LIVRE I. — CINÉMATIQUE
position qu’occupe le mobile, vers le centre de l’ellipse qu’il décrit. De plus, la valeur de cette accélération totale est
+ cos- a sin^
et par conséquent elle est proportionnelle à la distance qui sépare le mobile du centre de sa trajectoire elliptique, distance qui a pour expression
h cos- a sin- — •
Ces résultats sont d’accord avec ce que nous avons démontré en général relativement à l’accélération dans un mouvement projeté sur un plan fixe (ij 74>). Car l’accélération totale d’un mouvement circulaire et uniforme étant toujours dirigée de la position qu’occupe le mobile vers le centre du cercle qu’il décrit, et ayant constamment la même valeur, il s’ensuit nécessairement que l’accélération totale de la projection de ce mouvement sur un plan quelconque est toujours dirigée suivant la ligne qui joint le mobile projeté au centre de sa trajectoire elliptique, et que la valeur de cette accélération totale est proportionnelle à la longueur de la même ligne.
§ 78. Détermination de l'accélération d’un point.
d'après son déplacement danim
l'espace. — Soit AB, fig. 40, la trajectoire d’un point mobile, M la position du mobile à la fin du temps (, etMZ la direction de l’accélération totale à cet instant.
Menons la tangente MX à la trajectoire, et une ligne MY non située dans le plan osculateur ZMX.
Nous pouvons rapporter le mouvement du mobile aux trois axes coordonnés MX, MY, MZ. Désignons par G le temps compté à partir de l’instant où le point
ACCÊLÊUATIO.N DANS LE MOLVEMENT DTN POINT. î>:l
mobile se trouve en M, et supposons que ce temps soit assez petit pour que les valeurs des coordonnées .r, /y, du mobile puissent se développer suivant ses puissances croissantes, entières et positives. Si nous représentons la vitesse du mobile en M par V, et son accélération totale par y, les valeurs de x, //, en fonction de 0, seront les suivantes :
X = vO + a-6‘ b O» +
rar, pour 0 — O, on doit avoir
di',
(Ify^ ”
dd
d hj
f/, /y,...., a,, b,,...., a.,, b,^...., sont d’ailleurs des quantités quel- (‘onques.
Soit M' la position qu’occupe le mobile à la fin du temps 0. Menons M'P parallèle à MZ, jusqu’à la rencontre du plan XMY, en P; et ensuite PQ parallèle à MY, jusqu’à la rencontre de l’axe MX en Q. Prenons enfin MX égal à vO. Nous pouvons regarder XM' comme étant la diagonale d’un parallélipipède qui aurait pour côtés XQ, QP et PM'. Portons, sur les directions des trois côtés et de la diagonale de ce parallélipipède qui partent du point X, des longueurs respectivement égales aux quotients de 2XQ, 2QP, 2PM', et :2XM' par 0- ; nous obtiendrons ainsi quatre lignes, dont la dernière sera également la diagonale du parallélipipède construit sur les trois premières. Xons allons chercher ce que devient la diagonale de ce dernier parallélipipède, lorsque le temps 6 décroît indéfiniment jusqu’à zéro.
11 est aisé de voir que l’on a
9i LIVRE I. — CIiNÉMATIQUE.
NO = or — l’ô = a 63 + +
Qp = ?/ = fl, 63 + 6,6'»
PM' = :::: — fl^,63 + 6,0» +....;
on a donc aussi
L>fl6+ “2662
2QP
