LIVRE I. — CINÉMATIQUE

§ 43. Lorsqu’on regarde un point mobile comme animé à là fois de plus de deux mouvements (§ 41), on obtient sa vitesse ab- • solue au moyen des vitesses des divers mouvements composants, en appliquant successivement la construction du parallélogramme des vitesses, de la manière suivante :

Soient AB, AC, AD, AE, fig. 21, les vitesses du point, dans chacun de ses mouvements composants. On trouve d’abord que AF est la résultante des vitesses AB, AC; ensuite que AG est la résultante des vitesses AF et AD, et par conséquent la résultante des trois vitesses AB, AC, AD; enfin que AH est la résultante de AG et de AE, c’est-à-dire la résultante des quatre vitesses données.

Pour trouver cette résultante définitive, on peut se contenter

de mener, par l’extrémité B de la première vitesse AB, une droite BF égale et parallèle à AC; puis, par le point F, une droite FG égale et parallèle à AD; ensuite par le point G, une droite GH égale et parallèle à AE : la droite AH, qui joint le point A à l’extrémité du polygone ABFGH ainsi Fig. 21. formé, est la résultante cherchée.

Cette construction, à l’aide de laquelle on détermine la résultante d’un nombre quelconque de vitesses dont un point est animé simultanément, se nomme polygone i\es vitesses.

Il est clair que le polygone des vitesses, dont le parallélogramme des vitesses n’est qu’un cas particulier, permet de composer les vitesses simultanément d’un point dans tous les cas possibles. Si ces vitesses simultanées sont de même direction et de même .sens, on en déduit que la vitesse résultante est égale à leur somme, et qu’elle est dirigée dans la direction et dans le sens de chacune d’elles. Si les vitesses simultanées sont de même direction, et que les unes soient dans un sens, les autres dans le sens opposé, on trouvera leur résultante en faisant la somme de celles qui sont dirigées dans un sens, et la somme de

MOUVEMENTS. COMPOSÉS. '

celles qui sont dans le sens contraire, puis retranchant la plus petite de ces deux sommes de la plus grande : la différence ainsi obtenue sera la vitesse résultante, et elle sera dirigée dans le sens de la plus grande des deux sommes dont nous venons de parler.

§ -U. Dans le cas où les vitesses composantes sont au nombre de trois, et où leurs directions ne sont pas dans un même plan, on peut trouver la résultante par un moyen un peu différent, que nous allons faire connaître.

Soient AB, AG, ^VD, fig. 22, les trois vitesses composantes. En construisant un parallélogramme sur AB et AC, on trouvera la résultante AE de ces deux vitesses; si ensuite on mène, par le point E, une droite EF égale et parallèle à AD, AF sera la résultante de ces trois vitesses AB, AC, AD. Or, si l’on mène par les points B, C, des droites BG, CH, aussi égales et parallèles à AD, les extrémités D, F,

G, H des quatre droites égales et parallèles AD, EF, BG, CH, formeront un parallélogramme égal et parallèle au parallélogramme ABCE. Donc la vitesse résultante AF est la diagonale d’un parallélipipède construit sur les trois vitesses composantes AB, AC, AD. e

Cette construction, spéciale au cas de trois vitesses composantes non situées dans un même plan, se nomme parallélipipède

des vitesses.

§ 45. On a souvent besoin de décomposer une vitesse en deux ou trois composantes suivant des directions données. Cette décomposition s’effectue très -facilement, en se fondant sur ce qui précède.

Soit AB, fig. 23, une vitesse qu’il s’agit de décomposer en deux autres dirigées suivant les lignes AC, AD.

On observe d’abord que, pour que cela soit possible, il faut que la vitesse donnée AB soit dans le plan

At LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

CAD. Si cette condition est remplie, il suffit de mener par le

point B des parallèles BE, BF aux lignes AD, AC : AE et AF sont les deux composantes cherchées.

Soit encore AB, fig. 24, une vitesse qu’il s’agit de décomposer en trois autres dirigées suivant les lignes AC, AD, AE, non situées dans un môme plan. Menons par le point B trois plans respectivement parallèles aux plans DAE, CAE, CAD, et cherchons les points F, G, II où ces plans coupent les lignes AC, AD, AE : AF, AG et AH sont les trois vitesses composantes qu’on voulait obtenir.

§ 40. Mouvement d’un point rapporté à un système de coordonnées rcetiiiKnes. — Pour définir Complètement les positions successives d’un point mobile, on peut les rapporter à un système de coordonnées rectilignes ; la connaissance des variations que les coordonnées éprouvent avec le temps entraîne nécessairement la connaissance des diverses circonstances du mouvement de ce point.

Considérons d’abord le mouvement d’un point qui reste toujours dans un même plan, et rapportons ses diverses positions à deux axes coordonnés ÜX, O Y tracés dans ce plan, fig. 25. Soient ,t l’abscisse Om, et y l’ordonnée Om^ du point mobile M à la fin du temps t. Ces deux coordonnées, Æ‘, y y varient avec le temps, en sorte qu’on a

Si l’on projette le point M sur l’axe OX, parallèlement à l’axe

MOUVEMENTS COMPOSÉS

O Y, la projeclion sera m; de même, si 011 le projette sur l’axe -OY, parallèlement à l’axe OX, sa projection sera m^. Les deux relations qui précèdent sont donc les équations du mouvement des projections m, m^ du point M sur les deux axes. On les nomme souvent aussi les équations du mouvement du point M.

L’élimination de t entre ces deux équations fournit une relation entre les variables r, y; ce n’eSt autre chose que Téquation de la trajectoire du point M.

Désignons par u et w, les vitesses des projections w, m, du point M ; nous aurons

(ix f.

La connaissance de ces deux vitesses permetjde trouver la vitesse V du point M, en se fondant sur ce que u et m, sont les projections de v sur les axes OX, OY 13). En etfet, si nous menons par le point M deux droites MN, MP respectivement égales à w, et parallèles aux axes OX, OY, il est aisé de voir que la vitesse v doit être représentée en grandeur et en direction par la diagonale MQ du parallélogramme MNPQ; cett(‘ diagonale MQ est la seule ligne partant du point M dont les projections sur les axes soient w, u,. On peut donc dire que la vitesse y du point M est la résultante des vitesses «, de ses projections sur les axes OX, OY (§ 4:2).

Cette conséquence, à laquelle nous venons de parvenir, peut être établie d’une autre manière. On peut concevoir que le point mobile parcoure la droite OX, de manière que l’équation de son mouvement sur cette bgne soit

et qu’en même temps la ligne OX soit animée d’un mouvement de translation rectiligne parallèle à OY et représenté par l’équation

En vertu de l’existence simultanée de ces deux mouvements, le point M se mouvra dans le plan YOX comme nous l’avions supposé d’abord. Ce mouvement absolu du point M peut donc être

U LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

regardé comme résultant de la composition des mouvements de ses deux projections sur les axes OX, OY; et par suite, sa vitesse v doit être la résultante des vitesses w, w, de ces projections.

§ 47. Il est facile d’étendre ce qui vient d’être dit au cas où l’on rapporte les positions successives d’un point mobile M à trois axes OX, OY, OZ, fig. 26. Si l’on désigne par x, y, z les trois coordonnées Ow, Ow,, Om^ du point M, à la fin du temps ly ces quantités varient avec le temps, en sorte qu’on a

Les points m, m,, sont les projections de M sur les axes, faites parallèlement aux plans YOZ, XOZ, XOY. Les trois relations qui précèdent sont donc les équations du mouvement de ces projections du point M; on leur donne aussi le nom d’équations du mouvement du point M.

En éliminant la variable t entre ces trois équations on trouve deux relations, entre les variables a;, y, Z : ce sont les équations de la trajectoire du point M dans l’espace.

Représentons par u , M„ «2 Ï6S vitesses des projections m, du point M, nous

aurons

dx - , „ du , dz ,

Ces vitesses m, w,, sont les projections de la vitesse v du point M dans l’espace. On en conclura sans peine que, si l’on mène par le point M trois droites parallèles aux axes OX, OY,

MOUVEMENTS COMPOSÉS

OZ, et égales respectivement à m, la vitesse v est la dia-

gonale du parallélipipède construit sur ces trois droites. Donc cette vitesse v du point M est la résultante des trois vitesses ?/, M,, de ses projections sur les axes (§ 44).

On parvient au môme résultat en supposant que le point mobile se meuve sur Taxe OX conformément à l’équation

qu’en même temps cet axe OX ait un mouvement de translation rectiligne, parallèle à l’axe OY, et représenté par l’équation

et qu’enfm le plan XOY ait aussi un mouvement de translation rectiligne, parallèle à l’axe OZ, et représenté par l’équation

La coexistence de ces trois mouvements équivaut au mouvement du point M dans l’espace, tel que nous l’avions d’abord considéré. On peut donc regarder les mouvements des projections du point M sur les axes comme étant les mouvements composants de son mouvement absolu, et par conséquent les vitesses w, w,, Wj, des projections m, w,, sont les composantes de la vitesse r de ce point M.

§ 48. niouYement d’un point rapporté é un système de coordonnées polaires. — On peut encore rapporter les diverses positions d’un point mobile à un système de coordonnées polaires. Nous allons examiner successivement le cas des coordonnées polaires dans un plan, et celui des coordonnées polaires dans l’espace.

Soient P le pôle, et AP l’axe polaire, fig. 27, auxquels sont rapportées les positions du point mobile M, qui se meut en restant dans un plan passant par l’axe AP. Désignons par r le p rayon vecteur MP, et par Q l’angle MPA. Les quantités r et © varient avec le temps t; la con-

10 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

naissance des relations qui les lient à celte dernière variable suffit pour que le mouvement du point M soit complètement connu. Ces relations constituent les équations du mouvement du point.

On peut regarder le point M comme marchant le long du rayon vecteur, pendant que ce rayon vecteur tourne autour du pôle. La composition de ces deux mouvements simultanés du point M donnera son mouvement réel. Le mouvement du point M le long du rayon vecteur est un mouvement relatif; le mouvement de rotation du rayon vecteur autour du pôle est un mouvement d’entraînement.

La vitesse du point M dans son mouvement le long du rayon vecteur est

tir

Tt‘

La vitesse d’entraînement du point M, supposé immobile sur le rayon vecteur, est

Si l’on porte la première en MS, sur le prolongement du rayon vecteur PM, et la seconde en MR, suivant une perpendiculaire à ce rayon vecteur, on trouvera la vitesse absolue MT du point M, en appliquant la construction du parallélogramme des vitesses aux deux composantes MR, MS.

§ 49. Lorsqu’un point mobile M se meut d’une manière quelconque dans l’espace, on peut définir sa position à chaque instant en donnant : 1® sa ^ distance 7’ à un point fixe ou pôle P, 28; 2® l’angle 0 que le rayon vecteur MP fait avec sa projection orthogonale PB sur un plan fixe APB ; 3® enfin l’angle y que la projection PB fait avec une ligne fixe PA tra-

MOUVEMENTS COMPOSÉS

cée dans ce plan. Les trois coordonnées r, 6, y varient avec le temps t. Les relations qui les lient à cette dernière variable constituent les équations du mouvement du point M.

On peut regarder le mouvement du point M dans l’espace comme résultant de la composition de trois mouvements simultanés, savoir : 1° un mouvement de glissement du point M le long du . rayon vecteur PM ; 2® un mouvement de rotation du rayon vecteur PM autour du point P, dans le plan BPM; 3® un mouvement de rotation du plan BPM autour de l’axe PZ perpendiculaire au plan ABP. La vitesse de glissement du point M, le long du rayon vecteur, est

La vitesse du point M, supposé immobile sur le rayon vecteur, pendant que cette ligne tourne autour du point P, dans le plan BPM, est

La vitesse du point M, supposé immobile sur le plan BPM pendant que ce plan tourne autour de PZ, est

r cos 6 -J-' dt

Supposons que l’on porte la première de ces trois vitesses sur le prolongement du rayon vecteur PM; la seconde sur une perpendiculaire à PM, menée parle point M, dans le plan BPM; et la troisième sur une perpendiculaire au plan BPM, menée par le point M : il suffira d’appliquer à ces trois vitesses composantes, perpendiculaires entre elles deux à deux, la construction du parallélipipède des vitesses (§ 44), pour trouver la vitesse absolue du point M dans l’espace.

§ 50. nKéthode de Roberval, pour le tracé des tangentes aux courbes. — La vilesse d’un point mobile est, à chaque instant, dirigée suivant la tangente à la courbe qu’il décrite

48 LIVHE F. — CINÉMATIQUE.

Il en résulte que la connaissance de cette vitesse entraîne celle de la tangente. Concevons que le mouvement du mobile soit décomposé en plusieurs mouvements composants ; si l’on peut trouver les vitesses simultanées dans ces mouvements composants, ou simplement les rapports qui existent entre elles, on en déduira la direction de la vitesse absolue du mobile, et, par suite, la direction de la tangente à sa trajectoire. Telle est la méthode indiquée par Roberval pour le tracé des tangentes aux courbes. Nous allons donner quelques exemples de son application.

Reprenons la conchoïde, dont nous nous sommes déjà occupés (§ 26). On mène par le point fixe O, fig. 20, une droite quelconque OAB, et l’on porte sur cette droite une longueur constante AB, à partir du point A où elle coupe une droite fixe MN : la conchoïde est le lieu des points B ainsi obtenus. Si nous regardons le point 0 comme un pôle autour duquel tourne le rayon vecteur OAB, nous po^urrons regarder les vitesses des points A et B comme résultant chacune de la composition d’une vitesse de glissement le long du rayon vecteur (§ 48), et d’une vitesse d’entraînement due à la rotation du rayon vecteur autour du point 0. Les vitesses de glissement de ces deux points A et B sont évidemment égales, puisque la distance de ces deux points ne varie pas. D’un autre côté, leurs vitesses d’entraînement sont proportionnelles à leurs distances OA, O B au point fixe 0. La vitesse absolue du point A est dirigée suivant la ligne MN; soit AC cette vitesse : en construisant le rectangle AECD, on aura AD pour la vitesse d’entraînement du point A, et AE pour sa vitesse de glissement. Si nous traçons BF perpendiculaire à OB, jusqu’à la rencontre de la ligne OD prolongée, BF sera la vitesse d’entraînement du point B; si nous portons en outre, sur le prolongement de OB, une longueur BG égale à AE, BG sera la vitesse de glissement du

Fig. 29.

MOUVEMENTS COMPOSÉS

point B : la diagonale BH du rectangle BFGH sera donc la vitesse du point B^ et, par conséquent, cette ligne BH sera la tangente à la conchoïde au point B.

L’ellipse est le lieu des points A, fig. 30, tels que la somme de leurs distances AF, AF', à deux points fixes F, F', est constante. Si nous regardons le point A comme appartenant au rayon vecteur AF, mobile autour du point F, sa vitesse pourra être décomposée en une vitesse suivant le rayon et une vitesse d’entraînement. Il en sera de même si nous regardons ce point A comme appartenant au rayon vecteur AF', mobile autour du point F'. La somme AF-j-AF' restant constante, il en résulte nécessairement que les deux vitesses du point A suivant les rayons AF, AF' sont égales, et que, si l’une des deux est dirigée suivant le prolongement de FA, l’autre est dirigée de A vers F'. Soit AB la vitesse du point A sur le rayon vecteur FA; si nous connaissions la vitesse d’entraînement correspondante, il nous suffirait de la porter sur la perpendiculaire BC au rayon vecteur F AB, puis de joindre son extrémité au point A : la ligne ainsi obtenue serait la vitesse du point A. Soit de même AD la vitesse de glissement du point A sur le rayon vecteur F'A ; en portant la vitesse d’entraînement correspondante sur la perpendiculaire DE au rayon vecteur F'A, et joignant son extrémité au point A, nous aurions encore la vitesse de ce point. L’extrémité de la ligne qui représente la vitesse du point A, devant se trouver à la fois ' sur BC et sur DE, sera donc le point G, où les deux lignes BG, DE se rencontrent; et par conséquent AG sera cette vitesse. L’égalité des lignes AB, AD montre que la ligne AG, qui est la tangente à l’ellipse en A, divise l’angle BAD en deux parties égales.

§ 51. Mouvements simultanés d'un solide. — Si l’on rapporte les positions successives des différents points d’un .solide en mouvement à des axes coordonnés qui sc déplacent

50 LIVRE I. — CINÉMATIQUE,

dans l’espace, on trouvera ainsi, non pas le mouvement absolu du solide, mais son mouvement relatif par rapport à ces axes mobiles. On peut regarder le solide comme animé à la fois do deux mouvements dont l’un est le mouvement relatif, dont nous venons de parler, et l’autre est le mouvement d’entraînement qu’il aurait s’il était lié invariablement aux axes mobiles. Le mouvement réel du solide s’obtiendra par la composition du mouvement relatif et du mouvement d’entraînement que nous substituons par la pensée à ce mouvement réel.

Nous avons fait usage de cette considération, qui consiste à regarder le mouvement réel d’un solide comme dû à la coexistence de deux autres mouvements, lorsque nous avons dit qu’une vis qui pénètre dans son écrou glisse le long de son axe et tourne en même temps autour de cet axe 31).

Un solide peut d’ailleurs, comme un point, être regardé comme

animé à la fois de trois, de quatre, mouvements distincts,

dont la composition fournira toujours le mouvement réel du solide dans l’espace.

Nous allons voir comment on pourra composer entre eux les divers mouvements simultanés d’un solide, dans tous les cas possibles ; et pour cela, il nous suffira de nous occuper de la composition des mouvements élémentaires simultanés, puisqu’en appliquant les propositions que nous allons établir aux mouvements élémentaires qui se produisent pendant les éléments successifs du temps, on en déduira sans peine la composition des mouvements continus simultanés du solide, de quelque nature que soient ces mouvements.

§ r>l2. Composition des mouvements élémentaires simultanés d’un solide. — Composition des translalions. —

51 un solide est animé à la fois de deux mouvements élémentaires de translation, chacun de ses points décrira, en vertu du mouvement résultant, la diagonale du parallélogramme construit sur les chemins infiniment petits qu’il parcourrait en vertu de chacun des mouvements composants i:2). Mais tous les parallélogrammes construits ainsi, pour les divers points du solide, ont leurs cotés égaux et parallèles; leurs diagonales seront donc

MOUVEMENTS COMPOSÉS

aussi égales et parallèles : donc le mouvement résultant du solide sera encore un mouvement de translation. On voit de plus que la vitesse du solide, dans ce mouvement résultant, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui représentent les vitesses . des mouvements composants.

Si un solide est animé d’un nombre quelconque de mouvements élémentaires de translation, son mouvement résultant sera encore un mouvement de translation ; et la vitesse de ce mouvement résultant se déduira des vitesses des mouvements composants, par la construction du polygone des vitesses (§ 43). Dans le cas où il n’y aura que trois mouvements composants, et où les vitesses de ces trois mouvements ne seront pas paral lèles à un même plan, la construction du polygone des vitesses pourra être remplacée par celle du parallélipipède des vitesses (§ 44).

§ 53. Composition d'une translation et d'une rotation^ — Considérons un solide animé à la fois d’une translation et d une rotation autour d’un axe perpendiculaire à la direction de la translation. Soit O, fig, 31, la projection de l’axe autour duquel s’effectue la rotation dans le sens indiqué par la flèche a; et AB la direction de la translation, dont le sens est indiqué parla flèche &.

Désignons par w la vitesse angulaire de la rotation, et par v la vitesse de la translation ; oidt sera l’angle dont le solide tourne autour de l’axe O, pendant le temps dtj et vdt sera la quantité dont il se déplace parallèlement à AB, en vertu de la translation, pendant le même temps. Abaissons du point O une perpendiculaire sur AB, et prenons sur cette perpendiculaire un point M tel que l’on ait

f=JjxOM.

Le point M s’abaisse au-dessous de OM, et perpendiculairement à cette ligne, d’une quantité M X OM, pendant le temps tdy en vertu- de là rotation autour de l’axe O ; il s’élève en même

Fig. 31.

5i LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

temps, suivant la même direction d’une quantité vdt, en vertu de la translation : ces deux quantités étant égales, d’après la manière dont le point M a été choisi, il en résulte que ce point M reste immobile. On conclut immédiatement de là que le mouvement résultant du solide est une rotation, autour d’un axe mené par le point M, parallèlement à l’axe 0 de la rotation composante. Pour trouver la vitesse angulaire avec laquelle s’effectue cette rotation résultante, nous observerons que le point O se déplace pendant le temps rft, d’une quantité rrft, en vertu de la translation, et qu’il ne se déplace pas du tout en vertu de la rotation composante; son déplacement total est vdt, et si nous le regardons comme dû à la rotation résultante, il nous suffira de le diviser par OM, pour avoir l’angle décrit pendant le temps dt en vertu de cette rotation : le quotient

vdt

ÜM

étant égal à wrft, d’après la relation qui nous a servi à déterminer OM, il s’ensuit que la vitesse angulaire, dans la rotation résultante, est égale à &>. Le sens de cette rotation résultante est d’ailleurs indiqué par la flèche c, c’est-à-dire qu’il est le même que celui de la rotation composante.

Dans le cas ou l’on aura un solide animé à la fois d’une translation et d’une rotation autour d’un axe non perpendiculaire à la direction de la translation, on décomposera la translation en deux composantes (§§ 52 et 45), dont l’une soit parallèle à l’axe de la rotation, et dont l’autre lui soit perpendiculaire. On composera la seconde de ces translations composantes avec la rotation, ce qui donnera une rotation égale autour d’un axe parallèle au premier. Il restera alors une rotation, et une translation dirigée suivant l’axe de celte rotation, dont la coexistence équivaut à un mouvement hélicoïdal, tel que le mouvement d’une vis qui pénètre dans son écrou (§ 3,1)*

Le mouvement hélicoïdal élémentaire d’un solide pouvant être regardé comme résultant de la composition d’une rotation autour de l’axe instantané de rotation et de glissement du solide, et

MOUVEMENTS COMPOSÉS

d’une translation le long de cet axe, il est facile d’en conclure l’expression de la vitesse d’un point quelconque du solide mobile. Si l’on désigne par v la vitesse de la translation, par w la vitesse angulaire de la rotation, et par r la distance du point que l’on considère à l’axe instantané de rotation et de glissement, on aura

V et «r

pour les deux composantes de la vitesse du point; et comme ces deux composantes sont dirigées à angle droit l’une sur l’autre, la vitesse résultante a pour valeur

On voit par là que la vitesse d’un point du solide mobile est d’autant plus grande que ce point est plus éloigné de l’axe instantané de rotation et de glissement, et que cet axe est le lieu des points du solide dont la vitesse est minimum.

§ 54. Composition des rota- 22.

lions autour d'axes parallèles. — «• / »

Supposons qu’un solide soit animé

de deux axes parallèles projetés en 0, 0', fig. 32, dans le sens des flèches a, a', et avec des vitesses angulaires w, &>'. Prenons, sur la ligne 00', un point M tel que l’on ait

w X OM = w' X O'M.

En vertu de la rotation u>dt autour de l’axe 0, le point M s’abaisse au - dessous de 00' d’une quantité o>dl X OM ; en vertu de la rotation ta'dt autour de l’axe 0', ce point M s’élève au-dessus de 00' d’une quantité w'df X O'M : ces deux déplacements simultanés étant égaux et directement opposés, il s’ensuit que le point M reste immobile. Donc le mouvement résultant est une rotation autour d’un axe qui passe par le point M, et qui est parallèle aux axes des rotations composantes. Cet axe de la rotation résultante, situé dans le plan des axes des rotations composantes, et entre ces deux axes, divise la dis-