X-|-X -!"X + ou iX 'i
de même les projections de celle résultante sur les axes des 7j et des J sont respectivement
V + Y' + Y" + ou xV ,
Z + /; 4- Z + ou xZ.
11 est clair que, pour que les forces F, F' F"... se fassent équilibre, c’est-à-dire pour que leur résultante soit nulle, il est nécessaire et suffisant que les projections de cette résultante sur les axes soient nulles toutes trois : l’équilibre des forces F, F’, F”... se trouve donc exprimé par les équations
xX = 0, iY = 0, iZ = 0.
^ 105. mouvement rectiligne d’un point matériel. — Dans ce qui suit, nous allons étudier les lois du mouvement que prend
un point matériel sous l’action d’une ou de plusieurs forces. Mais, les diverses forces qui agissent simultanément sur un même point matériel pouvant toujours être remplacées par leur résultante, nous n’avons pas besoin de nous préoccuper de l’existence de ces diverses forces, et nous pouvons raisonner, dans tous les cas , comme si le mouvement du point mobile était du à l’action d’une force unique.
Si un point matériel, partant du repos, est soumis à l’action d’une force dont la direction reste constamment la même, il se mouvra suivant une ligne droite. Il en sera encore de même si ce point matériel a reçu une vitesse initiale dont la direction coïncide avec celle de la force qui lui est appliquée. C’est ce qu’on reconnaîtra sans peine, en raisonnant comme nous l’avons déjà fait dans le cas où la force est constante en grandeur et en direction (§§ 90 et 91).
De quelque manière que varie la force qui agit sur le point matériel, si l’on désigne parm la masse de ce point, parj l’accélération de son mouvement à un instant quelconque, et par F la valeur de la force à cet instant, on aura toujours la relation
F = mj.
La connaissance de la loi de variation de la force F entraîne donc celle de la loi de variation de l’accélération j, ce qui permet de déterminer la loi du mouvement.
Soient t le temps compté à partir d’un instant quelconque pris pour origine ; x la distance du point mobile à un point li.xe de sa trajectoire rectiligne, à la fin du temps t; et t? la vitesse de ce point au même instant. On a
dx . ■ dü d-x
L’accélération j, ainsi obtenue, est positive ou négative en même temps que l’accroissement de vitesse infiniment petit d;t correspondant à l’élément de temps dt. Il est aisé de voir que,
lel que soit le signe de i\ ou de.
1o 'irifacca
ÉQ. ET MOUV. D’U\ POINT MATÉRIEL LIBRE.
taire dv est positive ou lu^gative, suivant qu’elle est dirigée dans le sens des x positifs ou dans le sens des x négatifs ; et par suite il en est de même de l’accélération j. On voit donc que la relation
F =: mj.
qui a été établie (§ 98), en ne considérant que les valeitrs absolues de j et de F, subsistera encore quand on prendra j avec son signe, à la condition de regarder la force F comme positive ou négative, suivant qu’elle agira dans le sens des x positifs ou bien dans le sens opposé.
En remplaçant j par sa valeur
dans cette dernière rela-
tion, on trouve
dl^
qui n’est autre chose que l’équation différentielle du mouvement du point. L’intégration de cette équation différentielle fera connaître l’équation finie du mouvement. Les constantes arbitraires se déterminr ont d’après les circonstances initiales, c’est-à-dire d’après les valeurs de la distance x du mobile au
point fixe, et de sa vitesse
dx
correspondant àt =0.
§ 106. La force F varie, en général, avec f, et par conséquent aussi avec les quantités x eiv; on conçoit qu’elle sera généralement donnée en fonction de ces trois variables t, X, V, L’intégration de l’équation différentielle du mouvement s’effectuera alors en suivant une marche plus ou moins complexe, qui dépendra de la forme de cette fonction, et en tenant compte, en même temps, de la relation
Nous nous contenterons ici d’indiquer la marche à suivre pour faire cette intégration, lorsque \a force F sera donnée en fonc-
13i LIVRE n. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
lion d’une seule des trois variables /, jc, v. Nous aurons pour cela à examiner trois cas distincts, i®’’ cas. — La valeur de F est donnée par la relation
L’équation différentielle du mouvement est donc
fity
Si l’on multiplie les deux membres par trouve
dl m ’
et qu’on intègre, on
t\ étant la vitesse du mobile correspondant à < = 0. Représentons par 9* (/) cette valeur de — , en sorte que nous aurons
Lift
dx
'dl
En multipliant les deux membres par df, et intégrant de nouveau, on aura définitivement
X = Xf,
pour l’équation du mouvement; désigne la valeur de x correspondant à t = 0,
2® cas. — On donne
L’équation différentielle qu’il
s’agit d’intégrer est donc alors
d^x dv
Si nous remplaçons par — ,
cette équation deviendra
Ég. ET MOUV. D’UN POINT MATÉRIEL LIBRE. Multiplions le second membre par et le premier membre
par son égal , et nous aurons
d’où en intégrant
'ivdv = — f U ) (Ix; m ' '
+ li r
inj dTo
Vn et X(^ désignent, comme précédemment, les valeurs de v et de ,r qui correspondent à < = Q. On tire de cette équation une valeur de v que nous représenterons par •
dx
en y remplaçant v par —, puis résolvant par rapport à dt. on
iJLt
trouve
dt = -:-r;
o{xY
on a donc, en intégrant encore une fois.
*•»'' dx
cas. — On donne
y^fivY
L’équation différentielle du mouvement est dans ce cas
ou ce qui est la même chose
dv ,
136 LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE. On en lire
dt = w
dv
d’où en intégrant
di'
Si l’on résout cette équation par rapport à v, ce qui donnera
et qu’on observe que l’on a
dx
dt
on en déduira
Mais on peut aussi remplacer cette dernière opération par la suivante : la relation
dx = vdt
donne, dans le cas dont il s’agit,
* , vdv
dx = rn-rr^'>
d’où l’on tire, en intégrant
J fü J^)
il suffit alors d’éliminer v, entre cette dernière équation et la relation entre v et t qui résulte de la première intégration, pour avoir la relation cherchée entre x et t.
ÉQ. ET MOl'V. D’UN POINT MATÉRIEL LIBRE.
§ 107. Exemples de mouvements rectilignes. — NouS allonSappliquer ce qui précède à deux exemples.
OA et variant en raison inverse du carré de la distance du point mobile au point A de cette ligne. Nous verrons plus lard que le poids d’un corps, placé successivement à différentes hauteurs au-dessus de la surface de la terre, varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance qui le sépare du centre ^ du globe terrestre; en sorte que l’exemple que nous allons traiter peut être regardé comme se rapportant au mouvement d’un corps pcsaiU qu’on laisserait tomber d’unecertaine hauteur au-dessus de la surface de la terre, sans vitesse initiale, et dans le vide, pour ne pas avoir à tenir compte de la résistance de l’air. Nous supposerons donc que A est le centre de la terre, et que la force qui agit sur le point matériel n’est autre chose que son poids. Soit R le point où la ligne OA perce la surface de la terre : lorsque le mobile est en ce points son poids est égal à mg (§ 98). Le poids du mobile, en un point quelconque M de la droite suivant laquelle il se meut, aura pour expression
en désignant par x la distance OM, par a la distance 0.\, et par r le rayon AB de la terre. D’après cela, l’équation différentielle du mouvement sera
Nous nous trouvons ici dans le second des trois cas qui ont été traités dans le paragraphe 100.. En opérant comme nous l’avons dit, en observant que la vitesse initiale est nulle par hypothèse, ainsi que la distance initiale Xq du mobile au point O, nous trouverons d’abord
Considérons d’abord le mouvement d’un point matériel qui part du point 0, fig, 50, sans vitesse initiale, sous l’action d’une force dirigée suivant la ligne
dt^ ^ {a — xy^
dx
En y remplaçant v par — , puis résolvant par rapport à dt, et
tvv
■remarquant que dx et dl sont de môme signe, nous aurons
a — X , X / J dx
"=y if-iy — -y
1 I a n — 2.r a i a dx
En intégrant de nouveau, et tenant compte de ce que x est nul en même temps que nous obtiendrons enfin l’équation finie du mouvement, qui est
arc cos .
uj (i
108. Considérons encore le mouvement rectiligne d’un ipoint matériel soumis aux actions simultanées de deux forces, dont l’une est constante en grandeur et en direction, et dont l’autre, toujours dirigée en sens contraire du mouvement, varie proportionnellement au carré de la vitesse du mobile. C’est le cas d’un corps pesant qui se meut dans l’air, en supposant que le poids du corps soit constant, et que la résistance qu’il éprouve (le la part de l’air varie proportionnellement au carré de sa vitesse. Nous supposerons donc que la force constante qui agit sur le point matériel soit son poids mg^ et nous représenterons
l’autre force, qui sera la résistance de l’air, par mg p, v étant
la vitesse du mobile à un instant quelconque, et k étant la valeur particulière de cette vitesse pour laquelle la seconde force devient égale à la première.
Examinons d’abord le cas où le corps dont nous nous occupons (commence à se mouvoir sans vitesse initiale. Son mouvement .s’effectue suivant la verticale menée par son point de départ, et <le haut en bas ; la résistance qu’il éprouve de la part de l’air est donc dirigée verticalement et de bas en haut, c’est-à-dire en sens
contraire de l’action de la pesanteur. Ce corps se meut comme s’il était soumis à l’action de la résultante de son poids mg
et de la résistance de l’air mg résultante qui est évidemment
égale à
mg-mg^,-
D'après cela, on voit que, si l’on désigne par x la distance du mobile k son point de départ, on aura pour l’équation dilTérenticlle •du mouvement
équation qui rentre dans le troisième cas du § 106. Si nous y d)“ X dfc
remplaçons — par son égal —, et que nous résolvions ensuite
par rapport à df, nous trouverons
k- dv k dt — — x
dv ^ dv
g k^ — v~ i.(j \k + V ' k <roù, en intégrant et observant que la vitesse initiale est nulle,
€ette équation, résolue par rapport à v, donne
^(jt
e désigne la base du système de logarithmes népérien. Si l’on
dx , »
remplace v par —, et qu’on multiplie les deux membres de l’é-
Utf
^juation par dt^ on trouvera
dx = k
dt=k
dt;
d’où, en intégrant de nouveau, et déterminant la constante de manière que oo soit nul pour t = 0,
La valeur de v pouvant se mettre sous la forme
on voit que la vitesse du mobile augmente constamment, sans cependant jamais dépasser la vitesse k; elle s’approche indéfiniment de cette limite k, et ne lui devient égale que lorsque t est infini.
Voyons maintenant comment s’effectue le mouvement du corps sous l’action des mêmes forces, lorsqu’il a été primitivement lancé verticalement, et de bas en haut, avec une vitesse Vy. Ce corps commence par s’élever verticalement; sa vitesse diminue peu à peu ; bientôt il cesse de monter, pour se mettre en mouvement en sens contraire suivant la même droite, en prenant une vitesse de plus en plus grande. Pendant que le corps monte, la résistance qu’il éprouve de la part de l’air est dirigée de haut en bas, de même que l’action de la pesanteur; la résultante des deux forces auxquelles il est soumis est donc égale à
mg +
Si nous désignons encore par x la distance du mobile à son point de départ, et si nous remarquons que la force résultante dont nous venons de donner la valeur est dirigée en sens contraire du sens dans lequel se compte cette distance a?, nous verrons que l’équation différentielle du mouvement ascendant du mobile est la suivante :
ÉQ. ET MOüV. D’UN POINT MATÉRIEL LIBRE.
nous sommes donc encore dans le troisième cas du paragra-
(l~x clv
phe 10(). Si nous remplaçons par — , et que nous résolvions par rapport à rf/, nous trouverons
„ (Iv
d’oû, en intégrant et observant que, pour < = Ü, on doit avoir
, k ^ Vn k ^ V k . A'f'o — kv
t = - arc tari" rr arc tan" r = - arc taiiff -r-r
^ k^ 4- rr„
Cette équation étant résolue par rapport à r, nous donnera
ni , . al l'o cos ^ — k sur
fi n
k cos ^ 4- r„ sin ^
Mettant ^ à la place de r, multipliant de part et d’autre par
dlj intégrait et déterminant la constante par la condition que ,pour t = O on ait j? = O, nous trouverons
k‘ , / fit , t'o • (lt\
x = —l . [ cos T 4- -, sm -Y r/ . \ k k k /
Telle est l’équation finie du mouvement ascendant que nous nous étions proposé de déterminer. Le mobile se mouvra conformément à cette équation, tant que sa vitesse sera dirigée de bas en haut, c’est-à-dire tant que t sera inférieur à la valeur pour laquelle l’expression précédente de la vitesse v s’annule. Mais quand t aura atteint celte valeur particulière qui est
/ = - arc taii" y> g ^ k
le mobile cessera de s’élever, et alors il redescendra, en se «louvant suivant la loi que nous avons trouvée précédemment,
m LIVRE M. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
pour le cas d’un corps qui tombe dans l’air sans vitesse initiale.
La question qui vient d’être traitée dans tout ce paragraphe nous fournit un exemple d’un m.ouvement dans lequel la force n’est pas toujours représentée par la même expression analytique.
^ lOQ. Mouvement curviligne d*nn point ‘ matériel.
— Si la direction de la force qui agit s^ir un point matériel no reste pas constamment la même, ou bien si, cette direction étant constante, le mobile a revu une vitesse initiale dirigée autrement que la force qui agit sur lui, le mouvement est curviligne.
Il est aisé de reconnaître que le mouvement s’effectue dans un plan : 1“ lorsque la force qui agit sur le point matériel reste constamment parallèle à un plan fixe, et que sa vitesse initiale est également parallèle à ce plan; '2'’ lorsque la force est toujours dirigée vers un point fixe, (juelle que soit d’ailleurs la direction de la vitesse initiale du mobile. Pour s’en rendre compte, il suffit de substituer à l’action continue de la force une action intermittente, comme nous l’avons déjà fait (§ 00), et d’examiner successivement les divers changements de direction que la vitesse du mobile éprouve chaque fois que la force exerce son action sur lui. En appliquant le principe du 80, on reconnaît que les vitesses dont le mobile est animé, avant et .après chacune de ces actions de la force, sont dirigées dans un plan passant par la direction de la force même. Il s’ensuit que, dans chacun des deux cas indiqués ci-dessus, et dans l’hypothèse d’une force agissant par intermittence, le mobile parcourt un polygone qui sc trouve situé tout entier dans un plan. Si l’on se rapproche ensuite peu à peu de la réalité, en admettant que les actions successives de la force soient de plus en plus rapprochées les unes des autres, on voit que les côtés de la trajectoire polygonale du mobile deviennent de plus en plus petits, sans que le polygone cesse d’être contenu tout entier dans un‘ même plan, et à la limite, lorsque l’acUon intermittente de la force se confond avec une action continue, la trajectoire polygonale devient une trajectoire courbe dont tous les points se trouvent encore dans un même plan.
ÉQ. ET MOUV. D’UN POINT MATÉRIEL LIBRE. liB
D’après ce qui a été dit précédemment (§§ 05 et 08), de quelque manière que la force F qui agit sur le point matériel change de grandeur et de direction avec le temps, l’accéléra- * tion totale du mouvement du point est cà chaque instant dirigée suivant la direction de la force ; et la grandeur de cette accélération totale est liée à la valeur de la force F par la relation
K = mj\
m étant la masse du point matériel dont il s’agit.
§' 110. Force tangentielle* force cenfrlpète. — Si l’ou décompose l’accélération totale y, dans le mouvement du point matériel soumis à l’action de la force F, en deux composantes dirigées, l’une suivant la tangente à la trajectoire du mobile, l’autre suivant son rayon de courbure, on trouve deux accélérations dont les valeurs sont
dv î-2
dV . f’
et que nous avons désignées précédemment sous les noms d’accélération tangentielle et d’accélération centripète (§ TU). Décomposons de même la force F en deux composantes F,, dirigées suivant les mêmes droites. Le parallélogramme qui servira à faire cette décomposition sera évidemment semblable à celui qui sert à faire la décomposition de l’accélération totale ; puisque les directions des côtés et des diagonales de ces deux parallélogrammes sont les mêmes : donc il existera, entre les deux composantes Fj, F2 de la force F, et les composantes correspondantes de l’accélération totale j, le mênTc rapport qu’entre la force F ellc-nunne et cefte accélération totale. Ainsi on aura
La force F,, qui est la projection de la force F sur la tangente à la trajectoire du mobile, se nomme la force tangentielle. La force F2, projection de la force F sur la direction du rayon de courbure de cette trajectoire, se nomme la force centripète.
D’après les valeurs que nous venons de trouver pour ces
(leux composantes de la force F, on voit que le changement de grandeur que la vitesse du mobile éprouve avec le temps est uniquement dû à la force tangentielle; en sorte que, si cette force tangentielle était constamment nulle, c’est-à-dire si la force F était toujours normale à la trajectoire, la vitesse du mobile ne varierait pas, et le mouvement serait uniforme. De même le changement de direction de la vitesse du mobile est uniquement dû à la force centripète : c’est-à-dire que, si la force F était à chaque instant dirigée suivant la direction de la vitesse du mobile, ou, en d’autres termes, suivant la tangente à la trajectoire qu’il décrit, cette trajectoire serait nécessairement une ligne droite.
§ 1 1 i . Projection du mouvement sur un plan fixe.
— Lorsqu’un point matériel se meut dans l’espace, en vertu d’une vitesse initiale, et sous l’action d’une force qui lui est appliquée, il est souvent utile d’étudier la projection de son mouvement sur un plan fixe. Nous avons déjà vu que la vitesse et l’accélération totale dans le mouvement projeté, sont les projections de la 'vitesse et de l’accélération totale du mobile dans l’espace (§§ 12 et 74). Si nous tenons compte maintenant de la liaison qui existe entre la force qui agit sur un point matériel et l’accélération totale du mouvement de ce point, nous arriverons .à une conséquence importante.
Soient F la force qui agit sur le point matériel, m la masse de ■ce point, et j l’accélération de son mouvement; nous savons que F et j ont la même direction, et qu’en outre on a
F = mj.
Si F' et / sont les projections de F et de j sur un plan fixe, ces deux projections seront dirigées suivant une même droite , et de plus le rapport de F' à F sera le même que celui de / à j : donc on aura aussi
= inj .
■On en conclut nécessairement que le mouvement du mobile, projeté sur le plan fixe, n’est autre chose que le mouvement que prendrait dans ce plan un point matériel de masse m, sous Faction de la force projetée F', ce point ayant reçu une vitesse
