ÉQ. ET MOÜV. D’IX POINT MATÉRIEL LIBRE
vitesse, et clans des directions différentes, à partir cfun même * point. Si l’on fait abstraction de la résistance de l’air, chaque molécule décrit une parabole, conformément à ce que nous venons de dire. Considérons celles de ces paraboles qui sont dans un même plan vertical; elles seront toutes représentées par l’équation ci-dessus, en y faisant simplement varier Pang^le «, pour passer de l’une à l’autre. Si l’on cberche l’enveloppe de toutes ces paraboles, on trouve qu’elle a pour équation
c’est-à-dire que cette enveloppe est une parabole dont l’axe et dirigé suivant OY, dont la concavité est tournée du côté des y négatifs, et dont le foyer est en O : la surface à laquelle se termine l’ensemble de la gerbe formée des divers jets paraboliques, est donc un paraboloïde de révolution ayant cette parabole pour méridienne, et la verticale menée par le point de sortie des jets pour axe de figure. Si l’on considère toutes les molécules liquides qui sont lancées à un même instant dans des directions différentes, leurs positions, au bout d’un temps quelconque t compté à partir du commencement de leur mouvement parabolique, seront fournies par les équations
X = r„ cos a y = r„ sin gi-.
dans lesquelles on donnera à l’angle « les diverses valeurs cor respondant à cbacune d’elles; si l’on élimine « entre ces équations, on trouve
+ (// 4- i gtr- =
équation d’un cercle dont le rayon est et dont le centre, .situé sur l’axe des ?/, a pour ordonnée — ^ gt^ : donc ces molécules, lancées à un même instant, restent constamment sur la surface d’une sphère dont le rayon croît proportionnellement au temps, et dont le centre s’abaisse au-dessous de l’origine commune des divers jets paraboliques, comme le ferait un corps pesant qui tomberait de ce point sans vitesse initiale.
I<6i LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
§ 123. Mouvement d'un point matériel attiré vers un centre firCy proportionnellement à sa distance à ce centre. — Ce mouvement s’eireclue tout entier dans un plan qui passe par le centre d’attraction et par la direction de la vitesse iniliale du mobile .
100). Nous le rapporterons donc à deux axes rectangulaires dirigés dans ce plan; et nous ferons passer ces axes par le centre d’attraction lui-méme.
Soient m la masse du mobile, .r, y ses coordonnées à un instant quelconque, et r sa distance à l’origine des coordonnées.
La force qui lui est appliquée, et qui est dirigée vers cette origine, est par hypothèse proportionnelle à r : nous la représenterons par
mk-)\
k étant une constante que l’on déterminera facilement, d’après la grandeur de la force correspondant à une valeur particulière de la distance r. Les cosinus des angles que la direction de cette force fait avec les axes coordonnés sont respectivement
ses composantes parallèles à ces axes sont donc
— mk-,i\ — mk-y.
en tenant compte du sens dans lequel chacune d’elles agit. D’après cela, les équations différentielles du mouvement sont
dt^
Chacune de ces équations différentielles peut s’intégrer indépendamment de l’autre. Leurs intégrales sont
X = \ cos h t -r 1) sin /i7,
y = cos ht + D sin h t,
A, B, C, D étant des constantes arbitraires, que l’on déterminera d’après les circonstances initiales du mouvement. Soient-
ÉQ. ET MOi:V. D’UN POINT MATERIEL LIBRE. 165
a, b les valeurs initiales de x et y, et a', b' les composantes de la vitesse initiale du mobile suivant les axes coordonnés. On dort avoir
æ = rt, y = h, -, y = U ,
pour < = O : on en déduit
et par suite les équalions finies du mouvement dont on s’occupe sont
x = a cos kt -j- sin AT, y = h cos kt -I- ^ sin AT.
Si l’on résout ces deux équalions par rapport à sin kl et à cos AT, et qu’ensuite on égale à l la somme des carrés des valeurs ainsi obtenues, on trouve
{b'x — «'//)“ "T k- {l)x — a y) “ = {ab' — ba’)-^
équation qui représente une ellipse ayant son centre à l’origine des coordonnées, c’est-à-dire au centre d’attraction.
Le mouvement que nous obtenons ainsi n’est autre chose que le mouvement elliptique, auquel nous avons déjà été conduits en projetant un mouvement circulaire et uniforme sur un plan quelconque (§ 77); on se rappelle qu’en effet, dans ce mouvement elliptique, l’accélération totale est constamment dirigée vers le centre de l’ellipse, et proportionnelle à la distance du point mobile à ce centre.
§ 124. Mouvement d’un point matériel, sons l’action d’une force dirigée vers un centre fixe et variant en raison inverse du carré de la distance du point à ce centre. — Ce mouvement s’effectue encore tout entier dans un plan : nous le rapporterons donc à deux axes coordonnés rectangulaires tracés dans ce
plan. Nous prendrons également le centre d’attraction pour origine des coordonnées.
Si nous désignons la force qui agit sur le mobile à un instant quelconque par
ma
m étant la masse de ce mobile, r sa distance à l’origine, et a une constante qui dépend de l’intensité de la force, nous aurons
mii.r
UV^fl
, < .'t. p«ur les composantes de cette force suivant les axes : donc les
équations différentielles du mouvement seront
iU^~ dl(~
Multiplions la première de ces équations par y, et la seconde par x; puis retranchons la première de la seconde : nous trou- ' vcrons
dhj
dt
équation que l’on peut intégrer immédiatement, une première fois, et qui donne
dx ,,
C étant une constante arbitraire. Si nous passons des coordonnées rectilignes à des coordonnées polaires, en prenant l’origine pour pôle, et l’axe des x pour axe polaire, et que nous représentions par 6 l’angle que le rayon vecteur r fait avec l’axe des Xy la relation que nous venons d’obtenir deviendra
= Cdt. {b)
Nous aurions pu l’écrire immédiatement, d’après le théorème des aires § (115) qui est applicable ici, car elle exprime que
r'^dQ OU le double de l’aire décrite par le rayon vecteur r pendant le temps dtf est proportionnel à ce temps.
Multiplions encore la première de^ deux équations (a) par dx et la seconde par dy, puis ajoutons-les l’une à l’autre : en ob
servant que l’on a
ebpar conséquent
xdx + ydy = rdr,
nous trouverons ainsi
dxd-x + difd-y p. j
dt^ ' P
Mais, en désignant la vitesse du mobile par v, on a
dx^ + dy- d$^ ,
et par suite
dxd-x + dydhj ,
^ , . . * ' • — VilV*
L’équatioii que nous venons d’obtenir se réduit donc à
d’où en intégrant
h étant une constante arbitraire. Nous aurions encore pu écrire immédiatement cette équation, d’après le théorème des forces vives (§§ 116 et 120); en effet, si nous désignons par Tq et y,, les valeurs initiales de r et de v, ce théorème nous donne
ro ® r 7*0
LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE, équation qui revient à la précédente, en posant
Si nous observons que l’on a
rf(=
nous pourrons écrire l’équation {c) sous la forme
fh- + r-(ia- 2a ,
— — =— + /<• lit- r
En éliminant dt entre cette équation et l’équation (t/), puis résolvant par rapport à d^, nous trouverons
dd-
Cdr
r + 2ar — G=^’
relation qui, étant intégrée, nous fournira l’équation de la trajectoire du mobile.
Pour effectuer l’intégration, remplaçons les constantes C, //, par d’autres plus commodes. Si nous égalons à zéro la quantité
.,.2^ + 2ar-(>\
nous aurons une équation du second degré dont les deux racines sont réelles, puisque son premier membre est négatif pour r = 0, et qu’il est nécessairement positif pour d’autres valeurs de r, sans quoi le rapport de dh à dr ne serait jamais, réel. Désignons donc les deux racines de cette équation du second degré par
et nous aurons ; r/ . V,.. t. .7 •
L’équation (rf) devient ainsi
ÉQ. ET MOUV. D’UN POINT MATÉRIEL LIIîRE. • 1(W
d’où l’on tire en intégrant
0 = a + arc cos — e
et par suite
\ C cos (0 — a)
Nous voyons d’après cela que le mobile décrit une section conique ayant le centre d’attraction pour un de ses foyers. La constante e n’est autre chose que l’excentricité de cette courbe qui sera par conséquent une ellipse, une hyperbole, ou une parabole, suivant qu’on aura e «< l, ^ > 1, ou e — 1. Dans ce dernier cas, la constante a doit recevoir une valeur infinie, de manière que a (1 — e^) ait une valeur finie qui sera le paramètre de la parabole. Lorsque e n’est pas égal à I, a est le demi-grand axe de l’ellipse, ou le demi-axe transverse de l’hyperbole.
Pour obtenir la loi du mouvement du mobile le long de l’orbite dont nous venons de trouver la forme, reprenons l’équation (6) qui correspond au théorème des aires. Si nous y remplaçons do par sa valeur en fonction de r, fournie par l’équation (d), et que nous introduisions encore les constantes a, e, à la place des constantes C, h, nous aurons
dt =
rdr
Posons
r = a{\ — ecosn).
if)
U étant une variable auxiliaire, et la valeur de dt deviendra
dt
al/ a , . ,
— -Ji™ (I — (> cos II ) (In;
<l’où, en intégrant, mettant n k la place de et dé.signant par £ une constante arbitraire,
h/ + • = U — csin U.
Cette équation (g) permettra de trouver u en fonction de et par suite on aura la valeur de r au moyen.de l’équation (/).
Cherchons à reconnaître comment les circonstances initiales du mouvement influent sur la nature de la courbe décrite par le mobile. D’après les relations qui existent entre les constantes hy C, et les constantes a, par lesquelles nous les avons remplacées, on a
D’ailleurs, nous avons avons trouvé pour h la valeur
Il s’ensuit que la trajectoire sera une branche d’hyperbole si l’on a
une parabole, si l’on a
> ir; • 0
et une ellipse, si l’on a
I ft
H est extrêmement remarquable que la nature de la trajectoire décrite se trouve entièrement déterminée par la connais-
ÉQ. ET MOUV. D’L'N POINT MATÉRIEL LIBRE.
.sance des quantités i\ et Pq ,et ne dépende en aucune manière de l’angle que la vitesse initiale i\ fait avec le rayon vecteur r„.
Nous avons à peine besoin d’ajouter que, si un point matériel, soumis à l’action d’une force dirigée vers un point fixe, décrit une section conique ayant ce point fixe pour foyer, la force dont il s’agit varie nécessairement en raison inverse du carré de la distance du point matériel au point fixe.
