ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT D’UN POINT MATÉRIEL QUI N’EST PAS LIBRE

§ 1^25. Ce qu'on entend par un point matériel qui n’est

pas libre. — Il arrive souvent que les circonstances dans lesquelles se trouve un corps mobile sont telles que, quelles que soient les forces qui agissent sur lui, son mouvement satisfait toujours à certaines conditions. Ainsi, un wagon, posé sur une voie de fer, se mouvra toujours le long de cette voie, dansun sens ou dans l’autre, quelles que soient les grandeurs et les directions des forces qu’on lui appliquera, pourvu, bien entendu, qu’on ne dépasse pas certaines limites; ainsi une balle de plomb, suspendue à l’extrémité d’un fil inextensible dont l’autre extrémité est fixe, se mouvra toujours de telle manière que son centre de figure reste sur la surface d’une sphère ayant le point d’attache du fil pour centre, quelles que soient les forces qui agiront sur elle, pourvu que ces forces ne tendent pas à la rapprocher de ce point d’attache du fil. Dans le premier de ces deux exemples, le mouvement du wagon est produit à la fois par les forces qui lui sont directement appliquées dans les différentes directions, et par les réactions qu’il éprouve de la part des rails dans les divers points où il les touche; si l’on réduit le wagon, par la pensée, à un simple point matériel sur lequel agiraient ces diverses forces, on trouvera son mouvement en appliquant les théories exposées dans le chapitre précédent : seulement, il

KQ. ET MOl'V. D’1:N POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBUE. 173

Arrivera que, quelles que soient les forces directement appliquées à ce point matériel, c’est-à-dire autres que les réactions des rails, la trajectoire qu’il décrira sera toujours la même, parce que ces réactions prendront à chaque instant des grandeurs et des directions telles qu’il en soit ainsi. Dans le second exemple, la balle de plomb se meut sous les actions simultanées des forces qui lui sont directement appliquées, et de la réaction qu’elle éprouve de la part du fil; cette balle, supposée réduite à. un point matériel sur lequel agiraient toutes les forces que nous venons d’indiquer, se mouvra conformément à la théorie expo- .sée dans le chapitre II de ce livre; mais il arrivera que, quelle <;ue soit la résultante des forces directement appliquées à la balle, c’est-à-dire autres que la réaction qu’elle éprouve de la part du fil, cette réaction prendra toujours une intensité telle que la balle ne quitte pas la surface sphérique dont nous avons parlé.

Dans de pareils cas, toutes les forces qui agissent réellement tsur le mobile, et qui déterminent les diverses circonstances de son mouvement, ne peuvent pas être données à priori. Les Ibrces qui lui sont directement appliquées, et qui tendent à le faire mouvoir dans un sens ou dans un autre, peuvent seules êtres connues tout d’abord ; quant aux réactions qu’il éprouve de la part des obstacles qui l’obligent à se mouvoir de telle ou telle manière, elles se développent à chaque instant, et prennent les grandeurs et les directions convenables pour les maintenir sur la courbe ou sur la surbice dont la présence de ces obstacles l’empèche de sortir. La connaissance de ces réactions, qui ne peut pas être fournie à priori^ est remplacée par la connaissance qu’on a tout d’abord de la trajectoire suivant laquelle le mobile se déplace ou au moins d’une surface sur laquelle cette trajectoire est nécessairement située.

C’est ainsi que, dans certains cas, on est conduit à considérer un point matériel comme n’étant pas libre de céder complètement à l’action des forces qu’on lui applique pour le faire mouvoir; on regarde ce point comme assnjelti à rester sur une rourbe don née ^ ou sur une surface donnée, suivant les circonstances. C’est par opposition avec celle manière de considérer

le mouvement d’un point matériel, que nous avons caractérisé l’objet du chapitre précédent, en spécifiant dans le titre de ce chapitre qu’il s’agissait d’un point matériel libre. Mais on ne devra jamais oublier qu’un point matériel peut toujours être regardé comme libre, à la condition de tenir compte de toutes les forces qui agissent sur lui, c’est-à-dire des forces qui tendent à le faire mouvoir dans diverses directions, et des réactions que celte tendance au mouvement peut développer de la part de certains obstacles qui l’empêchent de céder complètement à l’action des premières forces.

§ 126. Équilibre d’un point matériel assujetti à rester sur une eonrbe fi.Ye. — Pour nous faire une idée nette de ce que nous devons entendre au juste par un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe, concevons un corps solide tel qu’un grain de chapelet percé d’une ouverture dans laquelle passe une tige rigide contournée suivant une courbe quelconque, ou bien encore une bille engagée dans un tube également contourné suivant une pareille courbe. Ces deux corps peuvent se mouvoir, le premier en glissant le long de la tige qui le traverse, le second en se transportant successivement en divers points du tube dans lequel il est contenu. Si l’on fait abstraction des dimensions transversales de la tige ou du tube, et qu’en même temps on réduise par la pensée le corps qui ne peut que glisser le long de cette tige ou de ce tube à un simple point matériel, on aura précisément ce qu’on nomme un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe.

Si l’on applique au grain de chapelet ou à la bille, que nous supposons primitivement en repos, une force dont la direction soit normale à la tige ou au tube, il est clair que cette force ne mettra pas le corps en mouvement : l’égalité des angles que la force fait avec la direction des deux seuls mouvements que le corps puisse prendre, suivant qu’il glisserait dans un sens ou dans le sens opposé, montre que ce corps ne se mouvra ni d’un côté ni de l’autre. Dans ce cas, la force appliquée au corps ne fera que développer une pression de ce corps sur la tige ou sur le tube, et il en résultera une réaction de la tige ou du tube

Kg. £T MOIV. D’UX POINT MAT. QUI N’EST PAS LIIJRE. 17r.

sur le corps, réaction qui sera égale et contraire à la pression dont nous venons de parler : le corps restera en repos, malgré l’action de la force qui lui est appliquée, parce que la réaction de la tige ou du tube sur le corps fera équilibre à cette force.

Si l’on applique au corps une force oblique par rapport à la direction de la tige ou du tube, au point où il se trouve placé, on pourra remplacer cette force par deux composantes, doni l’une ait la direction même du mouvement que le corps peut prendre, et l’autre fasse un angle droit avec la première. La seconde composante ne peut agir en aucune manière pour produire le mouvement du corps, ainsi que nous venons de l’e.xpliquer. Quant à la première composante, elle fera glisser le corps le long de la tige ou du -tube, à moins qu’il ne se développe comme à l’ordinaire une résistance à laquelle on donne le nom de frotiementy et que cette composante ne soit pas assez grande pour la vaincre. Pour simplifier, on peut faire abstraction de cette résistanee, et regarder le corps comme pouvant glisser avec la plus grande facilité le long de la tige ou du tube; en sorte qu’une force, quelque petite qu’elle soit, qui agit sur le corps Vivant la direction de la tige ou du tube, le inet nécessairement en mouvement. Rien n’empêchera plus lard de tenir compte du frottement, que nous négligeons ici, tm le considérant comme une des forces qui sont directemeni appliquées au mobile et qui tendent à le mettre en mouvement.

C’est d’après ces idées que nous regarderons un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe comme ne pouvant éprouver de la part de celte courbe qu’une réaction normale à sa direction; de plus, nous admettrons qu’il en soit ainsi, soit que le point matériel se trouve à l’état de repos, soit qu’au contraire il se meuve le long de la courbe sous l’action des forces qui lui sont* directement appliquées, et en vertu de la vitesse fpii a pn lui être imprimée tout d’abord.

Cela posé, il ne nous sera pas difficile de trouver la condition à laquelle doivent satisfoire les forces F, F' F",.- appliquée> à un point matériel qui est assujetti à rester sur une courbe fixe, pour que ce point soit en équilibre. Si, aux forces dont

il s’agit, 011 joint la réaction que le point matériel éprouve de la part' de la courbe, on a un système total de forces dont la résultante doit être nulle (§ 104) : donc la résultante des forces K, F', F",.** doit être égale et directement opposée à la réaction de la courbe sur le point matériel. Mais celte réaction est normale à la courbe; donc aussi la résultante des forces F, F', F",...* doit être dirigée normalement à cette courbe. Celle condition, que la résultante des forces F, F', F",..- appliquées au point matériel, soit normale à la courbe sur laquelle il est assujetti à rester, est d’ailleurs suffisante pour que le point soit en équilibre : car les forces F, F', F",.*, peuvent toujours être remplacées par leur résultante, et celle-ci étant normale à la courbe fixe, ne peut faire mouvoir le point matériel ni dans un sens ni dans l’autre. La résultante des forces F, F', F",.-- n’est autre chose que la pression du point matériel sur la courbe, pression qui est égale et contraire à la réaction de la courbe sur le point matériel.

§ F27. Mouvement d'un point matériel assujetti A

Vester snr une courbe fixe. — Soient AB, fuj. 02, la COUrbe

sur laquelle le point matériel M est assujetti à rester; F la force appliquée à ce point matériel, ou la résultante des forces qui lui sont appliquées, s’il y en a plusieurs, indépendamment de la réaction qu’il éprouve de la part de la courbe; et enfin N cette réaction de la courbe, dont la direction est perpendiculaire à la tagente MT. On peut regarder le mobile comme étant un point matériel libre se mouvant sous Faction des for- <'.es F et N. Décomposons la force F, représentée par la droite MB, en deux composantes F, et F^, dont l’une soit dirigée suivant la tangente Mï, et l’autre suivant une perpendiculaire MS à

Éli. ET MOVVr D’l*N POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBRE. 177 ,

celle tangente menée dans le plan TMR; composons ensuite la force Fj ou MS, avec la force N ou MU, ce qui nous donnera la force R ou MV dirigée perpendiculairement à la tangente MT, aussi bien que chacune de ses composantes MS, MU : nous aurons ainsi deux forces F, et R, qui tiendront lieu des deux forces F, N, et qui seront évidemment celles auxquelles nous avons donné les noms de force tangenlielle et de force centripète (§ 110). D’après cela, si v est la vitesse du mobile, m sa masse, cl « l’angle que la direction MR de la force F fait avec la direction MT du mouvement, on aura

dü

m -jr = r cos a.

dt

Uette équation, jointe à la relation

permettra de déterminer toutes les circonstances du mouvement du mobile sur la courbe AD, lorsque la force F sera donnée, ainsi que l’angle a que sa direction fait à chaque instant avec la tangente à la courbe AB, au point où se trouve le mobile. La recherche de l’équation finie du mouvement sur la courbe AB est réduite par là à une question d’analyse, toute pareille à celle qui a pour objet de trouver l’équation du mouvement rectiligne d’un point matériel libre (§ 100).

Dans le cas particulier où la force F serait constamment nulle, et où le point matériel ne se mouvrait le long de la courbe AB 4ju’en vertu do sa vitesse initiale, on voit qu’on aurait

c’est-à-dire (jue la vitesse v ne varierait pas, ou, en d’autres termes, le mouvement du point matériel serait uniforme. Il en serait encore de même, si la force F était constamment normale à la courbé AB.