ÉQ. ET MOUV. DT.N POINT MATÉRIEL LIBRE

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dans laquelle F, désigne la composante langentlelle de la force F appliquée au point matériel de masse m. Si nous multiplions le second membre par le chemin ds que le mobile parcourt sur sa trajectoire pendant le temps dt, et le premier mem^ bre par la quantité égale rdt, nous trouverons

mvdv = l'ids;

d’où, en intégrant entre des limites correspondant à deux posi-* lions particulières du mobile,

mv^ — mi'Q^ ~2 I F,ds.

î " est la vitesse dont le mobile est animé lorsqu’il occupe la position pour laquelle l’arc s de sa trajectoire qui le sépare d’un point fixe a pour valeur s".

Le produit mv^ de la masse d’un point matériel par le carré de sa vitesse, se nomme la force vive de ce point. L’intégrale

F,^/s, dans laquelle entre la force F,, projection de la force F

sur la tangente à la trajectoire, se nomme le travail de la force F

pendant le temps que le mobile emploie à passer de l’une à

l’autre des deux positions correspondant aux deux limites de

cette intégrale. L’élément Fjrfs de cette intégrale est le travail élémentaire de la force F pendant l’élément de temps dt,

A l’aide de ces délinitions, nous pouvons énoncer de la manière suivante le théorème auquel correspond l’équation ci-dessus : l’accroissement de la force vive d’un point matériel, en mouvement sous l’action d’une force F, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double du travail de la force F pendant ce temps. C’est en cela que consiste le théorème des forces viveSy dans le cas du mouvement d’un point matériel.

Ce que nous avons dit à la fin du § 1 1 3, relativement à l’intégrale qui représente l’impulsion de la force appliquée à un point matériel, peut s’appliquer à la nouvelle intégrale que nous venons

15i .LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

de considérer et qui représente le travail de la force. Dans le mouvement d’un point matériel soumis à l’action d’une force quelconque, cette intégrale, prise entre deux positions quelconques du mobile sur sa trajectoire, a une valeur entièrement déterminée, quelles que soient d’ailleurs les difficultés qui puissent se présenter lorsqu’on^cherche à en effectuer le calcul.

§ 117. Travail des forces. — Au point de vue de la détermination des lois du mouvement d’un point matériel sous l’action d’une force donnée F, dont la composante tangentielle est F,, la relation

trouvée dans le § 113, et la relation

mv^ — wi'o^ = 2 I FfCls J «0

à laquelle nous venons de parvenir (§ 116), ont le même degré d’importance. L’une et l’autre peuvent également servir à faire connaître la loi suivant laquelle varie la vitesse du mobile sur sa * trajectoire; on sera guidé, dans chaque cas particulier, pour prendre une de ces deux relations de préférence à l’autre, par la facilité plus ou moins grande que l’on trouvera à calculer l’une ou l’autre des intégrales qui y entrent.

Mais, dans les applications de la Mécanique aux machines, il n’en est plus de même. La seconde des deux relations dont il s’agit acquiert une importance beaucoup plus grande que la première. Cela tient à ce que le travail de la force F, représenté par l’intégrale qui entre dans cette seconde relation, joue un trèsgrand rôle dans ce genre d’applications, ainsi que nous l’expliquerons plus tard. Nous allons établir dès maintenant, sur le travail des forces, certaines propositions qui nous seront utiles dans la suite.

Nous avons donné le nom de travail élémentaire de la force F au produit F,ds de la force tangentielle F., par l’élément de trajectoire ds. Si « est l’angle compris entre la direction de la

ÊQ. ET MOUV, DXN OIATÉRIEL LIBRE.

force F et celle de la tangente à la trajectoire, au point M où se trouve le mobile, fig. 58, on a

F, =: F cos a;

et si l’on a soin de prendre toujours pour a l’angle formé par la partie MT de la tangente qui est dirigée dans le sens du mouvement, avec la droite MA menée dans la direction de la force F, à partir du point M, et dans le sens dans lequel la force agit, le signe de la valeur F cos a que nous venons d’assigner à la force tangentielle F, sera toujours le même que celuijqui résulte de l’autre expresdv

sion m — de cette force tangentielle : la force F, sera positive

ou négative, suivant que l’angle a sera aigu ou obtus, c’est-àdire suivant que cette composante F, de la force F sera dirigée dans le sens du mouvement ou en sens contraire. Cela posé, on aura pour le travail élémentaire de la force F, la valeur suivante :

h\ds = F cos a . (Is.

Ce travail élémentaire est donc le produit de l’élément ds de la trajectoire par la projection F cos a de la force F sur la direction ‘’j )' de cet élément, ou bien encore, c’est le produit de la force F par la projection cos a . ds de l’élément de trajectoire sur la direction de la force. Cette seconde manière d’envisager le travail élémentaire de la force F est celle dont nous ferons le plus d’usage. La projection cos « . ds de l’élément ds ‘ sur la direction de 4a force est ce qu’on nomme le chemin parcouru par le point d’application de la force, estimé suivant sa direction. Le travail élémentaire de ‘la force est positif ou négatif, suivant que cette projection de ds est dirigée dans le sens de la force F ou en sens •contraire ; parce que, dans le premier cas, l’angle a est aigu, et que, dans le second cas, il est obtus. Lorsque l’angle a est droit, le travail élémentaire de la force F est nul.

Dans les applications de la Mécanique aux machines, on

donne habituellement le nom de travail moteur à un travail positif, et de travail résistant à un travail négatif.

Considérons plusieurs forces appliquées à un même point matériel, ainsi que la résultante de ces forces. Si le point sur lequel’* elles agissent se déplace d’une quantité infiniment petite s, suivant une direction quelconque, chacune d’elles donnera lieu à un travail élémentaire qu’ort obtiendra en multipliant e par la projection de la force sur la direction de ce déplacement. Mais nous savons que la projection de la résultante sur cette direc-* tion est égale à la somme des projections des composantes sur la môme direction (§ iOO) : donc, si l’on multiplie ces diverses projections de la résultante et des composantes par le déplacement s, on trouvera que le travail élémentaire de la résultante est égal à la somme des travaux élémentaires des composantes.

§ 118. Le travail total d’une force, pendant que le point sur lequel elle agit parcourt un arc quelconque de sa trajectoire*, est égal à la somme des travaux élémentaires de cette force correspondant aux divers éléments dont se compose le chemin parcouru par le point mobile. :

Si une force constante F agit sur un point matériel en mouvement, et est toujours dirigée suivant la tangente à la trajectoire de ce point, son travail élémentaire, correspondant à un élément de temps quelconque, aura pour valeur Fdsj et, par suite, le travail total de cette force, pendant un temps quelconque, sera égal au produit de la force F par la longueur de l’arc décrit par le mobile pendant ce temps. Le travail sera positif ou négatif, suivant que la force agira dans le sens du mouvement ou en sens contraire.

Si une force constante F, appliquée à un point matériel en mouvement, agit toujours parallèlement à une même droite fixe, son travail élémentaire pendant que le mobile parcourt un élément ds de sa trajectoire, sera égal au produit de la force F par la projection de ds sur la droite fixe : le travail total de cette force, pendant que le mobile parcourt un arc quelconque de sa trajectoire, sera donc égal au produit de la force F par la projecr lion de cet arc total sur la droite fixe. On voit que, dans ce cas,

le travail total de la force F restera le même, de quelque manière que le point mobile aille d’un point déterminé de l’espace à un autre point aussi déterminé, c’est-cà-dire quelle que soit la forme de la trajectoire qu’il décrira entre ces deux points. Lorsqu’un point matériel pesant se déplace d’une manière quelconque, le travail développé pendant un certain temps par la force de la pesanteur qui agit sur ce point, s’obtient en multipliant celte force, c’est-à-dire le poids du point matériel, par la distance des plans horizontaux menés par les positions qu’il occupe au commencement et à la fin de l’intervalle de temps que l’on considère.

En général, la détermination du travail d’une force correspondant à un déplacement fini de son point d’application, ne s’effectuera pas aussi simplement que dans les deux cas particuliers dont nous venons de nous occuper. On trouvera la valeur de l’intégrale définie qui représente ce travail, soit en cherchant l’intégrale indéfinie de l’expression F cos a . (h, pour y substituer ensuite les limites entre lesquelles on veut en trouver la valeur, soit en se servant des méthodes de quadrature approximative.

Si plusieurs forces agissent simullanément sur un même point matériel en mouvement, le travail de la résultante de ces forces, pendant un temps quelconque, est égal à la somme des travaux des composantes; puisque cette égalité a lieu pour chacun des éléments dont se compose le déplacement total du point soumis à l’action des forces (§11 7).

Un travail, défini comme nous l’avons fait, est le produil d’une force par une longueur. Si nous prenons lé kilogramme pour unité de force, et le mètre pour unité de longueur, l’unité de travail sera entièrement déterminée; ce sera le travail développé par une force constante de 1 kilogramme, lorsque sou point d’application se déplace de 1 mètre suivant sa direction : cette unité de travail se nomme kilogrammètre.

§ 119. Cas parttcaller da théorème des forces sives.

Soient x, y, j, les coordonnées rectangulaires d’un point mobile à un instant quelconque; et X, Y, Z, les forces parallèles

aux axes coordonnés, dans lesquelles se décompose la force F appliquée à ce point. Le travail élémentaire de la force F, correspondant au déplacement infiniment petit ds du point sur lequel elle agit, est égal à la somme des travaux élémentaires de ses composantes X, Y, Z (§ 117). Mais le travail élémentaire de la force X s’obtient en multipliant cette force par la projection de ds sur sa direction, projection qui n’est autre chose que dx, et il en est de même des travaux élémentaires des forces Y, Z, qu’on trouve en multipliant respectivement ces forces par dy et dz : donc le travail élémentaire de la force F a pour valeur

\dx + ydy + 7aIz,

Ainsi l’équation des forces vives, trouvée dans le § 116, peut toujours s’écrire de la manière suivante :

mt'2 — ^ + '^^dz)y

l’intégrale du second membre étant supposée prise entre les limites correspondant aux positions du mobile pour lesquelles sa vitesse a les valeurs v^^ et t'.

Cela posé, admettons que les composantes X, Y, Z, de la force F, soient des fonctions connues des coordonnées a:, y, z du mobile, et que la quantité

\dæ + Ydy + Zdz

soit la différentielle exacte d’une certaine fonction de ces coordonnées, que mous désignerons par

Soient î/ô) -o valeurs de a;, y, z^ correspondant à la position qu’occupe le point mobile lorsque sa vitesse est v^. Dans l’hypothèse où nous nous plaçons, l’équation des forces vives devient

mv^ — mvo^ = 2 \f{x, y, z) — i/o» -o) ]•

Si nous considérons l’équation

C étant une constante quelconque, nous voyons que, pour

fiQ. ET MOLV. D’üN POINT MATÉRIEL LIBRE.

chaque valeur attribuée à C, cette équation représente une surface. Les diverses surfaces que l’on obtient ainsi, en donnant à C autant de valeurs différentes qu’on voudra, se nomment surfaces de niveau (nous verrons plus tard d’où vient cette dénomination). L’équation des forces vives montre que, si le point mobile traverse plusieurs fois une même surface de niveau, il se trouvera chaque fois animé de la même vitesse, puisque, pour tous les points d’une pareille surface, f {x^ y, z) a la même valeur. Il faut dire cependant que ce résultat est sujet à quelques exceptions, qui se présentent lorsque les diverses surfaces de niveau se coupent mutuellement, et auxquelles nous ne nous arrêterons pas (*).

L’équation différentielle d’une quelconque des surfaces de niveau est

\dæ + Vd// + Zdz = 0.

Cette équation montre que, dans chacune des positions qu’occupe successivement le point mobile, la force F à laquelle il est soumis, est dirigée normalement à la surface de niveau qui passe par ce point : car dXj dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles qu’un élément rectiligne quelconque tracé sur la surface, à partir de ce point, fait avec les trois axes coordonnés, et X, Y, Z sont également proportionnels aux cosinus des angles que la force F fait avec ces axes.

Considérons maintenant deux surfaces de niveau infiniment voisines MN, M'N', fig. 50, et supposons que le point mobile vienne successivement les traverser plusieurs fois chacune pendant la durée de son mouvement. Toutes les fois que ce point se trouvera sur la surface MN, il y aura une même vitesse, et il en sera de même toutes les fois qu’il viendra se placer sur la surface M'N' : sa force vive variera donc toujours de la même

(') Voir sur ce sujet un mémoire de M. J. Bertrand, inséré dans le Vingthuitième cahier du Journal de l’Ecole Polytechnique.

fliianlilé, chaque fois qu’il passera de la première surface à la seconde, et par conséquent le travail de la force F pendant ce déplacement infiniment petit aura toujours la même valeur. Mais lorsque le point mobile va de a en b, le travail élémentaire de F est égal à F x ac, ac étant la projection de ab sur la force F qui est normale à la surface MN, et par conséquent mesurant la distance des deux surfaces MN, M'N' au point a. On voit par là que les diverses valeurs de la force F, lorsque le point mobile passe de la surface MN à la surface M'N', sont inversement proportionnelles aux .distances normales ac des deux surfaces, aux points où s’efl'ectuent ces passages.

^ 120. La condition que \dd' -|- \dy tJ- Zrfr .soit une ditférentielle exacte, se trouve remplie dans le cas où la force F qui agit sur le mobile est constante en grandeur et en direction. Si l’on choisit les axes coordonnés de manière que l’axe des .c' soit parallèle à la direction de la force F, X et Y seront nuis, et Z sera égal à F; \dx + Yrfy 7.dz se réduira donc à Fdz, et l’équation des surfaces de niveau sera

ces surfaces seront donc des plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la direction constante de la force F\ On en trouve une application dans le mouvement d’un corps soumis à la seule action de’ la 'pesanteur, lorsque ce mouvement s’effectue dans un espace assez restreint pour que celte action de la pesanteur j)uisse être regardée comme ayant partout la même grandeur

et la même direction : dans ce cas les surfaces de niveau sont des plans horizontaux.

Considérons encore le cas où la force F, appliquée à un point matériel en mouvement, est constamment dirigée vers un point fixe 0, fig. 00, et où la grandeur de cette force dépend uniquement de la distance OM ou r du mobile M à ce point fixe, en sorte qu’on a

K = fir).