LIVRE I. — CINÉMATIQUE

donnés, lorsqu’on connaîtra les équations du mouvement. Dans le cas où le mouvement, s’effectuant dans un plan, sera rapporté à deux axes seulement, les équations du mouvement étant

les accélérations, dans le mouvement des projections du mobile sur les axes, auront pour valeur (§ 70)

dt^

'IllL

dt^

l’accélération totale du point mobile sera donc la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés, parallèles aux axes, seront respectivement égaux à ces deux quantités. Dans le cas où le mouvement sera rapporté à trois axes coordonnés, les équations du mouvement étant

les accélérations dans les mouvements projetés sur les axes seront

et par conséquent l’accclération lotale du mobile dans l’espace sera la diagonale d’un parallélipipède construit sur trois droites parallèles aux axes et égales respectivement à ces trois quantités.

§ 77. Prenons pour exemple le mouvement circulaire et imi- Ibrme que nous avons déjà considéré (§ i i), et rapportons les positions successives du point mobile à deux axes coordonnés rectangulaires passant par le centre du cercle. Les équations de ce mouvement seront delà forme

J' = r cos — > r

. vt il = r sm — r

On trouve d’abord pour les vitesses des projections du point mobile sur les axes

. vt

-TT = — rsni— > dt r

dij vt

dt r ’

ACCÉLÉRATION DANS LE MOUVEMENT D’UN POINT. î)l

et l’on vérifie aisément que ces vitesses sont bien les projections de la vitesse v du mobile dirigée tangentiellement à la circonférence du cercle qu’il décrit. On trouve, en outre, pour les accélérations du mouvement de ces projections du mobile sur les axes,

d-æ vr vt d-y t'* ' . vt

-r-T = cos—» -77^=— — sin —

Les valeurs de cos accélérations montrent que l’accélération

totale du mobile à un instant quelconque est égale à —, et

qu’elle est dirigée de la position qu’il occupe à cct instant vers le centre de sa trajectoire. C’est en effet ce qu’on devait trouver : car, en vertu de l’uniformité du mouvement sur la circonférence, l’accélération tangenüelle est nulle; et par suite l’accélération totale se réduit à l’accélération centripète, qui, dans

ce cas, a pour valeur — (§ 7îl).

Considérons encore la projection orthogonale de ce mouvement circulaire et uniforme sur un plan quelconque. Si nous prenons pour axes coordonnés, dans le plan de projection, les axes de l’ellipse suivant laquelle se projette la trajectoire circulaire de l’espace, et si nous désignons par a l’angle que le plan de cette trajectoire circulaire fait avec le plan de projection, nous trouverons sans peine que les équations de ce mouvement sont de la forme

x = y cos —, r

. vt

y = r cos a sni — • y

Les accélérations, dans les projections de ce mouvement sur les axes coordonnés, auront donc pour valeurs

d-x V- vt ■ d-n V- . vt

di- y r dt- y y

On voit que ces accélérations sont proportionnelles aux valeurs de a? et y ; d’où l’on conclut que l’accélération totale du mobile, dans le mouvement elliptique dont il s’agit, est dirigée de la