valeurs des constantes Q, R, Q', R', Q", R’’.... reconnaître plusieurs propriétés importantes. Remarquons d’abord

DYNAMIQUE

que l’équation générale (2) donnant la forme de la courbe à l’époque (,

‘il

on aura l’équation de la courbe à l’époque (h en y remplaçant (

par cette valeur; mais on reconnaît qu’en donnant à ( un accroisse-

ment égal à un multiple quelconque de — > la valeur de x reste identiquement la meme; d’où l’on conclut qu’après chaque intervalle de

temps égal à — » la corde reprend la même forme et que par consén

quent la durée d’une vibration est représentée par —ou par il \/£’

c’est-à-dire, que la durée d'une vibration est proportionnelle à la longueur l de la corde et à la racine carrée de la masse j» de l'unité de longueur. Cette durée est inversement proportionnelle d la racine carrée de la tension u de la corde.

Remarquons aussi que, si on remplace t par t -i- - ou par t augmenté

d’un multiple impair quelconque > I équation de la corde devient

. ’f» / V • r. OKt\

x = — sin 1 Q sm -j- R cos j

. /«, . ^art iant\ Znz

-+- sin 1 Q sin — j — i- R cos — l — sm — p (etc.

-+- sin —

dans laquelle les termes sont alternativement positifs et négatifs; mais si on change s en l — ce qui revient à transporter l’origine A à l’autre cxlrcmité B de la corde AB (fig. 1 17), tous les termes changent de signe et par conséquent x ou ab et a'b' prennent la même valeur pour 2 cl pour l — 2 ou pour Au = Ba', si ce n’csl qu’elles sont de signe contraire; d’où l’on conclut que la corde A&B prend de l’autre côté

, , , l ôl lil

de l’axe et apres des intervalles de tciniis égaux a - > — > —

une forme üb'A inverseiuenl symétrique à celle qu’elle avait du premier côté.

184. .Ya-uds de vibration. — Si les circonstances initiales de rébranlcinenl sont telles qu’un certain nombre de constantes Q,