La force centripète K ou MV, fig. 62, a pour expres

sioii

P étant le rayon de courbure de la trajectoire AB en M; elle est dirigée suivant ce rayon, c’est-à-dire suivant la normale menée dans le plan osculateur de la courbe correspondant au point M, et du coté de la concavité de la courbe. Cette force MV étant la résultante des deux forces MS, MU, une force MV', égale et contraire à MV, fera équilibre aux deux forces MS, MU; les trois forces MS, MU, MV' se faisant équilibre, la force MU est égale et directement opposée à la résultante MU" des deux forces MS, MV'; mais la force MU', égale et directement opposée à la réaction N do la courbe AB sur le point matériel, n’est autre chose que la pression exercée par ce point sur la courbe AB : donc la pression du point M sur la courbe AB est la résultante» de deux forces, dont Tune est la composante normale de la force F, et l’autre est égale et direc-

teinent opposée à la force centripète m

Si la force F était nulle, sa composante normale le serait aussi, et la pression exercée sur la courbe AB par le point mobile, dont la vitesse resterait toujours la même, se réduirait à une force égale et contraire à la force centripète. Dans ce cas,, la pression du mobile sur la courbe est désignée sous le nom de force centrifuge. Le point mobile, n’étant soumis h ractiou d’aucune force, se mouvrait uniformément et en ligne droite, s’il était libre; l’obligation dans laquelle il se trouve de suivri‘ la courbe AB, n’altère pas runiformité de son mouvement, mais il en résulte que la direction de sa vitesse doit changer à chaque instant : ce changement de vitesse ne peut se produire sans que le mobile réagisse sur la courbe, et c’est celte réaction qui constitue la force centrifuge, dont le nom rappelle la tendance dir mobile à se mouvoir en ligne droite, c’est-à-dire à s’éloigner du centre du cercle osculateur de la courbe AB. On voit que la force

ÉQ. ET MOüV. D ÜN POINT MAT. QU» N’EST PAS LIBRE. 17'J

centrifuge est dirigée suivant le prolongement MV' du rayon de courbure de la courbe AB, c’est-à-dire du côté de la convexité de cette courbe, et qu’elle a pour valeur

comme la force centripète.

Dans le cas général où le mobile, assujetti à rester sur la courbe AB, se meut sous l’action d’une force F, la pression MU' que ce mobile exerce sur la courbe à un instant quelconque est la résultante de deux forces, dont l’une est la composante normale de- la force F, et l’autre est la force centrifuge MV' correspondant à la vitesse dont le point mobile se .trouve animé à cet instant.

§ 129. Tous les théorèmes qui ont été établis précédemmen (§§ 113 à 120) sur le mouvement d’un point matériel libre, sont applicables au mouvement d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe, à la condition de joindre à la force F directement appliquée à ce point matériel, la réaction N qu’il éprouve de la part de la courbe fixe, et de considérer le mouvement comme s’effectuant sous l’action de la résultante de ces deux

forces. Mais, comme la réaction N de la courbe sur le mobile

n’est pas connue à priori, on doit naturellement attaclier plus d’importance à ceux de ces théorèmes qui ne dépendent pas de la force N, qu’à ceux qui en dépendent. Les premiers sont les seuls que nous rappellerons ici.

dv

La force tangentielle ®st simplement la composante tan-

gentielle Fj de la force F, et ne dépend en aucune manière de la réaction N de la courbe 127) : donc on peut dire (§ 113) que l’accroissement de la quantité de mouvement du point matériel, pendant un temps quelconque, est égal à l’impulsion de la composante tangentielle F, de la force F pendant ce temps.

Le travail élémentaire de la résultante des forces F et N est égal à la somme des travaux élémentaires de ces deux forces; mais le travail élémentaire de la force N est constamment nul,

puisque cette force est normale à la courbe fixe, et par consé- 4juent normale à l’élément de chemin décrit par le mobile : donc le travail élémentaire de la résultante des forces F et N se réduit au travail élémentaire de la force F seule. D’apres cela, il est clair qu’on peut dire (§ 116) que l’accroissement de la force vive du point matériel, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double du travail de la force F pendant ce temps.

Pour pouvoir appliquer ce qui a été dit dans le § 119 au cas d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe, il n’est pas nécessaire de se préoccuper de la réaction N de cette courbe. La quantité \dx -f- Yrfy -|- Zdz étant le travail élémentaire de la résultante* des forces appliquées au mobile, se réduit ici, d’après ce qui vient d’être dit, au travail élémentaire de la force F ; on peut donc regarder X, Y, Z comme étant simplement les composantes de la force F parallèles aux axes coordonnés. Si ces trois composantes de F sont les dérivées partielles d’une fonction de x, y, prises par rapport à chacune de ces Tariables, il v aura lieu de considérer les surfaces de niveau dont nous avons parlé (§ 119), et d’appliquer au point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe tout ce qui a été dit pour nn point matériel libre. Ces surfaces de niveau, ne dépendant nullement de la réaction N de la courbe fixe, sont les mêmes ^|ue si le point matériel était libre et que la même force F lui fût appliquée.

^ 130. Exemples da mouvement d'un point maté-

riel assujetti À rester sur une courbe fixe. — CüS (TUU

^oint matériel soumis à la seule action de la pesanteur. — Si la force F, qui est directement appliquée au mobile, se réduit à son poids m^, il sera facile de trouver les diverses circonstances du mouvement, comme nous allons le voir.

Soit AB, fig. 03, la courbe sur laquelle le mobile est obligé de rester. Nous avons vu (§ 120) que, dans le cas dont il s'agit, les surfaces de niveau sont des plans horizontaux; il en résulte immédiatement que, si le point mobile vient successivement passer par divers poinUs M, N, P, Q, situés sur un même plan

ÉQ. ET MOÜV. D;UN point mat. qui N’EST PAS LIBRE. Î8f

horizontal, il se trouvera animé d'une même vitesse dans chacune de ces positions.

D’un autre côté, le mobile allant du point M, où sa vitesse est

V, au point M', où sa vitesse est v\ on a, d’après le théorème des forces vives (§ 129),

— mv^ = Img (s’ — r),

ou simplement

en désignant par z et z' les distances des deu.v points M et M' à un plan horizontal fixe situé au-dessus de ces deux points.

Si, par exemple, le mobile part du point C, sans vitesse initiale, il descend le long de la courbe, en prenant une vitesse de plus en plus grande. La vitesse v qu’il possède en un point quelconque M, est déterminée par la relation

t'-’ = 2gh,

en désignant par h la distance des plans horizontaux menés par les deux points C et M, c’est-à-dire ce qu’on nomme la différence de niveau de ces deux points; on voit que cette vitesse est égale à celle qu’aurait acquise le point matériel en tombant de la même hauteur h, suivant la verticale menée par son point de départ C (§ 90). La vitesse du mobile va ainsi en croissant jusqu’à ce qu’il atteigne le point D. La vitesse qu’il possède, en arrivant en ce point, fait qu’il le dépasse, et qu’il s’élève le long

de la partie DE de la courbe AB; sa vitesse va alors en diminuant progressivement, et, comme nous l’avons dit, en un point quelconque N, elle est égale à celle qu’il avait au point M situé au même niveau que le point N. Si le point le plus élevé E de la partie de courbe où le mobile est engagé, se trouve au-dessous du plan horizontal mené par son point de départ C, il atteint ce point E en conservant encore une certaine vitesse ; puis il le dépasse, descend jusqu’en F avec une vitesse croissante, remonte suivant FB, et enfin s’arrête en un point G situé au niveau de son point de départ C. Alors, la pesanteur ne cessant d’agir sur le mobile, il redescend à partir du point G, en parcourant la courbe en sens contraire, et reprenant en chaque point exactement la même vitesse que lorsqu’il s’y était trouvé une première fois; au bout de quelque temps, il s’arrête au point C d’où il était parti d’abord, puis se remet en mouvement de C en G; et ainsi de suite indéfiniment.

La pression que le mobile exerce sur la courbe AB, dans une quelconque des positions qu’il y occupe successivement, au point M par exemple, s’obtient en composant la force centrifuge du mobile en ce point, avec la composante normale de son poids mg (§ 128). Dans le cas particulier où la courbe AB se trouve tout entière dans un plan vertical, ces deux composantes de la pression supportée par la courbe ont une même direction, et la pression est égale à leur somme ou à leur différence, suivant les cas. Soient a l’angle que la tangente à AB, au point M, fait avec la verticale, et,o le rayon de courbure de la courbe en ce point; on aura pour la pression supportée par la courbe

mg siii a ± —y- *

ou bien, en remplaçant r* par sa valeur ^gh,

mg l^sm a ± j.

§ 431. Mouvement d*un point matériel pesant sur une droite fixe. — Lorsque la courbe sur laquelle le mobile pesant est assujetti à rester se réduit à une ligne droite, le mouvement

Kg. ET MOUV.'D'I'.N point mat. qui N’EST PAS LIBRE. 183

se simplifie beaucoup. Soit « l’angle que la droite fixe fait avec la verticale. La composante tangenlielle de la force mg qui agit sur le mobile a alors une valeur constante

mg cos a.

Il en résulte que le mouvement du mobile sur la droite fixe est uniformément varié (§§ 90 et 91). Ce mouvement est de même nature que celui d’un corps pesant qui tombe librement suivant la verticale, eu parlant du repos, ou bien après avoir reçu une vitesse initiale dirigée verticalement; il ne diffère de ce dernier mouvement qu’en ce que l’accélération est g cos «, au lieu d'être g.

Si l’on suppose, par exemple, que le mobile se meuve le long de la droite AB, fig. Ci, et qu’il parte du point A sans vitesse initiale, la distance AM ou .s* à laquelle il se trouve du point de départ

A, au bout d’un temps quelconque /, est fournie par l’équation

s= igcosx t-.

Prenons sur la verticale du point A une longueur quelconque AC que nous désignerons par hy et sur la ligne AB une longueur AD ou l égale à la projection de AC sur AB. Le temps •employé par le mobile à parcourir la distance l sera fourni par la relation

d’où

t = i ^ cos a t-.

^ ^ COS a ^ g

(ielte valeur de t montre que le temps employé par le mobile à parcourir la distance AD, sur la ligne oblique AB,' est le même que celui qu’il emploierait à tomber verticalement de la

18i LIVRE II — DYNAMIQUE. PR EM I ÈIlî> I» A RTIE.

hauteur AG. On en conclut que, si plusieurs mobiles parlent en môme temps, du point A, sans vitesse initiale, et descendent sous la seule action de la pesanteur le long de diverses cordes AD, AD', AD", d’un cercle décrit sur AC comme diamètre, •ces mobiles arriveront en même temps aux extrémités D, D', D", de ces cordes. Quant à la vitesse que possède le mobile qui parcourt la ligne AB, lorsqu’il arrive en D, nous savons qu’elle est la inême que celle qu’il posséderait en E, s’il tombait librement du point A sans vitesse initiale (§ 130).

La droite fixe ayant dans tous ses points un rayon de courbure infini, on voit que la force centrifuge due au mouvement du mobile sur cette droite est constamment nulle, et que la pression exercée par le mobile sur la droite fixe se réduit à la composante normale

mg sin a

de son poids.

§ 132. Pendule circulaire. — Supposons qu’un point matériel pesant M, fig. 05, soit attaché à l’extrémité du fil inextensible et sans masse AM, et que l’autre extrémité A de ce fil soit fixe. Le point matériel M est en équilibre lorsque le fil AM est dirigé suivant la verticale AB : le poids de ce point matériel est détruit par la résistance qu’il éprouve de la part <lu fil. Si l’on écarte le corps M de la position d’équilibre qui vient d’être indiquée, en donnant au fil une direction oblique, et qu’ensuite on abandonne ce corps M à l’action de la pesanteur, sans lui communiquer la vitesse initiale, il se meut sans sortir du plan vertical mené par la direction oblique qu’on avait donnée au fil ; d’ailleurs, sa distance au point  restant constamment la même, il décrit un arc de cercle ayant ce point A pour centre : on peut donc regarder le point matériel M comme étant dans les mêmes