MV

c’est-à-dire, que la somme algébrifiue des (juantilés de mouvement du système estimées suivant une direction (fuelconque est égale à la guantilè de mouvement du centre de gravité estimée dans le même sens. S’il n’y a aucune force extérieure, la vitesse V du centre de gravité est constante, cl par conséquent la somme algébrique des quantités de mouvement du système estiiuces dans une direction quelconque est alors invariable.

188. Conservation des aires. Plan du maximum des aires. — Les trois dernières c({uationsdu N“ 185 sont aussi susceptibles d’une interprétation géométrique fort simple, tontes les fois que les seconds membres sont unis. Les seconds membres sont nuis dans trois cas : 1” Lorsqu’il n’y a aucune force motrice, 2" lorsque ces forces sont dirigées vers l’origine lixe des coordonnées , puisque les binâmes yZ — :Y, z\ — aZ, xY — yX sont (N” 34) les moments par rajiport aux trois axes, de la force qui a (.X, Y, Z) pour composantes, 3" loi'squc CCS forces se font équilibre (N“ ti4). ün a donc dans le mouvement d’un système de corps qui ne sont soumis qu’a leurs actions

UY.NAHigUE. 573

inuliicilcs ou H des forces dirigées vers l’origine fixe des coordonnées,

On lire de là , en nuiltiplant par dt et intégrant,

/ dx dz\ ,

où a, a', a'' sont trois constantes arbitraires, invariables pour une meme origine et pour une même direction des axes. En multipliant de nouveau par </< et intégrant, on trouve enfin, en faisant commencer les intégrales du premier membre avec le temps t,

^mj'(xdy—ydx) = a't, 'LmJ'(ydz — zdy)r=at, imj'(zdx — idî) = o'(.

On a vu (N“ 113) que les trois intégrales

/{xdij — i/f/x), /{ydz — zdy) , f{zdx — xdz)

représentent le double des projections sur les plans coordonnés, des aires décrites par les rayons vecteurs menés de l’origine fixe au point m ; ces é(]unlions expriment donc que le mouvement d'un système de corps réagissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, mais dont les forces motrices, s’il y en a, sont toutes dirigées vers un même point fixe dans l'espace , s'effectue toujours de telle manière qu’en prenant ce point pour origine des coordonnées, la somme des produits de chaque masse par la projection sur les plans coordonnés, de l'aire décrite par son rayon vecteur, est proportionnelle au temps employé à la décrire.

C’est dans cette propriété que consiste le principe de la conservation des aires. Comme elle est indépendante des actions mutuelles des corps, elle ne cessera pas d’avoir lieu, 1“ s’il survient des percussions entre eux, 2" si une explosion fait éclater un des corps ep plusieurs fragments, 3° si quelques uns des liens viennent à se rompre, etc. S'il n’y avait pas de forces extérieures, le principe serait vrai pour une origine fixe quelconque. 11 a encore lieu quand le système renferme

UIAPITBE XX.

un point lixc, pourvu qu’il soit |>ris pour centre des aires ou pour origine des coordonnées; car les pressions ou réactions de ce |)oiiit devront à la vérité élrc considérées comme forces extérieures, mais comme elles sont appliquées à l'origine des coordonnées, leurs moments par rapport aux axes seront nuis et par conséquent les sommes S (iX — xZ) , etc. seront encore égales à zéro. Enfin s’il y avait plusieurs points fixes renfermés dans une même ligue droite, en prenant celle-ci pour axe des Z, lu première des trois équations précédentes subsisterait encore, puisque les moments des résistances de ces points par rapport à cet axe seraient nuis; mais le principe des aires ne subsisterait plus que pour un plan perpendiculaire à cette droite.

Comme dans un système entièrement libre, le principe des aires subsiste pour toute direction des plans coordonnés, il est évident que si on projette les aires décrites par les rayons vecteurs, sur un plan quelconque, la somme des produits de ces aires par les masses correspondantes sera encore proportionnelle au temps, mais les constantes a, a, a" ou les facteurs constants de l changent avec la direction de ce plan. La loi suivant laquelle varient ces facteurs avec la direction de ce plan est facile à trouver; si on désiguc par (a, p, y) les angles qu’il forme avec les plans coonlonnés (ou les angles formés par une perpendiculaire au plan avec les trois axes) , par d$ l’aire décrite par le rayon vecteur de m dans le temps ilt et par ^ l’angle formé par le plan de cette aire ds avec le plan de projection donné, (Ls cos >1 sera la projection de l’aire ds. Or en désignant parf, s', e" les angles formés par le plan de l’élément ds avec les plans coordonnés, on sait que l’on a

cos •<? — cos « cos f cos P cos e' -i- eos y cos s” ; la projection de l’élément ds devient donc

cos a eais sds -t- cos p cos e'ds -h cos y cos s"ils ,

et l’on trouve pour la somme des produits des masses par les ju'ojcclions des aires décrites parles rayons vecteurs pendant le temps dl,

(cos a cos eds ■+■ cos p eos s'ds ■+■ eus y cos e"ds),

ou bien, parce que les angles (a, p, y) sont les mêmes pour tous les corps,

cos alm eos eds -t- eos 6ïw cos e'ds ■+■ eos yïw cos e'ds.

On sait que ds cos s, dscose' et ds cos s" sotit les projections de

DYNAMIQUE

l’clcim'iit ils sur les trois plans coordonnes, c’esl-à-dire, -^{ydz — '(/y),

- {zdx — xdz) , - {xdtj — ijdx) ; celle soiniiie revient donc à

- cos aîm (ydz — zdy) -+- - eos pim (zdx — xdz) -+- - cos ySm (xdy — ydx),

et en intégrant depuis t = 0, on trouve pour la somme de ces produits pris pendant le temps t,

- cos alm /{i/dz — zdy) -v- - cos pim /(zdx — xdz)

-4- - COS •iimf(xdy — ydx) ,

ou bien, en remplaçant les trois sommes par leur valeur al, a't, a"t, i (a cos a -t- o' cos P -H a" cos y) t

qui vérifie la loi des aires pour un plan faisant des angles («, p, y) avec les plans coordonnés, c'est-à-dire, que la somme des produits de chaque masse parla projection de l’aire que décrit son rayon vecteur surce plan, est encore proportionnelle au temps, puisque a, a', a", a, p, y sont des constantes. Cette expression fait connaître en outre la lui suivant lu- (luclle la valeur de cette somme pour un même centre des aires change avec la direction du plan de projection, c’est-à-dire, avec (a, p, y).

Si on cherche les valeurs «, p, y qui donnent à celte expression une valeur maximum, en ayant égard à la relation

cos’ a -H cos* p -h cos* 7=1,

on trouve

cos a = — - J COS P — — J

cos y = r •

y «* a'* -4- tt"*

Ces équations fixent la position du plan maximum pour une même origine et la valeur de ce maximum est

CIIAMTHE XX.

189. Conservation des aires dans les mouvements relatifs. Plan invariable. — Le principe des aires dont on vient de s’occuper, suppose que le centre des aires reste fixe, tandis que les corps du système sont emportés dans l’espace. Si le centre des aires ou l’origine des coordonnées, vers lequel convergent toutes les foi-ccs, était mobile, le principe des aires subsisterait encore, pourvu que l’on prit, coininc au N" 115, faire apparente décrite par le rayon vecteur et que l’origine mobile fût le centre de gravité du sysUune ou que l’origine décrivit une droite quelconque d’un mouvcnieiit uniforme ; en cITcl si dans les trois dernières équations du N“ 185 on remiiluce les coordonnées (x, y, i) du point m rapportées à des axes fixes, par a -v- x’, 6 -v- y', c -s- z', (a, 6, c) étant les coordonnées de l’origine mobile et (x', y', s') les coordonnées du même point m rapporU- à des axes mobiles |)ussant par le point (a, h, c) et parallèles aux axes fixes, ces équations prennent la forme

= 2(cX — aZ) H- ï {z'S. — l’Z) , cte.

(|iu deviennent, en remarquant que imc— n est autre chose que

rlm — ou cïA ,

/,dV ,(/V\ d*a