SI

’ eus -

Hoirf\

-1- etc.

n clanl iiii cerlain nuinbrc entier, il est visible que, pour les points r de la eorde pour lesquels ^ est un nombre entier, tous les sinus mrc .

sin — » sin — ^ — etc., seront nuis et par conséquent x sera nul

quelle que soit la valeur de t; d’où il suit que si on divise la eorde en un nombre n de parties égales, cbaqiie point de division restera immobile eomnie s'il était fixe et je dis que chaque division de la corde vibrera de la même manière que si la division était isolée et que ses deux extrémités

fussent fixes ; en eflét - étant la longueur d'une division, si on désigne n

celle-ci par la forinulc précédente deviendra

x=sin y/

ottI

Q(«+4) siij -4 W'

■^->eosî^')

sin^^Q *" + "sin^^ -r- U'*" + " cos-^^*^ -t- etc.

11 est visible que si z est plus petit que cette équation fera connaître les vibrations de la première division et en remplaçant z par '21' -i- r, il' a zete., l’équation restera visiblement la même et cependant donnera les vibrations de la .v", îi', etc. division, qui, par conséquent oscilleront de la même manière que la première. Pour ce qui est de la 2', i°, etc. division , si on remplace z par '21' — z, il' — z, etc. , l’équation restera aussi la même, sauf les signes qui seront tous changés; ce qui prouve que les ondulations de la '2°, i', etc. division sont identiquement les mêmes que celles de la I", 3', S", etc., division, mais qu’elles sont inverses. Les points immobiles dont nous venons de reconnaître l’existence, sc nomment nœuds de vibrution.

La seconde équation aux dérivées partielles conduit à une intégrale de même forme, qui fait connaître les lois des vibrations de la corde dans le sens de l’axe des Y.

Outre les vibrations transversales dont nous venons de nous occuper, la corde prend encore un mouvement vibratoire dans le scn<

lIV.VA.VIgl'K.

Inngitiulinul , c’esl-à-dire , que cluiqiic point de la corde se rapproche et s’éloigne alternaliveincnl des deux extrcinilés fixes. La Iruisicine des équations précédentes (1), convenahleinenl préparée, fait connaitrc toutes les circonstances de ce inouveincnl, qui dé|jcnd d’une équation aux dérixées partielles du second ordre de niéine rorinc que ci-dessus, et on trouve que la durée d’une seinhlable vibration est encore proportionnelle il la longueur totale de la corde, et à la racine carrée <lc la masse comprise dans l’unité de longueur de la corde supposée unirorme. Elle est aussi inversement proportionnelle ' à l’extensibilité de la corde, c’esl-à-ilire, à lu force nécessaire pour l'allonger dans un certain rapport constant.

CIIAPITRK XX.

PnipriétOs gciirialfs du muuvt'iiipiil d’iiii syi>tèiiic de corps. — Moiivcmciil d'uii sjslémc de corps, déroinposé ou un monvrineiil du centre de gravité et un inouvenient du système autour de ce point. — Conservation du nioiiveincnt du centre île grav ité. Ca.s d’une |iiTcussiuii contre un corps extérieur. — Conservation des aires. Plan du maximum des aires. — Conservation des aires dans les monveiuents i-clatifs. Plan invurialilc. — l’rincipc de la conservation ilu mouvement de rotation. — Principe des forces vives. — Cuiiséi|ucnces de l'équation des forces vives. — Equation des forces vives dans les inouveinents relatifs. — Principe des forces vives dans le cas d'une percussion. Théorème de Carnot — 3laxinium et ininimiim des forces vives. — Itlaximum et minimum des forcc.s vives dans une machine à poids, à liens inextensibles. — Principe des force.s vives dans les mouvements relatifs. — Principe de la moindre action. — Application à la théorie du •■hoc. — .tpplication du principe des fortes vives au calcul de l'elfct des machines.

185. Propriétés fjénérales du mouvement d’un système de eorps. — On sait (S" 141) inie dans tuiil sjslèrne de eorps mis en niuuvemeiil [lar des Corees, il y a à eliaquo instant éqiiililire entre les forces extérieures, les l'orees intérieures et les foree.s d’inertie; de plus il est évident qu’il doit exister entre ecs forces, quoiqu’applitpiées à un système de fortne variable, les six é([uatious d'étjuilibre que nous avons trouvées jiour un système de forme invariable (N" 04), parce que les forces se faisiinl équilibre dans tin système de forme variable, se feraient à plus forte raison équilibre si le système devenait rigide. Il suit de là que si ou désigne par m, m'.... les masses des points matériels, par (x, y, î), (x', y', z').... leurs coordonnées rapportées à

OYNAMIQl'E.

(les axes fixes cl par (X, Y, Z), (X', Y', Z').... les composantes suivant les axes, (les forces motrices qui agissent sur ces points, ou doit avoir

tPx

Xm=.X,

'-■•‘né-'-'’

les signes £ indiquant des sommes de quantili^s de même nature, étendues nu système entier. Les forces intérieures ou les tensions des liens intérieurs disparaissent totalement de ces six équations, car étant égales deux à deux et de signe contraire, elles se détruisent dans les trois premières, et comme elles sont directement iqiposées, elles ont deux i\ deux le meme moment, mais de signe contraire, par rapport aux trois axes, ce qui les fait disparaitre des trois dernières.

Ces six équations font connaitre certaines lois qui régissent le inouverneut d’un système de points matériels et qui étant indépendantes de leur mode de liaison et des actions mutuelles, doivent être considérées comme des propriétés générales du mouvement d’un système de corps.

180. Mouvement d'un système de corps décomposé en un mouvement du centre de gravité et un mouvement du système autour de ce point. — Soient (o, h, e) les coordonnées du cciilre de gravité du système; transportons y l’origine des coordonnées en faisant

X = O -t- x', y = !>-*- y', Z = f -+- 2'. Les trois premières équations deviennent

Coininc les nouveaux plans coordonnés passent par le centre de gravité, on a aussi

ïmx' = 0, ïm/ = 0, Smr' == O,

cl par conséquent