ÉQ. ET M013V. D’UN POINT MATÉRIEL LIBRE. U

initiale égale à la projection de la vitesse initiale du mobile de l’espace.

Cette proposition est vraie de quelque manière que les lignes projetantes soient dirigées par rapport au plan de projection.

§ li!2. Projc^lion du mouTement sur une droite fixe. — >

Ce que nous venons de dire pour la projection d’un mouvement, sur un plan fixe, nous pouvons le répéter pour la projection de ce mouvement sur une droite fixe.

Nous savons déjà que la vitesse et l’accélération dans le mouvement projeté sont les projections de la vitesse et de l’accélération totale dans le mouvement que l’on projette (§§ 13 et 75). En raisonnant comme nous l’avons fait il n’y a qu’un instant (§111), nous trouverons en outre que le mouvement projeté est précisément celui que prendrait sur la droite fixe un point matériel de même masse que celui qui se meut dans l’espace, s’il était constamment soumis à l’action de la force projetée, et qu’il eût reçu primitivement une vitesse égale à la projection de la vitesse initiale du mobile de l’espace.

Ce résultat est vrai, de quelque manière que s’effectue la projection du mouvement sur la droite fixe, et convient en particulier au cas où la projection est orthogonale.

§ 113. 'Hiéorèmes relatifs aux quantités de mouvement — Dans le mouvement rectiligne d’un point matériel de masse m soumis à l’action d’une force F, on a

dv „

dv

puisque l’accélération j a pour valeur — • Si l’on multiplie les deux membres .de celte relation par dt, on trouve

mdv = ¥dt,

d’où en intégrant entre les limites 0 et f du temps, et désignant par Vq la valeur de v correspondant à / = 0 ;

' Le produit mv se nomme la quantilé de mouvement du mobile.

L’intégrale j* Vdt se nomme Vimpuhion de la force F, pendant

le temps auquel celte intégrale se rapporte ; Ydl est V impulsion élémentaire, de la force. Les deux dernières équations qui viennent d’être écrites peuvent donc s’énoncer de la manière suivante : i® l’accroissement {mdv) qu’éprouve la quantité de mouvement du mojîile pendant l’élément dt du temps, est égal à l’impulsion élémentaire de la force F pendant ce temps; 2® l’accomplissement total (mv — mv^^) de la quantité de mouvement du mobile pendant un temps fini quelconque /, est égal à l’impulsion de la force F pendant ce temps t.

Si l’on considère un point matériel se mouvant d’une manière quelconque dans l’espace, et qu’on projette son mouvement sur une droite fixe, on peut appliquer au mouvement projeté ce qui vient d’être dit d’un mouvement rectiligne. Ainsi l’accroissement qu’éprouve la quantité de mouvement projetée, pendant un intervalle de temps quelconque, infiniment petit ou fini, est toujours égal à l’impulsion de la force projetée pendant le même intervalle de temps. Nous entendons ici par quantité de mouvement projetée, à un instant quelconque, le produit de la masse du mobile par la projection de la vitesse dont il. est animé à cet insUmt.

Dans le cas d’un mouvement curviligne, la force tangentielle étant désignée par F,, on a (§ 110)

dv

dt

Lotte relation nous conduit aux deux suivantes :

mdv = V\dl, mv — = Ç F^dt.

On peut donc dire encore, dans ce cas, que l’accroissement de la quantité de mouvement du point matériel, pendant un temps quelconque infiniment petit ou fini, est égal à l’impulsion de la

force tangentielle pendant ce temps.

ÉQ. ET MOrV. D'UN POINT MATÉRIEL LIBRE. rt

L’intégrale j Ydl^ à laquelle nous donnons le nom d’impulsion de la force F, peut se calculer rigoureusement, ou bien se déterminer approximativement à l’aide des méthodes de quadrature, lorsque la force F est connue en fonction du temps t. Lorsqu’il n’en est pas ainsi, c’est-à-dire lorsque F est donné en fonction de certaines quantités qui sont des fonctions inconnues ,<lu temps ty telles que la vitesse du mobile, sa distance à un point fixe, etc., on ne peut plus trouver à priori la valeur de

i’intégrale j Ydt; ce n’est qu’après qu’on aura trouvé les lois

du mouvement, que la force F pourra être exprimée explicitement en fonction de t, et qu’on sera en mesure de calcule? l’inrt

tégrale / Vdt : mais cette intégrale n’en doit pas moins être

considérée tout d’abord comme ayant une valeur entièrement déterminée, et cela lors même que des difficultés d’analyse s’opposeraient à ce qu’on pût arriver à en effectuer ultérieurement le calcul complet.

§ ili. Pour arrivera un autre théorème relatif aux quantités de mouvement, considérons d’abord un mouvement s’effectuant tout entier dans un plan. L’accélération totale j, dans ce mou-

vement, est constamment égale à — , et la direction de cette

accélération totale est la même que celle de la force F qui la produit. La vitesse acquise par le point matériel, pendant le

temps dly étant égal kjdl (§ 70), aura donc pour valeur — dt,

Cela posé, soit MN, fig, 57, la ligne qui représente la vitesse v du point matériel à la fin du temps t, et MP une ligne égale et parallèle à celle qui représente sa vitesse v' à la fin du temps t -|- dt; MQ, égale et parallèle à / jNP, est la vitesse acquise par ce point pendant le temps dt, La vitesse MP

ou v' est la résultante des vitesses MN ou v, et MQ ou — dl. Or,

Fij,'. 57.

si l’on se reporte à la proposition fondamentale de la théorie des moments des forces agissant sur un même point (§ iOI), et si l’on observe que la composition des vitesses s’effectuant absolument de la même manière que la composition des forces, la même proposition fondamentale peut s’appliquer aux vitesses simultanées d’un point et à leur résultante, on pourra énoncer le théorème suivant : Le moment de la vitesse résultante r' par rapport à un point quelconque O du plan dans lequel s’effectue le mouvement, est égal à la somme des mo-

ments des vitesses v et — dty par rapport à ce point. Nous nommons, bien entendu, moment d’une vitesse par rapport au point O, le produit de cette vitesse par la distance du point O h sa direction. Ainsi, en désignant par p, p\ p" les distances du point O aux directions des lignes MN, MP, MQ, nous aurons

v'p = vp H — df.p\ ' ^ m ^

On en déduit

mv .p — mv . P = V(U ,p\

équation qui exprime que l’accroissement du moment de la quantité de mouvement du point matériel par rapport au point O, pendant le temps dt, est égal au moment de l’impulsion élémentaire de la force F, pendant ce temps dty pris par rapport au môme point 0. Nous désignons encore ici sous les noms de moment de la quantité de mouvement mi\ moment de l’impulsion élémentaire ¥dl par rapport au point 0, les produits de mv et de Fdt par les distances du point 0 aux directions de la vitesse v et de la force F. Enfin, si nous ajoutons membre à membre les équations auxquelles cet énoncé correspond, et qui se rapportent à une série d’éléments successifs du temps, nous arriverons au théorème suivant :

L’accroissement total qu’éprouve le moment de la quantité de mouvement du point matériel par rapport à un point du plan de sa trajectoire, pendant un intervalle de temps quelcon-

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que, est égal à la somme des moments, par rapport à ce point, des impulsions élémentaires de la force correspondant aux divers éléments de ce temps.

. Ce théorème, qui vient d’être établi pour le cas où un point matériel se meut dans un plan, convient évidemment à la projection d’un mouvement quelconque sur un plan fixe. On peut donc dire que, de quelque manière qu’un point matériel se meuve dans l’espace sous l’action d’une force, si l’on projette son mouvement sur un plan fixe, l’accroissement total qu’éprouve le moment de la quantité de mouvement projetée par rapport à un point du plan de projection, pendant un temps quelconque, est égal à la somme des moments, par rapport à ce point, des impulsions élémentaires de la force projetée correspondant aux divers éléments de ce temps.

§ 115. Théorème des aires. — Dans le cas d’un mouvement qui s’effectue tout entier dans un plan, si la direction de la force F passe constamment par un point O de ce plan, le moment de l’impulsion élémentaire Fdt de la force F par rapport à ce point 0 sera toujours nul : donc, d’après le théorème du § 114, le moment niv ,p de la quantité de mouvement du mobile par rapport à ce point 0 ne changera pas de valeur avec le temps. La quantité ^vdt . p, que l’on obtient en multipliant mv . P par —y ne variera donc pas non plus, si l’on

regarde dt comme constant. Mais cette quantité ^vdt. p est précisément la mesure de la surface du triangle formé par les rayons vecteurs menés du point O aux deux positions que le mobile occupe à la fin du temps i et à la fin du temps t -|- dt, et par l’élément vdt de trajectoire compris entre ces deux positions : donc les aires décrites, pendant des éléments de temps successifs et égaux, par le rayon vecteur qui joint le mobile au point O, sont égales entre elles. On en conclut que l’aire totale décrite par ce rayon vecteur pendant un temps quelconque est proportionnelle à ce temps. C’est dans cette proposition que consiste le théorème des aires.

Ce théorème ne suppose rien sur la manière dont la grandeur

loü LIVUE II — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

lie la force appliquée au mobile varie avec le temps : la condilion que la direction de celle force passe toujours par un môme point du plan dans lequel le mobile se déplace est seule nécessaire pour que le théorème ait lieu. Si cette condition est remplie, peu importe que la force varie d’une manière continue ou discontinue, qu’elle agisse toujours dans le même sens, ou qu’elle change brusquement de sens; les aires décrites par le rayon vecteur qui joint le point mobile au point par lequel passe constamment la direction de la force, sont toujours proportionnelles aux temps employés à les décrire.

Il est aisé de voir que, réciproquement, si le mouvement d’un point matériel s’effectue dans un plan, de telle manière que le rayon vecteur, qui joint ce point mobile à un point fixe O du plan, décrive des aires proportionnelles aux temps employés à les décrire, la* force qui agit sur le point matériel reste toujours dirigée vers ce point 0. En effet, s’il en était autrement, le moment de l’impulsion élémentaire de cette force, par rapport au point 0, ne serait pas constamment nul; le moment de la quantité de mouvement du mobile par rapport au même point 0 changerait donc de valeur avec le temps (§114); et par suite l’aire élémentaire IvUt . 7), qu’on obtient en multipliant le mor

ment wr . p de la quantité de mouvement par varierait d un

instant à un autre, pour une même valeur de dt, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Si l’on considère le mouvement d’un point dans l’espace, et qu’on projette ce mouvement sur un point fixe, tout ce qui vient d’être dit peut s’appliquer au mouvement projeté. Le théorème des aires a lieu pour ce mouvement projeté, si la projection de la force est constamment dirigée vers un même point 0 du plan de projection, c’est-à-dire si la force appliquée au point mobile dans l’espace se trouve à chaque instant dans un plan passant par une parallèle aux lignes projetantes menée par le point 0.

§ 116. Théorème des forces vives. — Reprenons la relation