LIVRE I

— CINÉMATIQUE.

Prenons, dans le plan NSN', un point A tel que les distances OAjO'A de ce point aux axes SN,SN' satisfassent à la condition

puis décrivons, des points 0,0' comme centres, dans des plans respectivement perpendiculaires aux axes SN,SN', des circonférences de cercle ayant OA et O'A pour rayons. L’intersection des plans de ces deux cercles passe par le point A; elle est perpendiculaire au plan NSN', et par conséquent aux deux lignes 0A,0'A : donc celte intersection est une tangente commune aux deux cercles en A. Si nous regardons les deux circonférences OA, O'A comme les bases de deux cônes ayant tous deux le point S pour sommet, ces deux cônes, qui se touchent le long de la génétralrice AS, se nomment les cônes primitifs de l’engrenage.

Pendant le mouvement des deux arbres, les deux circonférences 0A,0'A roulent l’une sur l’autre; on le reconnaît exactement de la même manière que dans le cas des engrenages cylindriques. Les deux cônes primitifs roulent également l’un sur l’autre.

On prend pour surfaces des dents des deux roues des surfaces coniques ayant le point S pour sommet commun. Si l’on donne arbitrairement la surface des dents de l'une des deux roues, on détermine celle des dents de l’autre roue, en faisant rouler le cône primitif de la première roue sur le cône primitif de la seconde : la surface cherchée n’est autre chose que Veiiveloppe des positions successives que prend la surface donnée, en vertu de ce roulement. 11 est aisé de voir, en outre, que le plan qui passe à un instant quelconque par la ligne de contact des deux cônes primitifs et par la ligne de contact des surfaces coniques de deux dents, appartenant l’une à la première roue, l’autre à la seconde roue, est dirigé normalement à ces dernières surfaces, tout le long de leur ligne de contact.

Si l’on veut, à un instant quelconque, déterminer le glisse-

MOUVEMENTS COMPOSÉS. 77

ment élémentaire des dents J’une sur l'autre,, en un point M pris sur leur ligne de contact, on y arrivera encore comme dans le cas des engrenages cylindriques. Pour trouver le mouvement relatif élémentaire de la roue O', par rapport à la roue O, pendant le temps dty compté à partir de l’instant que l’on considère, appliquons à l’ensemble des deux roues 0,0', un mouvement commun égal et contraire au mouvement de la roue 0 ; cette roue 0 sera réduite au repos, et la roue 0' sera animée à la fois d’une vitesse angulaire w autour de l’axe SX, et d’une vitesse angulaire &/ autour de l’axe Mais ces deux rotations simultanées de la roue 0 équivalent à une rotation unique (§ 55) autour d’un axe que l’on reconnaîtra sans peine être dirigé suivant la ligne de contact SA des deux cônes primitifs; et la vitesse angulaire fi. do cette rotation résultante sera représentée par la diagonale SH du parallélogramme SFGH, si les côtés SF,SG sont pris de manière à représenter les vitesses angulaires com- .posantes w, w'. Si l’on désigne l’angle OSA par «, et l’angle O'SA par a, on a

SH = SF cos a -f SH cos % ;

on aura donc aussi

1 = (0 cos a + w' COS a'.

D’après cela, l’angle décrit par la roue 0', dans son mouvement relatif élémentaire autour de l’axe SA, sera égal à

(o) cos a + w' COS X ) (U ;

et si l’on désigne par 7) la longueur de la perpendiculaire abaissée du point M dont on veut évaluer le glissement, sur l’axe de rotation instantané S.\, on aura

P ( ti) cos a -f w' cos X ) (Il

pour le glissement élémentaire de ce point M. Désignons encore . par ds l’arc infiniment petit de chacune des circonférences