ÉQ. ET MOUV. D’EN POINT MATÉRIEL LIBRE
Le travail élémentaire Xdx -j- Xdy -f de la force F, pendant que le mobile va de M en M', est égal à F x MX, ou, ce qui est la môme chose,
f{r)dv.
F.elte quantité éta/d toujours la différentielle d’une certaine fonction de r, et r dépendant de J’, y, Zj en vertu de la relation
il s’ensuit que, dans le cas dont il s’agit, Xdx + Xdy + Idz est la différentielle exactè d’une certaine fonction de x^y^z. Dans ce cas, les surfaces de niveau sont évidemment des surfaces sphériques ayant toutes le point O pour centre.
^ 1^1. ÉquationN différentielles du mouvement d’un
point matériel. — Si l’oii rapporte le mouvement d’un point matériel à un système d’axes coordonnés rectilignes, rectangulaires ou obliques, ce mouvement est complètement connu lorsque l’on connaît ses projections sur chacun des axes coordonnés. Or, nous savons que chacun de ces mouvements projetés est précisément le mouvement rectiligne que 'prendrait un point matériel de meme masse que celui dont il s’agit, s’il était soumis à l’action de la force projetée, et s’il avait reçu une vitesse initiale égîile <à la projection de la vitesse initiale du mobile de l’espace (§ 112). Soient donc m la masse du point matériel dont on veut étudier le mouvement, ’.r, //, les trois coordonnées de ce point à un instant quelconque, et X, Y, Z, les forces parallèles aux axes suivant lesquelles se décompose la force F appliquée au mobile. Les équations différentielles des mouvements projetés sur les trois axes seront 105) :
dr^
Ces trois équations sont désignées collectivement sous le nom
d’équations différentielles du mouvement du point matériel. Si l’on parvient à les intégrer de manière à en déduire les valeurs de Xj y, Zf en fonction du temps le mouvement du mobile se' trouve complètement connu. L’intégration de ces trois équations différentielles, dont chacune est du second ordre, introduit six constantes arbitraires; on détermine ces constantes d’après les circonstances initiales du mouvement, en exprimant, par exemple, que les coordonnées j?, y, .3' du mobile, et les projections fix dv dz
de sa vitesse, sont égales à des quantités données,
lorsque 1 = 0.
Dans le cas où l’on sait à priori que le mouvement du point matériel s’effectue tout entier dans un plan, on peut rapporter ce mouvement à deux axes coordonnés tracés dans le plan dont il s’agit. Alors il n’y a plus que deux équations différentielles au lieu de trois. Si l’on désigne par x^ y, les coordonnées du point mobile, et par X, Y, les forces parallèles aux axes coordonnés dans -lesquelles se décompose la force appliquée à ce mobile, les équations différentielles du mouvement seront
dt
L’intégration de ces deux équations introduira quatre constantes, que l’on déterminera également d’après les circonstances initiales du mouvement. Nous allons en voir quelques exemples.
§ 122. E.'vemples de mouvements curvilif^nes. — Mouvement parabolique des corps pesan/s. Prenons pour premier exemple le mouvement d’un corps pesant qu’on a lancé suivant une direction quelconque, et qui se meut ensuite sous la seule action de la pesanteur’ supposée constante en grandeur et en direction. Nous avons déjà vu que, dans de pareilles circonstances, le mobile décrit une parabole (§02); mais nous allons étudier ce mouvement plus en détail.
Fiy. Gl.
