LIVRE I. — CINÉMATIQUE

à la fin du temps t. Désignons par s la distance OM comptée sur

]» la trajectoire, distance

qui sera positive ou négative, suivant que le point M se trouvera d’un côté ou de l’autre du point fixe 0. Le mouvement du point mobile sera connu, si, à la connaissance de la trajectoire AB, on joint celle de la relation

Fis. 1.

qui existe* entre la distance s et le temps t. A l’aide de cette relation, qu’on nomme Yéqualion du mouvement sur lu trajectoirey on peut déterminer toutes les circonstances que présente le mouvement.

§ 5. Représentation içraphiquc de la loi du mouvement.

— Convenons de représenter un temps quelconque par une ligne dont la longueur soit proportionnelle à ce temps; et pour cela adoptons arbitrairement une certaine ligne pour représenter l’unité de temps. Si nous regardons la ligne qui représente le temps C et la valeur correspondante de la distance s, comme étain l’abscisse et l’ordonnée d’un point rapportées à un système d’axes coordonnés rectangulaires OT, OS, fig. 2, les divers systèmes

de valeurs des variables s et ^ fourniront, sur le plan SOT, une série de points fermant une ligne telle que CDEFGH. Cette ligne,dont l’équation n’est autre chose que l’équation du mouvement

MOUVEMENT D’UN POINT

permet de saisir d’un coup d’œil les diverses particularités que présente successivement le mouvement dont on s’occupe.

C’est ainsi que, d'après la forme qui a été donnée à la ligne dont il s’agit, sur la fig. 2, on voit que le point mobile s’éloigne d’abord de plus en plus du point fixe à partir duquel on compte la distance s, jusqu’à ce que le temps t ait pris la valeur qui correspond à l’abscisse ODi du point D : alors la distance du mobile au point fixe est égale à l’ordonnée du point D. A partir de cet instant, le mouvement change de sens; le point mobile revient vers le point fixe, et finit par l’atteindre, lorsque le temps t prend la valeur correspondant à l’abscisse OE. Alors, la courbe s’abaissant au-dessous de l’axe OT, s prend des valeurs négatives; c’est-à-dire que le point mobile, après avoir atteint le point fixe, le dépasse en continuant à se mouvoir dans le môme sens. Lorsque le temps t acquiert la valeur qui correspond à l’abscisse OF, du point F, le point mobile cesse de s’éloigner du point fixe ; le sens de son mouvement change de nouveau ; il se rapproche de ce point fixe, l’atteint lorsque le temps t devient égal à l'abscisse OG,, puis le dépasse et revient ainsi se placer du côté où il se trouvait d’abord.

Il est clair que, dans la construction de la courbe destinée à la représentation de la loi d’un mouvement, il n’est pas nécessaire de prendre les diverses ordonnées précisément égales aux distances s du point mobile au point fixe : on peut réduire ces distances dans un rapport quelconque, pris arbitrairement, c’est-à-dire adopter une ligne quelconque pour représenter l’unité de longueur avec ' laquelle les distances s sont évaluées. Les abscisses et les ordonnées se trouvent ainsi construites à <les échelles que l’on choisit à volonté ; en sorte que l’on peut

donner à la figure totale telles dimensions qu’on veut dans les

deux sens.

Il faut bien se garder de confondre la ligne que nous venons de définir, et qui sert à représenter la loi du mouvement d’un point, avec la ligne que ce point décrit dans l’espace, et que nous nommons sa trajectoire.

§ 0. IMomrenient unllorme, TiteMe. — Le mouvement

6 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

d’un point est dit uniforme^ lorsque ce point parcourt sur sa trajectoire des espaces égaux en temps égaux, quels que soient ces temps; ou, en d’autres termes, lorsque les espaces qu’il parcourt dans des temps quelconques sont proportionnels aux temps employés à les parcourir. Il résulte de cette définition que l’équation du mouvement uniforme est

s = a + ht.

a est la distance du point mobile au point fixe, à l’instant à partir duquel on compte le temps t. Le coefficient b est positif ou négatif, suivant que la distance s augmente ou diminue avec le temps, c’est-à-dire suivant que le mouvement a lieu dans le sens des s positifs, ou en sens contraire.

Les mouvements uniformes se distinguent les uns des autres, par le degré plus ou moins grand de rapidité ou de lenteur de chacun d’eux. Il est naturel de prendre pour mesure de ce degré de rapidité ou de lenteur, le chemin que parcourt le point mobile pendant l’unité de temps : c’est ce qu’on nomme la vitesse du mobile.

D’après la forme que nous venons d’assigner à l’équation du mouvement uniforme, il est clair que la valeur absolue du coefficient b n’est autre chose que la quantité dont la distance ,s varie pendant l’unité de temps; c’est-à-dire que cette valeur absolue de b est précisément la vitesse du mobile. D’ailleurs, en attribuant à la vitesse le sens dans lequel s’effectue le mouvement, on voit qu’elle est dirigée dans le sens des s positifs ou en sens contraire, suivant que b est positif ou négatif. Si donc nous convenons de regarder la vitesse comme positive lorsqu’elle est dirigée dans le premier sens, et comme négative lorsqu’elle est dirigée dans le sens opposé, nous pouvons dire que, dans tous les cas, la vitesse du mouvement uniforme est égale à b.

§ 7. Dans le cas du mouvement uniforme, la ligne qui représente la loi du mouvement (§ 5) se réduit à une ligne droite. Cette ligne CD est dirigée, comme on le voit sur la^^. 3 ou sur la fig. 4, suivant que le mouvement a lieu dans le sens des s positifs ou en sens contraire.

MOUVEMENT D’UN POINT

Pour trouver la vitesse du mouvement uniforme représenté par la ligne CD, dans l’un ou l’autre cas, il suffit de tracer, à partir d’un point quelconque E, une ligne droite EF parallèle à OT et égale à la ligne qui représente l’unité de temps, puis de mener par le point F une parallèle à OS jusqu’à la rencontre de la ligne CD, en G. La ligne FG représente la quantité dont s varie dans l’unité de temps, c’està-dire la valeur absolue de

la vitesse du mobile. Quant

au signe de cette vitesse, il

est indiqué par la position de la ligne CD; la vitesse est positive dans le cas de la fig. 3, négative dans le cas de la fig. ,

§ 8. mouvement varié, vitesse. ^ Tout mouvement qui n est pas uniforme est dit varié; dans un pareil mouvement, les espaces parcourus dans des temps quelconques ne sont généralement pas proportionnels aux temps employés à les parcourir.

Imaginons que le temps total, pendant lequel s’effectue qji mouvement varié, soit divisé en un nombre quelconque de parties égales. Concevons en outre que le mouvement du mobile, pendant chacun de è^s intervalles de temps partiels, soit remplacé par un mouvement uniforme, en vertu duquel ce mobile parcoure la même portion de sa trajectoire pendant la durée de cet intervalle de temps partiel. La succession des mouvements uniformes, que nous substituons ainsi au mouvement varié, dans les diverses parties dans lesquelles la durée totale du mouvement a été décomposée, constituera un nouveau mouvement varié différent de celui que nous avions d’abord. Mais la différence qui existe entre ces deux mouvements sera de plus en plus faible, à mesure que le nombre des parties égales dans lesquelles nous