LIVRE I. — CI^’ÉMATIQl;E

est positive ou négative, suivant qu’elle est dirigée dans le sens dans lequel on compte les distances positives sur la trajec; toire, ou en sens contraire ; il en est de même de l’accélération tangentielle, qui est également positive ou négative, suivant qu’elle est dans le sens des vitesses positives ou en sens contraire.

La composante de l'accélération suivant le rayon de courbure de la trajectoire se nomme l'accélération centripète. Elle est toujours dirigée de la courbe vers le centre de courbure 0. Sa valeur s’obtient en divisant DG par dt, et comme on a

DVj = {v+dv) sm doL,

il en résulte que l’accélération cenlripèle est égale à

(r -I- dv) sin da

ou simplement

dv.

Observons maintenant que l’angle dcx. est égal à l’angle des normales qui joignent les deux points M, M' au centre de courbure 0 ; en sorte que, si l’on désigne le rayon de courbure MO par P, on a

d X ds V

dt ^dt P

D’après cela, la valeur de l’accélération centripète devient

Si l’on construit un parallélogramme sur l’accélération tandv

genlielle -r-, et l’accélération centripète —, la diagonale de ce (H 0

parallélogramme sera l’accélération j du mobile au point M, à

laquelle on donne souvent le nom d'accélération totale, pour

la distinguer de ses composantes.

Dans le cas du mouvement rectiligne, p est infini, l’accéléra-

ACCÉLÉRATION DANS LE MOCVEMENT D’UN POINT. 87 tion centripète et nulle, et l’accélération totale se réduit à sa

composante tàngentielle Dans le cas du mouvement curviligne uniforme, ^ est nul, et l’accélération totale se réduit à sa

Éf'C

composante normale — Enfin, dans le cas du mouvement recti-

ligne uniforme, les deux composantes de l’accélération totale sont nulles, en sorte que l’accélération totale est aussi nulle.

Il est aisé de voir que, si l’on construit une courbe pour représenter la loi de variation de la vitesse d’un point mobile sur sa trajectoire curviligne, en opérant comme nous l’avons indiqué (§ 71) pour le cas d’un mouvement rectiligne, on pourra se servir de cette courbe pour trouver l’accélération tàngentielle à un instant quelconque, exactement de la môme manière qu’on s’en sert pour prouver l’accélération dans un mouvement rectiligne ; puisque l’expression de l’accélération tàngentielle dans le mouvement curlivigne est la même que l’expression de l’accélération dans le mouvement rectiligne.

§ 74. Accélération dans le mouTcnienC projeté sur

un plan flxe. — Quand on projette le mouvement d’un point sur un plan fixe 1:2), la vitesse de la projection est à chaque instant la projection de la vitesse du point dans l’espace. Imaginons donc que l’on ait construit, pour le mouvement que l’on projette, le triangle GDE, fig. 45, dans lequel les trois côtés CD, CE, DE sont respectivement égaux et parallèles à la vitesse v du mobile à la fin du temps C à la vitesse v + dv relative à la fin du temps l dt, et à la vitesse acquise élémentaire correspondant à l’élément du temps dt. Si l’on projette ce triangle GDE sur le plan fixe, on aura un autre triangle que nous désignerons par cdt\ Dans ce triangle projeté, le coté cdy projection de CD, sera égal et parallèle à la- vitesse de la projection du mobile sur le plan fixe à la fin du temps t; le côté ce, projection de GE, sera aussi égal et parallèle à la vitesse de la projection du mobile à la fin du temps t -j- dt : donc le troisième côté de, projection de DE, jouera par rapport au mouvement projeté, exactement le

LIVKE. I. — CINÉMATIQUE.

même rôle que DE par rapport au mouvement de l’espace, c’està-dire que de sera égal et parallèle à la vitesse acquise élémentaire de la projection du mobile correspondant au temps infiniment petit dt. On en conclut de suite que l’accélération dans le mouvement projeté est la projection de l’accélération dans le mouvement de l’espace.

Il fuit bien observer qu’il s’agit ici uniquement des accélérations totales, dans le mouvement que l’on projette, et dans la projection de ce mouvement. Si l’on construit le rectangle à l’aide duquel l’accélération totale du mouvement de l’espace se décompose en une accélération tangentielle et une accélération centripète, et que l’on projette ce rectangle sur le plan fixe, sa projection sera en général un parallélogramme dont les angles ne seront pas droits. La diagonale de- ce parallélogramme représentera bien l’accélération totale dans le mouvement projeté, d’après ce que nous venons de démontrer ; et ses côtés, dont l’un est dirigé suivant la tengente à la trajectoire du mouvement projeté, représenteront en même temps deux composantes de cette accélération; mais ces composantes, qui ne sont pas rectangulaires, sont nécessairement différentes de l’accélération tangentielle et de l’accélération centripète, dans le mouvement projeté. Il ne serait donc pas vrai, en général, de dire que l’accélération tangentielle et l’accélération centripète, dans le mouvement projeté, sont respectivement les projections de l’accélération tangentielle et de l’accélération centripète dans le mouvement de l’espace.

§ 7u. Accélération dans le mouvement projeté sur une droite fixe. — Lorsqu’on projette le mouvement d’un point sur une droite fixe (§ 13), la vitesse de la projection est encore, à chaque instant, la projection de la vitesse du point dans l’espace. Il nous sera facile d’en conclure, comme dans le cas précédent, que l’accélération dans le mouvement projeté est la projection de l’accélération dans le mouvement que l’on projette.

Pour cela, concevons encore que l’on ait construit, pour le mouvement du point dans l’espace, le triangle CDE de la pg. 45, dont nous venons déjà de nous servir, et supposons que l’on

ACCÉLÉnATlON DANS LE MOUVEMENT D’UN POINT. 8'J

projette ce triangle sur la droite fixe sur laquelle on projette te mouvement du point. La projection du côté CK sera égale à la somme des projections des côtés CI), DE ; et comme les projections de CD et de CK sont respectivement égales aux vitesses du point projeté, à la fin du temps / et à la fin du temps t dl, il en résulte que la projection de DE sera égale à la ditîérence de ces deux vitesses, c’est-à-dire que ce sera la vitesse acquise élémentaire du point projeté correspondant au temps infiniment petit df. Donc la vitesse acquise élémentaire, dans le mouvement projeté, est la projection de la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement de l’espace; et, par suite, l’accélération dans le mouvement projeté est la projection de l’accélération totale dans le mouvement que l’on projette.

§ 70. Accélération dans le mouvement d'un point

rapporté un système de coordonnées rectilÎKncs. —

Un point mobile étant rapporté à un système de coordonnées rectilignes, supposons que nous considérions à la fois le mouvement de ce point et les mouvements de ses projections sur les axes. Nous avons déjà vu 4(> et 47) que la vitesse du lûobile à un instant quelconque est la résultante des vitesses de ses projections sur les axes ; il est aisé de voir qu’il en est de môme pour les accélérations. Kn efiet, d’ai)rès ce qui vient d’être démontré (§ 75), l’accélération du mouvement projeté sur un quelconque des axes est la projection de l’accélération totale du mouvement de l’espace : donc, si l’on mène, par la position qu’occupe le point mobile à un instant quelconque, des droites égales et parallèles aux accélérations des projections de ce point sur les axes, et que l’on construise sur ces droites un parallélogramme ou un parallélipipède, suivant qu’il y a deux axes ou qu’il y en a trois, la diagonale de ce parallélogramme ou de ce parallélipipède sera précisément l’accélération totale du point mobile dans l’espace. Ainsi, on peut dire que cette accélération totale du mobile est la résultante des accélérations de ses projections sur les axes coordonnés.

11 sera facile d’après cela de trouver l’accélération totale, dans le mouvement d’un point rapporté à deux ou trois axes coor-