LIVRE I. — CINÉMATIQUE

tion dirigée perpendiculairement au plan CDC'D' (§ 53). Cette translation, de même grandeur et de môme sens que le déplacement élémentaire du point E dû à la rotation autour de CD, s’effectue suivant EF, avec une vitesse égale au produit de la vitesse angulaire autour de CD par la distance des parallèles CD, C'D'. Si nous substituons à la rotation autour de CD, les deux mouvements simultanés dont nous venons de parler, c’est-à-dire la rotation autour de C'D' et la translation suivant EF, nous aurons à composer entre eux trois mouvements élémentaires, savoir : la rotation autour de AB, la rotation autour de C'D' et la translation suivant EF.

Cette composition s’effectuera de la manière suivante : on composera d’abord les deux rotations autour de AB et de C'D', à l’aide du parallélogramme des rotations (§ 55) ; puis on composera la rotation résultante ainsi obtenue avec la translation suivant EF (§ 53), ce qui donnera nécessairement un mouvement hélicoïdal, puisque EF, perpendiculaire au plan CDC'D', ne peut pas être perpendiculaire à l’axe de la rotation résultante qui est situé dans le plan AEC'.

§ 57. Composition des mouvements quelconques. — Tout mouvement élémentaire d’un solide équivaut à la coexistence d’une rotation autour d’un axe et d’une translation le long de cet axe. La composition de deux mouvements élémentaires quelconques d’un solide revient donc à la composition de quatre mouvements simultanés, dont deux sont des mouvements de translation, et les deux autres des mouvements de rotation. Si l’on compose d’abord les deux rotations entre elles, on trouvera en général pour résultat, une rotation unique et une translation (§ 56) ; si l’on compose ensuite les deux translations entre elles et avec celle qui peut résulter de la composition des deux rotations, on obtiendra une translation unique : les mouvements élémentaires donnés seront donc remplacés par une rotation et une translation, ce qui donnera en général un mouvement hélicoïdal (§ 53).

Si un solide est animé à la fois de plus de deux mouvements élémentaires quelconques, on trouvera le mouvement résultant

MOUVEMENTS COMPOSÉS

du solide de la manière suivante : On composera entre eux deux des mouvements donnés, et l’on obtiendra ainsi un mouvement résultant partiel de même nature que chacun des mouvements composants, d’après ce que nous venons de dire ; on composera ensuite ce mouvement résultant partiel avec un troisième des mouvements composants; puis le second mouvement résultant partiel qui en proviendra, avec un quatrième des mouvements composants; et ainsi de suite. Le résultat définitif sera en général un mouvement hélicoïdal, ce qui devait être nécessairement, puisque le mouvement hélicoïdal est le mouvement élémentaire le plus général dont un solide puisse être animé.

§ 58. Décomposition tVun mouvement élémentaire quelconque (Vun solide^ en trois translations parallèles à trois axes rectanqulaires^ et en trois rotations autour de ces axes, — Supposons qu’un solide mobile soit rapporté à trois axes coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ, et considérons un point faisant partie du solide , ou lié invariablement à lui , qui coïncide avec l’origine O au commencement du mouvement élémentaire dont nous nous occupons. Nous pouvons décomposer ce mouvement élémentaire du solide, en une translation égale et parallèle au mouvement du point dont nous venons de parler, et une rotation autour d’un axe passant par ce point (§ 31). La translation peut toujours se décomposer en trois translations dirigées respectivement suivant les axes OX, OY, OZ (§§ 52 et 15); la rotation s’effectuant autour d’un axe qui passe par le point O, peut également se décomposer en trois rotations autour (les mêmes axes (§§ 55 et 45). Donc tout mouvement élémentaire d’un solide peut se décomposer en trois translations parallèles à trois axes rectangulaires pris à volonté et en trois rotations autour de ces axes.

§ 50. Théorie des mouvements relatifs. — Mouvement relatif d'un point, par rapport à un système d'axes animé d'un mouvement de translation dans l'espace. — Un point mobile décrit dans l’espace la trajectoire MM'M", fig. 36 et se trouve en M à la fin du temps t, en M' à la fin du temps t\ en M" à la fin du temps t", etc. On rapporte ce point à un système d’axes A|, A/;,

62 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

A^, qui se déplacent en restant parallèles aux axes fixes OX, OY, OZ, et on se propose de trouver le mouvement relatif qui en résulte, c’est-à-dire, le mouvement apparent du point mobile, pour un observateur qui participerait au mouvement des axes mobiles Aç, A>j, Aç.

Soit A A' A" la trajectoire de l’origine mobile, qui se trouve en A à la fin du temps en A' à la fin du temps f , en X" à la fin du temps T, etc. A la fin du temps t, l’observateur, que nous supposerons placé à l’origine des axes mobiles, voit le point

mobile suivant la direction AM. A la fin du temps il le voit suivant A'M' . Menons A'N égale et parallèle à AM ; il faudrait que le point mobile se trouvât en N à la fin du temps î t\ pour que l’observateur crût qu’il ne s’est piis déplacé pendant le temps t' — t. Au lieu de cela, le point mobile est en M' à la fin du temps /' : il doit donc sembler être allé de N en M' pendant ce temps /' — t. Mais l’observateur, qui SC croit immobile, rapporte au point A ce que nous venons de trouver pour le point A' ; en sorte que, si par ce point A nous menons une droite Am' égale et parallèle à A'M', c’est le chemin Mm', égal et parallèle à NM', qui lui semble avoir été parcouru par le point mobile. De même, si l’on mène par le point A une droite Am" égale et parallèle à A"M", on obtient la position m" où le point mobile semble être venu se placer à la fin du temps t", et ainsi de suite. La ligne Mwi'm" est la trajectoire du mouvement relatif.

Si f — t est infiniment petit, MM', M?w', MN, sont les déplacements élémentaires simultanés, dans le mouvement absolu du

MOUVEMENTS COMPOSÉS

point mobile, dans son mouvement relatif, et dans le mouvement de l’origine des axes mobiles ; le premier est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres. En divisant ces déplacements par t' — on a les vitesses correspondantes dans ces trois mouvements, vitesses qui sont dirigées suivant les lignes MM', Mm', MN : donc la vitesse absolue du point mobile est la résultante de sa vitesse relative et de la vitesse de l’origine des axes mobiles. Soient MT, MS, MR, fig, 37, ces trois vitesses, si l’on prolonge MR, au delà du point M, d’une quantité MR' égale à MR, MS sera la diagonale du parallélogramme MR'ST : donc la vitesse relative MS est la résultante do la vitesse absolue MT et d’une vitesse MR' égale et contraire à la vitesse MR de l’origine des axes mobiles.

Concevons que les coordonnées .r, y, j du point mobile, rapportées aux axes fixes OX, OY, OZ, fig, 30, soient données en fonction du temps t par les relations suivantes :

Concevons en outre que les coordonnées .r,, y,, de l’origine des axes mobiles soient également données en fonction du temps t par les relations :

=/",(/), y, = Q, =: (/), Ci=Vi(/).

Les coordonnées Ç, >?, ç du point mobile, rapportées aux axes mobiles A', Av?, Aç, seront liées au temps t par les relations :

^ = A0-A(0, ^ = 9(n-9i(0, ^ = HO -'l'AO-

Ce sont les équations du mouremeul relatif.

Considérons spécialement le cas où le point dont on cherche le mouvement relatif est en repos absolu. Ses coordonnées, rapportées aux axes fixes OX, OY, OZ, auront alors les valeurs constantes :

œ = a, ij = b, z = c;

LIVRE I. — CINÉMATIQUE, et par suite les équations de son mouvement relatif deviendront :

— Yî = ^ — 9i(0, i;z=c—

Menons par le point M dont il s’agit trois axes MX', MY', MZ', parallèles à OX, OY, OZ, fig. 38, mais de sens contraires. Les coordonnées x\ y' y z' de A, rapportées à ces axes, seront évidemment fournies par les formules

x' — a — fy{t), y=b^Oi{t), 2' = c — <;/,(/).

Donc les coordonnées de l’origine mobile A, par rapport aux

axes fixes MX' MY', MZ', sont constamment égales aux coordonnées de M rapportées aux axes mobiles A;, Avj, Aç.

On en conclut nécessairement que la trajectoire relative ou apparente du point M, par rapport à ces axes mobiles, est symétrique de la trajectoire réelle du point A. Ces trajectoires sont symétriques l’une de l’autre, et non égales, parce que les (•coordonnées x\ y\ z' du point A se comptent en sens contraire des coordonnées relatives ?, vj, ’ç du point M; elles seraient (’îgales, si les coordonnées x', ?/', z' y tout en ayant respectivement les mêmes valeurs que Ç, vj, ç, se comptaient suivant les axes MX% MY", MZ".

Dans le cas particulier où, le point M étant en repos absolu, le point A décrit une trajectoire plane, la trajectoire apparente ou relative du point M est aussi plane. Et comme deux figures planes symétriques sont en même temps égales, on en conclut (jue, dans ce cas, la trajectoire apparente du point M est exacte-

MOUVEMEÎSTS COMPOSÉS.

ment la même que la trajectoire réelle du point A : ces deux trajectoires ne diffèrent que par la position qu’elles occupent. Nous pouvons citer, comme exemple, le mouvement annuel de la terre autour du soleil ; dans ce mouvement, la terre décrit une ellipse dont le soleil occupe un des foyers : il en résulte que, pour un observateur placé sur la terre, le soleil semble décrire annuellement une ellipse égale à la précédente, dont un des foyers est occupé par la terre.

§ (jO. Mouvement relat if d' un point, par rapport à un système d'axes animé d’un mouvement de rotation. — Soit AB, fig. 39, l’axe de rotation du système d’axes mobiles . par rapport auxquels nous voulons déterminer le mouvement relatif.

Nous pouvons, si nous voulons, supposer que le système d’axes mobiles ait été choisi de manière que l’un d’eux ^ coïncide avec cet axe AB.

Soient M, M', M" les positions du point mobile à la fin des temps ty t'y t". Le point M, considéré comme lié aux axes mobiles, décrit un cercle MN'N", en vertu de la rotation de ces axes autour de AB, et se trouve, par exemple, en N' à la fin du temps f, et en N" à la fin du temps t"; P est le centre de ce cercle. Pour que le point mobile parût être dans la même position à la fin du temps t' qu’à la fin du temps ty pour l’observateur qui se meut avec les axes, il faudrait que ce point se trouvât en N' à la fin du temps t'; mais il est alors en M' : donc il a paru aller de N' en M’. L’observateur, ne se croyant pas en mouvement, rapporte celte trajectoire apparente à la position M qu’avait d’abord le point mobile; en sorte que, pour lui, le mobile a semblé aller de M en m'y cette ligne Um' étant la ligne N'M' qu’on a fait tourner autour de AB, jusqu’à ce que N' vienne en M. De même, le point mobile devrait être en N"', à la fin du temps t", pour

66 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

sembler occuper la même place qu’à la fin du temps t; il est alors en M" : il a donc paru aller de N" en M", ou plutôt de M en nf, la ligne Mm" n’étant . autre que la ligne N" M" qu’on a fait tourner autour de AB, jusqu’à ce que N" vienne en M.

La trajectoire du mouvement relatif du point mobile est donc Mm'm". Il est clair que, pour l’obtenir, on peut donner à chaque instant au point mobile un mouvement de rotation autour de AB, égal et contraire au mouvement des axes mobiles autour de cette ligne; en composant le mouvement absolu du point mobile avec ce nouveau mouvement, on trouvera son mouvement relatif ou apparent.

Il résulte de là que, dans le cas particulier où le point dont on cherche le mouvement' relatif est en repos absolu dans l’espace, ce mouvement relatif est un mouvement de rotation, égal et contraire au mouvement de rotation des axes mobiles. On en trouve un exemple dans le mouvement diurne des astres; ce mouvement n’est qu’une apparence due à ce que la terre est

animée d’un mouvement de rotation égal et contraire, autour de la ligne des pôles.

§ Gl. Mouvement relatif d'un points par rapport à un système d'axes qui se déplace d'une manièix quelconque dans l'espace. — Il est facile de généraliser ce qui précède, de manière à déterminer le mouvement relatif d’un point par rapport à un système d’axes qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace.

Imaginons que l’on donne à l’ensemble du point mobile et des axes mobiles auxquels on le compare, un mouvement commun quelconque ; le mouvement relatif du point par rapport aux axes ne sera pas changé par l’existence de ce mouvement commun. Si l’on choisit ce mouvement commun de telle manière qu’à chaque instant il soit égal et contraire au mouvement que possèdent les axes à cet instant, ceux-ci se trouveront réduits à l’état de repos; quant au point mobile, il sera animé d’un mouvement résultant de la composition du mouvement qu’il avait d’abord, et de celui qu’on vient en outre de lui donner : ce mouvement résultant ne sera autre chose que le mouvement relatif cherché.

MOUVEMENTS COMPOSÉS

11 est aisé de voir, d’après cela, que la vitesse du point mobile à un instant quelconque, dans son mouvement relatif, est la résultante de sa vitesse absolue, et d’une vitesse égale et contraire à celle qu’il aurait s’il était lié invariablement aux axes mobiles, dans la position qu’il occupe à cet instant.

§ 62. Mouvement relatif de dem solides qui se déplacent chacun d'une manière quelconque dans l'espace, — Lorsque •deux solides A, B, se meuvent d’une manière quelconque dans l’espace, on trouve le njouvement du solide A par rapport au solide B, ou, ce qui revient au même, par rapport à des axes coordonnés que l’on suppose liés invariablement à ce solide B et mobiles avec lui, en opérant comme nous venons de l’indiquer dans le paragraphe précédent. On attribue à l’ensemble des solides A et B un mouvement commun égal et contraire au mouvement du solide B. Ce solide B se trouve ainsi ramené à l’état de repos; et si l’on compose le mouvement qu’avait le solide A avec celui qu’on vient de lui donner, on trouve un mouvement résultant qui est précisément le mouvement relatif cherché.

§ 03. Théorie do roulement et du glissement des

solides les uns sur les autres. — Nous avonS parlé d’uiie courbe roulant sur une autre courbe, et d’une surface roulant sur une autre surface, lorsque nous avons cherché à nous faire une idée de la manière dont s’effectue le mouvement continu d’une figure plane dans son plan, et d’un solide dans l’espace. Quoique l’on ait facilement compris alors en quoi consistait ce roulement J nous allons en donner ici une définition précise, afin que l’on voie clairement quelle est la nature de ce genre de mouvement, dans tous les cas où il peut se présenter.

On dit qu’une courbe roule sur une autre courbe, lorsque la première courbe se meut par rapport à la seconde sans qu’elles cessent d’être tangentes l’une à l’autre, et qu’en outre le point de contact se déplace en même temps de quantités égales sur ces deux courbes. Cette dernière condition peut d’ailleurs être énoncée autrement, en disant que les diverses parties de la première courbe viennent successivement s’appliquer sur des arcs de même longueur de la seconde courbe.

]b8 livre I. — CINÉMATIQUE.

Lorsque deux solides se meuvent l’un par rapport à l’autre, et que leurs surfaces se touchent constamment par un point, le point de contact se déplace en général sur chacune de ces surfaces. Considérons le lieu géométrique des positions que ce point de contact occupe successivement sur la surface du premier solide, et aussi le lieu géométrique des positions qu’il occupe sur la surface du second solide. Si, dans le mouvement des deux solides l’un par rapport à l’autre, la première de ces deux courbes roule sur la seconde, conformément à la définition que nous venons de donner du roulement des courbes, on dit que le premier solide roule sur le second.

Deux solides peuvent se toucher à la fois par plus d’un point. S’il y a un nombre fini de points de contact isolés les uns des autres, il v aura roulement des deux solides l’un sur l’autre pour ceux de ces points de contact pour lesquels les conditions qui ont été indiquées dans le cas d’un seul point de contact seront remplies.

Dans le cas où deux solides se touchent par un nombre infini de points de contact, formant par leur ensemble ce qu’on nomme une ligne de contact, on dit qu’il y a roulement de l’un sur l’autre dans toute l’étendue de la ligne de contact, lorsque les choses se passent comme nous allons l’indiquor. Concevons qu’on ait tracé une courbe quelconque sur la surface du premier solide, de telle manière que cette courbe rencontre la ligne de contact du premier solide avec le second, dans les diverses po.sitions qu’elle prend successivement sur ce premier solide. Concevons en outre que l’on ait marqué, sur la surface du second solide, la suite des points où celte surface est touchée successivement par la courbe que l’on a tracée sur la surface du premier; cette suite de points de contact formera une autre courbe tracée sur la surface du second solide. Si, dans le mouvement du premier solide sur le second, les deux courbes dont nous venons de parler roulent l’une sur l’autre, de quelque manière que la première de ces courbes ait été tracée sur le solide correspondant, il y a roulement du premier solide sur le second, tout le long de leur ligne de contact.

MOUVEMENTS COMPOSÉS. ^ 69

§ 04. La définition que nous venons de donner du roulement d’une courbe sur une autre, ou d’un solide sur un autre, dans; les divers cas qui peuvent se présenter, ne suppose en aucune manière que l’une des deux courbes, ou l’un des deux solides,^ est en repos. Le roulement est absolu ou 7'elatif, suivant que l’une des deux courbes ou l’un des deux solides est immobile, ou bien que les deux courbes ou les deux solides se déplacent; en même temps dans l’espace. Le roulement relatif peut d’ailleurs être ramené à un roulement absolu, par le moyen que nous avons» indiqué pour ramener un mouvement relatif quelconque à un mou-, veinent absolu (§ 62).

Lorsqu’une courbe mobile roule sur une courbe immobile,, soit que ces courbes existent seules, soit qu’elles se trouvent tracées sur les surfaces de deux solides qui roulent l’un sur l’autre, il est clair que le point de contact des deux courbes, considéré comme appartenant à la courbe mobile, reste en repos pendant un intervalle de temps infiniment petit; le mouvement élémentaire de la courbe mobile, ou du solide auquel elle appartient, doit donc être une rotation autour d’un axe passant par ce point de contact (§ 27). 11 résulte de là que, si un solide, en mouvement touche constamment un solide immobile par plusieurs points, et s’il y a roulement du premier solide sur le second en chacun de ces points de contact, le mouvement élémentaire du solide mobile est à chaque instant une rotation, autour d’un axe passant par ses divers points de contact avec^ le solide immobile; et que, par conséquent, tous ces points sont nécessairement en ligne droite. Dans le cas où le solide en. mouvement touche le solide immobile en une infinité de points, formant une ligne, il ne peut y avoir roulement du premier solide sur le second tout le long de leur ligne de contact, qu’autant que cette ligne est droite. Pour qu’un solide puisse ainsi rouler d’une,' manière continue, pendant un temps quelconque, sur un autre solide immobile, tout le long d’une ligne de contact de leurs sur- ^ faces, il est nécessaire que les surfaces de ces deux solides soient des surfaces réglées.

Ce résultat auquel nous venons de parvenir, pour le cas du ,

70 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

roulement absolu d’un solide mobile sur un solide immobile dont il touche la surfoce en plusieurs points, est directement applicable au cas d’un roulement relatif; puisqu’un pareil roulement peut être ramené à un roulement absolu des mêmes solides se touchant successivement par les mômes points.

§ 65. Toutes les fois que deux solides sont en mouvement, l’un par rapport à l’autre, sans que leurs surfaces cessent de se toucher, et que les conditions qui caractérisent le roulement (§ 03) ne sont pas remplies, on dit qu’il y a glissement de l’un des solides sur l’autre. Le glissemeut esl absolu ou relatif, suivant qu’un seul des deux solides se meut dans l’espace, ou bien qu’ils sont tous deux en mouvement. Nous n’avons besoin de nous occuper que du glissement absolu, puisque le glissement relatif peut toujours être ramené cà être un glissement absolu, par l’application de ce qui a été dit dans le paragraphe 02.

Il peut aiTiver que le contact de deux solides, que nous supposerons] d’abord n’avoir lieu qu’en un point, reste toujours en un même point de la surface de l’un de ces solides, et qu’en même temps il se déplace sur la surface de l’autre. La quantité dont les points des deux surfaces, qui coïncidaient au commencement d’un mouvement élémentaire quelconque du solide mobile, se trouvent écartés l’un de l’autre à la fin de ce mouvement élémentaire, forme ce qu’on nomme le glissement élémentaire; la vitesse de celui de ces deux points qui appartient au solide mobile, est la vitesse de glissement.

En général, le point de contact se déplace à la fois sur les surfaces des deux solides. Le glissement élémentaire est toujours la quantité dont les deux points qui coïncidaient se sont écartés en vertu d’un mouvement élémentaire du solide mobile, et la vitesse du glissement est toujours la vitesse de celui de ces deux points qui appartient au solide mobile ; ce glissement élémentaire, et la vitesse de glissement qui lui correspond, sont toujours dirigé.s dans le plan tangent commun aux deux solides mené par leur point de contact.

Le mouvement du solide mobile peut se décomposer à chaque instant en un mouvement de rotation autour d’un axe pas-

MOUVEMENTS COMPOSÉS

sant par son point de contact avec le solide immobile, et un mouvement de translation : la vitesse de ce mouvement de translation est précisément la vitesse de glissement.

Le solide en mouvement peut toucher le solide immobile par plusieurs points isolés et en nombre fini, ou bien par une infinité de points formant une ligne ou même une surface de contact. Dans ce cas, on peut dire pour chacun de ces points ce que nous venons de dire du point de contact unique, dans le cas où nous supposions qu’il n’y en avait qu’un. 11 y a un glissement élémentaire et une vitesse de glissement pour chacun de ces points de contact, et on les déterminera exactement de la même manière que si les solides ne se touchaient que par un point.

§ ()0. Application aux enfçrenoges. — Les engrenages sont des organes de machines destinés à transmettre le mouvement de rotation d’un arbre à un autre arbre. Ils se composent de roues, garnies de dents sur tout leur contour, ou, suivant l’expression admise, de, roues dentées^ que l’on adapte aux arbres entre lesquels on veut établir cette communication de mouvement. Les dents de la roue montée sur le premier arbre pénètrent entre les dents de la roue que porte le second arbre, ou, en d’autres termes, les dents des deux roues engrènent les unes avec les autres; en sorte que l’un des deux arbres ne peut pas tourner sans que l’autre tourne en même temps.

On construit les dents des engrenages de telle manière que, si le mouvement de rotation de l’une des deux roues est uniforme, le mouvement qui en résulte pour l’autre roue soit aussi uniforme; ou bien, ce qui revient au môme, de manière que le rap- -port des vitesses angulaires des deux roues reste constant, quel que soit le mouvement de l’une d’elles.

Nous distinguerons les engrenages cylindriques qui servent à établir la communication du mouvement de rotation entre deux arbres de direction parallèles, et les engrenages coniques qui jouent le même rôle dans le cas de deux arbres dont les axes de rotation concourent en un même point.

§ 07. Engrenages cylindriques. — Soient 0,0', fig. -iO, les projections des axes de deux arbres parallèles, sur- uii plan

7S LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

perpendiculaire à leur direction. Désignons par w la vitesse angulaire de l’arbre 0, et par &/ celle de l’arbre 0'; nous supposerons que ces deux vitesses restent constantes pendant le mouvement. Divisons la distance 00', en deux parties 0A,0'A telles que l’on ait

puis décrivons deux circonférences de cercle, des points 0,0'

comme centres, avec OA et O'A pour rayons : ces deux circonférences se nomment les circonférences primitives de l’engrenage.

L’arc décrit pendantle temps dl, par un point de la circonférence OA, est égal à (ùdtx OA ; l’arc décrit dans

le même temps par un point de la circonférence O'A est égal à oidt X O'A : donc ces deux arcs sont égaux, d’après la position que le point A occupe sur la ligne 00'. Ainsi l’engrenage doit être construit de manière qu’il passe en même temps des arcs égaux des deux circonférences primitives par la ligne des centres. On en conclut facilement que, pendant le mouvement des deux roues, les circonférences primitives roulent l’une sur l’autre (§ 63).

On adopte pour surfaces des dents des roues, des surfaces cylindriques ayant leurs génératrices parallèles aux axes des arbres; on n’a donc qu’à déterminer la forme des bases de ces

MOUVEMENTS COMPOSÉS. 73

surfaces cylindriques, c’est-à-dire les profils des dents. Le profil des dents de Tune des deux roues peut être pris arbitrairement; celui des dents de l’autre roue s’en déduira par la condition que, le mouvement se transmettant par l’intermédiaire de ces dents, les circonférences primitives de l’engrenage roulent l’une sur l’autre.

Soit AB le profil d’une dent de la roue O'. Si l’on fait tourner les deux roues indépendamment l’une de l’autre, en leur donnant les vitesses angulaires w,w', le profil de la dent correspondante de la roue O devra rester constamment tangent à la courbe AB, tant que ces deux dents se trouveront dans des conditions convenables pour être en prise l’une avec l’autre, eu égard à leur longueur. Il en sera encore de même si, outre les mouvements de rotation isolés dont nous venons de parler, on donne à l’ensemble des deux roues un mouvement commun de rotation égal et contraire au mouvement de la roue O, afin de réduire celte roue O à l’état de repos, et de donner à la roue O' un mouvement absolu qui soit précisément le mouvement relatif qu’elle avait par rapport à la roue O (§ 0:2). Le mouvement que prendra ainsi la roue O' sera évidemment un roulement de la circonférence primitive O'A, sur la circonférence OA supposée immobile. Donc le profil ADM, que l’on doit donner à la dent de la roue O, est Venveloppe des positions successives que prend la courbe AB, lorsqu’elle est entraînée par le cercle O'A, roulant sur le cercle OA.

Le cercle O'A, roulant, comme nous venons de le dire, sur le cercle OA qui reste immobile, et étant venu dans une position quelconque 0',Aj de manière à loucher le cercle OA en G, on obtient le point où la position correspondante A, B, de la courbe AB touche son enveloppe, eu abaissant du point G la normale GD sur A, B,. Gar le cercle mobile, en continuant à rouler, tourne d’abord d’une quantité infiniment petite autour du centre instantané G. Soit DGD' l’angle dont il tourne ainsi : l’arc DD', de la courbe A, B, peut être regardé comme un arc de cercle décrit du point G comme centre, avec GD pour rayon. Après la rotation infiniment petite dont nous parlons, le point D' de la

74 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

courbe A, B, sera donc venu en D; et par suite, le point D estsitué à la fois sur la courbe AjB, et sur la position infiniment voisine qu’elle va prendre en tournant autour du point C : donc enfin le point D appartient à l’enveloppe, qui est le lieu géométrique des intersections successives de la courbe mobile AB.

Le profil des dents de la roue O étant déduit, comme nous venons de le dire, du profil adopté arbitrairement pour les dents

de la roue O', considérons ces deux roues dans une position telle que les deux profils se touchent en un point quelconque M, fig. 41.

D’après ce qui a été dit, la ligne AM est la normale commune aux deux profils en M. Le mouvement relatif de la roue 0' par rapport à la roue 0 étant un mouvement de roulement du cercle O'A sur le cercle OA, le mouvement relatif élémentaire de cette roue O' sera une rotation infiniment petite autour du point A ; dans ce mouvement élémentaire le profil EF adapté à la roue O' glisse d’une certaine quantité sur le profil GII adapté à la roue O : nous allons déterminer la valeur de ce glissement. La roue O tourne avec une vitesse angulaire w, et la roue O' avec une vitesse angulaire w'; lorsque nous donnons à l’ensemble des deux roues un mouvement égal et contraire au mouvement de la roue 0, pour ramener celle-ci à l’état de repos, et faire prendre à la roue 0' un mouvement absolu égal au mouvement relatif qu’elle avait d’abord, cette roue O' se trouve animée à la fois d’une vitesse angulaire &> autour de l’axe 0, et d’une vitesse angulaire w' de même sens que la précédente, autour de l’axe 0' : ces deux rotations simultanées de la roue 0', considérées pendant l’élément de temps équivalent à une rotation unique autour d’un axe parallèle aux axes 0,0', mené par

MOUVEMENTS COMPOSÉS. 75

le point A, et la vitesse angulaire de cette rotation résultante est égale à w -|- &/ (§ 54). L’angle décrit par la roue O', pendant le temps dl, en vertu de son mouvement relatif, est donc (o) oi) dt ; et si nous désignons par;) la longueur de la normale AM, nous aurons

P ”1“ ) dt

pour le déplacement relatif élémentaire du point M pris sur le profil EF, c’est-à-dire pour ce que nous nommons le glissement élémentaire (§ 05). Si nous désignons par ds l’arc infiniment petit de chacune des circonférences primitives qui passe par la ligne des centres pendant le temps dt, et par i\r'j les rayons 0A,0'A de ces circonférences, nous aurons

oidi =

ot par suite l’expression du glissement élémentaire deviendra

§ 08. Engremgps coniques. — Dans le cas où les axes de rolation des deux arbres concourent vers un même point S, fig. 42, on détermine la forme des dents des roues qui doivent transmettre le mouvement de rotation de l’im de ces deux arbres à l’autre, par des considérations analogues à celles que nous venons de présenter pour le cas où les axes des deux arbres sont parallèles.

Soit encore m la vitesse angulaire de l’arbre qui tourne autour de l’axe SN, et «' celle de l’autre arbre, qui tourne autour de SN'.